錯(cuò)因“連連看” 歸正“消消樂”

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本文梳理了“整式乘法與因式分解”中幾種常見的錯(cuò)誤，并對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行了歸類剖析，希望同學(xué)們盡可能地避免犯類似錯(cuò)誤，及早走出誤區(qū)。

一、整式乘法中的常見錯(cuò)誤

1.符號(hào)易出錯(cuò)。

例1 計(jì)算：（-3x）·（8x2-7xy-1）。

【錯(cuò)解】原式=-24x3-21x2y-3x。

【錯(cuò)因分析】符號(hào)錯(cuò)誤是運(yùn)算類問題中較常見的錯(cuò)誤之一。本題就錯(cuò)在沒有注意積中各項(xiàng)符號(hào)的確定。整式運(yùn)算中，我們要連同符號(hào)一起乘，先定每一項(xiàng)的符號(hào)，再考慮數(shù)和字母部分。

【正解】原式=-24x3+21x2y+3x。

2.相乘易漏項(xiàng)。

例2 計(jì)算：（1）（-3x）·（8x2-7xy-1）；（2）（2x-5）（x+4）。

【錯(cuò)解】（1）原式=-24x3+21x2y；

（2）原式=2x2-20。

【錯(cuò)因分析】本題出錯(cuò)是因?yàn)闆]有掌握乘法法則，出現(xiàn)了漏乘現(xiàn)象。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，要用單項(xiàng)式分別乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘也要防止漏乘，檢查的方法是在沒有合并同類項(xiàng)前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積。

【正解】（1）原式=-24x3+21x2y+3x；（2）原式=2x2+8x-5x-20=2x2+3x-20。

3.公式易混淆。

例3 計(jì)算：（a-2b）2。

【錯(cuò)解1】原式=a2-4b2。

【錯(cuò)解2】原式=a2-2·a·2b+2b2=a2-4ab+2b2。

【錯(cuò)因分析】同學(xué)們?cè)趧偨佑|乘法公式時(shí)，常常會(huì)對(duì)公式理解不夠透徹。錯(cuò)解1就是混淆了兩個(gè)公式。符合完全平方公式的兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，則有“首平方，尾平方，首末兩倍中間放”，展開由三部分組成。另外，在完全平方公式中，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有三種情況：一是首尾兩項(xiàng)的系數(shù)沒有平方，二是中間項(xiàng)沒有乘2，三是中間項(xiàng)的正負(fù)號(hào)弄錯(cuò)。

【正解】原式=a2-2·a·2b+（2b）2=a2-4ab+4b2。

例4 計(jì)算：（1）（-3a+2b）2；（2）（-3a-2b）2。

【錯(cuò)解】（1）原式=-（3a-2b）2=-［（2b）2-2·2b·3a+（3a）2］=-4b2+12ab-9a2。

【錯(cuò)因分析】當(dāng)首項(xiàng)帶負(fù)號(hào)時(shí)，則可以進(jìn)行適當(dāng)變形，可以運(yùn)用交換律等調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排列順序，使公式的特征更加明顯。

【正解】（1）原式=（2b-3a）2=（2b）2-2·2b·3a+（3a）2=4b2-12ab+9a2；

（2）原式=［-（3a+2b）］2=（3a+2b）2=9a2+12ab+4b2。

例5 計(jì)算：（-3a-2b）（3a-2b）。

【錯(cuò)解】原式=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2。

【錯(cuò)因分析】能用平方差公式的兩個(gè)多項(xiàng)式的特征就是其中一項(xiàng)完全相同，另外一項(xiàng)僅符號(hào)相反，那么結(jié)果就是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。可以用標(biāo)記號(hào)的方式確定相同項(xiàng)與相反項(xiàng)。

【正解】（-3a-2b）（3a-2b）=（-2b）2-（3a）2=4b2-9a2。

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二、因式分解中的常見錯(cuò)誤

1.概念不清。

例6 因式分解：a2+3a-4。

【錯(cuò)解】原式=a（a+3）-4。

【錯(cuò)因分析】對(duì)因式分解的概念理解不到位。因式分解是將一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的積的形式，故等號(hào)右邊應(yīng)該是“積”。再比如左到右，雖然是“積”的形式，卻不是整式的乘積形式，仍不屬于因式分解。

