求一類特殊曲面

樊雪雙 李云娟 嚴(yán)峰軍

摘?要：曲面面積的計(jì)算方法很多，例如可以用二重積分及第一型曲面積分都可以計(jì)算曲面的面積，而用二重積分計(jì)算還有兩種方法，這些用積分方法來求曲面面積都要求曲面方程是已知的才可以。而本文獨(dú)辟蹊徑主要采用了利用“分割，近似，求和，取極限”的思想并借助第一型曲線積分的計(jì)算方法求出了一類特殊柱面的面積。

關(guān)鍵詞：曲面;曲線;柱面面積;第一型曲線積分

在高等數(shù)學(xué)中，積分是其中一項(xiàng)重要的內(nèi)容，而對(duì)于積分的應(yīng)用其中一項(xiàng)就是用來求面積，而曲面的面積計(jì)算在高等數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的考查方面，在生活生產(chǎn)實(shí)踐中，這個(gè)問題能否順利解決也顯得尤為重要，我們可以利用二重積分及第一型曲面積分的方法解決已知曲面方程求曲面面積的問題，而這些方法都要求必須已知曲面方程或通過已知條件可求出曲面方程才可以用，而這種要求就給現(xiàn)實(shí)的一些生產(chǎn)實(shí)踐的求曲面面積帶來了不便，而本文主要采用“分割，近似，求和，取極限”的思想方法在曲面方程未知而已知相關(guān)曲線方程的情況下來求一種特殊曲面——柱面的面積。

1?符合條件的一類曲面——柱面面積的計(jì)算

定理：若曲線C的方程為x=x（t）

y=y（t）

z=z（t）（z0）那么該曲線與它在xoy平面上的投影C′以及空間直線L1x=x（）

y=y（）與空間直線L2x=x（β）

y=y（β）所圍成的部分柱面的面積為S=（其中S表示所求柱面的面積，l表示C′上的弧長）

證明：設(shè)C在xoy平面上投影為C′

求上圖中彎曲柱面的面積的解決方法如下：

（1）分割：分割C′（SymbolcB@

tSymbolcB@

β）成n段弧，第i段弧長記為Δli。

（2）近似：第i段弧上對(duì)應(yīng)的圖形面積設(shè)ΔSi，在第i段弧任選一點(diǎn)（x（ti），y（ti），0）其對(duì)應(yīng)于的C上一點(diǎn)（x（ti），y（ti），z（ti））。

ΔSi≈z（ti）Δli

（3）求和：所求面積為S則?S≈∑ni=1z（ti）Δli

（4）取極限：設(shè)λ=max{Δli）（1SymbolcB@

iSymbolcB@

n）

limλ→0∑ni=1z（ti）Δli=S

則所求柱面面積S=

該定理把這樣一類曲面—柱面面積的計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算第一型曲線積分，通過計(jì)算第一型曲面積分就可以求出其面積，對(duì)于這樣類似的柱面我們也可以通過對(duì)上述解決問題思想方法的借鑒來求出相關(guān)類型柱面的面積，下面我們以推論的形式給出。

2?相關(guān)柱面面積的計(jì)算

推論1：若曲線C的方程為x=x（t）

y=y（t）

z=z（t）（zSymbolcB@

0）?在（SymbolcB@

tSymbolcB@

β）連續(xù)，則該曲線與它在xoy平面上的投影以及空間直線L1x=x（）

y=y（）與空間直線L2x=x（β）

y=y（β）所圍成的部分柱面的面積為S=-（其中S表示所求柱面的面積，l表示C′上的弧長）

推論2：若曲線C1的方程為x=x（t）

y=y（t）

z=z1（t）（z0），曲線C2的方程為x=x（t）

y=y（t）

z=z2（t）（zSymbolcB@

0）?它們?cè)冢⊿ymbolcB@

tSymbolcB@

β）連續(xù)，則這兩條曲線與及空間直線L1x=x（）

y=y（）與空間直線L2x=x（β）

y=y（β）所圍成的部分柱面的面積為S=z1（t）-z2（t）dl（其中S表示所求柱面的面積，l表示C在xoy平面上的弧長）。

從上面的定理和推論的前提條件中可以看到，要用定理和推論的結(jié)論都需要把曲線投影到xoy平面上，有時(shí)也可根據(jù)實(shí)際需要把曲線投影到其它的坐標(biāo)平面，這樣也可以得到類似的定理和推論。

3?結(jié)語

本文所采用“分割，近似，求和，取極限”方法證明出了特殊柱面的計(jì)算公式并給出相關(guān)推論，這些結(jié)論在解決相關(guān)問題時(shí)也具有一定重要意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]謝克藻，冀永強(qiáng).高等數(shù)學(xué)下冊(cè).大連理工大學(xué)出版社，2012.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)分析下冊(cè).高等教育出版社，2001.

作者簡(jiǎn)介：樊雪雙（1980-），男，漢族，山西洪洞縣人，碩士，講師，研究方向：代數(shù);李云娟（1981-），女，陜西戶縣人，本科，講師，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)，教育心理學(xué);嚴(yán)峰軍（1979-），男，漢族，山西運(yùn)城人，碩士，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。