談“范例”教學設計——以高中數學“算法案例”為例

江蘇省寶應中學 崔成鳳

范例教學理論起源于德國，于二十世紀八十年代進入中國，在全國大范圍內掀起了范例教學的熱潮。然而，八十年代的范例教學往往與填鴨式教育并存，很多一線教師誤解了“范例”的性質，認為“范例”即是由老師給學生做出正確示范，導致范例教學演變成了灌輸式教育，影響了教育的發展。新課改實施以來，范例教學逐漸退出了課堂，學術界鮮有關于范例教學的研究，這一教學理論幾乎被廣大教師遺忘。然而，范例教學也有其一定的教育功能，而前提是正確解讀“范例”，即與教學內容相關的示范材料，包括發現數學、研究數學的過程、相關概念或定義的確立等等。通過這些范例，讓學生汲取成功經驗，借鑒成功方法，對提高學習的有效性具有重要意義。對此，本文以高中數學教學為例，立足“算法案例”一課，探討了范例教學的課堂設計。

一、運用趣味范例設計新課導入

在課堂開始階段，學生們的注意力往往還停留在課外，被課外的某些事物所吸引，在這樣的前提下，新課的導入需要設計一個緩沖，即為學生能盡快適應課堂學習而創設情境，而其中可用的課程資源即包括范例教學中的示范材料。數學有著數千年的發展歷史，其間涌現了眾多膾炙人口的數學典故，教師可將這些典故作為范例材料應用于課堂開始，運用趣味范例活躍課堂氛圍，創設課堂情境，轉化學生的注意力，讓學生為學習新課做好充分的準備。

如“算法案例”一課的課堂開始，筆者首先通過課件展示著名的“韓信點兵”示范材料：將士兵列成三縱隊，則余2 人；列成五縱隊，則余3 人；列成七縱隊，仍余2 人。正當眾人茫然之際，韓信立刻算出了士兵的總人數，即2333 人。

在這樣的情境下，根據范例導入新課：這道題屬于什么類型的數學問題？韓信運用了怎樣的方法來計算士兵的總人數？

在學生們交流討論的同時，筆者再次播放課件：今有物不知其數，三三數之，剩2；五五數之，剩3；七七數之，剩2。問物幾何？

設問：對比“韓信點兵”和《孫子算經》中的兩道題，它們之間有哪些共同點？

筆者歸納：“韓信點兵”問題運用到了剩余原理，即《孫子算經》中的“孫子算法”。

設問：那么，如果用m 來表示“孫子算法”中所求的數，要得到m，首先需要滿足哪些條件？

學生合作探究：3÷m 后余2，則mod（m，3）=2；5÷m 后余3，則mod（m，5）=3；7÷m 后余2，則mod（m，7）=2。

筆者歸納總結：我們學過數學的自然語言，在這種狀況下，如果用自然語言來描述，則算法可以寫作：

S1 m ←1

S2 m ←m+1

S3 輸出m

S4 如果mod（m，3）=2，并且mod（m，5）=3 以及mod（m，7）=2，則執行S3，否則執行S2。

綜上，范例教學的課堂設計應遵循一條主線，即教學的核心內容，在此基礎上，將學生的個人因素納入課堂設計的范疇，轉化學生的注意力，吸引他們全身心地投入到課堂學習中來。因此，在“算法案例”課堂開始，筆者引入了“韓信點兵”這一趣味范例材料，讓學生通過破解“韓信點兵”的典故進入學習的正軌，并根據范例展開探究，從而激發他們的學習興趣，提高學習的有效性。

二、運用范例教學實現知識生成

建構主義理論指出，知識生成是一個動態的過程，在這一過程中，環境與知識、環境與學生心理、知識與學生心理三者之間必須建立起內在聯系，從整體上實現有機結合，只有這樣，才能有效生成知識，提高學習質量。因此，遵循“案例算法”的知識主線，在此基礎上用范例教學創設課堂情境，激發學生的探究欲，讓學生在范例的帶動下展開學習，是提高教學質量的有效舉措。

如“算法案例”一課的授課環節，此時學生們已基本了解了算法案例一課的研究方向、主要內容和知識特點，在這樣的前提下，筆者再次用課件導入范例材料：十二世紀末，意大利著名數學家斐波那契發現小兔子出生兩個月后就有繁殖能力。由此他想到了一個有趣的問題，如果一對兔子在一個月的時間內能生出一對小兔子，那么一年后可以繁殖多少只兔子？最后通過計算，他得出了答案，即144 只。

設問：這道題屬于什么類型的數學問題？他是怎樣計算出來的？

學生合作探究：屬于數列問題，其中任何一項的平方數都等于和它相鄰的前后兩項的乘積加1 或減1。

板書：偽代碼和流程圖。

讓學生閱讀教材，在此基礎上設問：斐波那契的數列中涉及了質數和偽代碼，那么，如何概括上一環節中“孫子算法”的偽代碼？

學生合作探究：

m ←2

while mod（m，3）≠2

……

再次設問：可否根據前面的探究畫出算法案例的流程圖？

學生合作探究：

開始

m ←1

m ←m+1

……

練習：在三個連續的自然數中，最小的數能夠被15 整除，中間的數能夠被17 整除，最大的數能夠被19 整除，那么，如何用三個連續的自然數來滿足這一要求？

如此，通過在范例教學中引入相關材料，讓學生參照斐波那契的數列法去探究算法案例的核心內容，引入流程圖和偽代碼的概念，使學生加深了對算法案例的認識。同時，用范例材料創設課堂情境，實現了環境與知識、環境與學生心理、知識與學生心理的有機整合，使學生能夠通過環境汲取知識，優化知識的生成過程，從而提高了學習的有效性。

“范例”指向的是過去式，因此，“范例”教學的課堂設計既要兼顧前人的成功經驗，即數學理論的發展過程，同時又要兼顧學生的學習經驗，即學生的已學知識。將前人的成功經驗作為范例，能夠提高學生的學習效率，而將學生的學習經驗作為范例，則能夠起到復習、鞏固的作用，培養學生的數學素養。因此，開展范例教學的課堂設計，對促進高中數學教學質量具有重要意義。