【正解】原式=（a-1）（a+4）。

2.提取有誤。

例7 因式分解：3a2-6ab+3a。

【錯(cuò)解】原式=3a（a-2b）。

【錯(cuò)因分析】在提公因式時(shí)，同學(xué)們?nèi)菀追溉缦聨最愬e(cuò)誤：（1）有而不提，比如36x2-4=（6x+2）（6x-2），出錯(cuò)的原因就在于一開始沒有提取公因式；（2）提而不盡，即不能找全公因式；（3）提后丟項(xiàng)。此例就犯了第三類錯(cuò)誤，第三項(xiàng)3a與公因式一致，可看成3a·1，故提取公因式后該項(xiàng)剩下1。

【正解】原式=3a（a-2b+1）。

3.無中生有。例8 因式分解

【錯(cuò)解】原式=x2+2xy+y2=（x+y）2。

【錯(cuò)因分析】多項(xiàng)式中的系數(shù)是分?jǐn)?shù)，而變形后的系數(shù)變?yōu)榱苏麛?shù)。若用整式乘法檢驗(yàn)，就不難發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤了。去分母是在等式中進(jìn)行的，而不能硬搬到代數(shù)式中。

【正解】原式=

4.公式出錯(cuò)。

例9 分解因式：（1）9x2-4y2；（2）（a2+1）2-4a2。

【錯(cuò)解】（1）原式=（9x+4y）（9x-4y）；

（2）原式=（a2+1）2-（2a）2=（a2+1+2a）（a2+1-2a）。

【錯(cuò)因分析】第（1）題錯(cuò)在用平方差公式因式分解時(shí)，只注意到字母式子平方而忽視了系數(shù)。建議同學(xué)們初學(xué)時(shí)，先寫成平方差的形式，再分解因式。第（2）題分解不徹底，最后兩個(gè)括號(hào)里的三項(xiàng)式仍然能用完全平方公式進(jìn)一步分解。

【正解】（1）原式=（3x）2-（2y）2=（3x+2y）（3x-2y）；

（2）原式=（a2+1）2-（2a）2=（a2+1+2a）（a2+1-2a）=（a+1）2（a-1）2。

【友情提醒】同學(xué)們?cè)诜纸庖蚴綍r(shí)，牢牢記住三個(gè)步驟：“一提”，有公因式時(shí)先提公因式，務(wù)必要把公因式提盡，不要漏項(xiàng)；“二看”，看項(xiàng)數(shù)，若是兩項(xiàng)，先聯(lián)想平方差公式，看能不能構(gòu)造成“（ ）2-（ ）2”的形式，若是三項(xiàng)，先聯(lián)想完全平方公式，判斷是否存在兩個(gè)符號(hào)一致的平方項(xiàng)及兩數(shù)積的兩倍，有時(shí)還要聯(lián)想到十字相乘法；“三查”，最后要檢查有沒有分解徹底，即分解到不能分解為止。

三、整式乘法和因式分解混合錯(cuò)誤

例10 化簡：（x+y）（x-y）+y（x+2y）-y2。

【錯(cuò)解】原式=x2-y2+xy+2y2-y2=x2+xy=x（xy）。

【錯(cuò)因分析】最后一步將結(jié)果進(jìn)行了因式分解，從而導(dǎo)致沒有完全化簡。在學(xué)完了整式乘法和因式分解兩部分內(nèi)容后，同學(xué)們常常會(huì)對(duì)這兩種運(yùn)算產(chǎn)生混淆。注意化簡指的僅僅是整式乘法，而不包括因式分解。

【正解】原式=x2-y2+xy+2y2-y2=x2+xy。

總之，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤并不可怕，關(guān)鍵要分析出錯(cuò)的原因。希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮慕忸}中發(fā)現(xiàn)“易錯(cuò)點(diǎn)”，在糾錯(cuò)中去總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。