基于代理模型的空間飛越發射窗口

向開恒 李人杰， 陳楊

(1. 航天科工空間工程發展有限公司, 北京 100854； 2. 北京電子工程總體研究所, 北京 100854)

空間飛越是指運行在停泊軌道的航天器，收到指令后沿著設計的轉移軌道，從距離目標航天器或天體極近的空間一點(飛越點)掠過，進行短時間觀測并遠離的過程[1]。對空間飛越的研究具有重要意義。首先，飛越探測是深空探測的一種重要方式，如嫦娥二號對4179 Toutatis小行星的飛越探測[2]。其次，在進行在軌服務之前，對目標實施飛越可以對其進行快速有效的觀察，獲取目標運行狀況、故障類別等信息[3]。最后，飛越式接近還可以作為一種安全接近方法，使在軌服務航天器沿一條無碰撞路徑到達目標，且保證出現故障時也能安全撤離[4-5]。

飛越軌道的優化設計是實施空間飛越的基礎，然而因為各種不確定性因素的存在，航天器難以按照預先設計的最優軌道進行飛越，所以相對于軌道優化設計，更為關注的是在一定初始條件下發射窗口的計算方法。目前對運載火箭的發射窗口計算已較為成熟，但是對從停泊軌道出發的發射窗口研究較少。文獻[6]使用遍歷搜索方法，研究了嫦娥二號從環日地L2點軌道出發，飛越探測小行星的發射窗口；文獻[7]提出了基于發射窗口的天基發射方案，在給定初始條件下計算了發射窗口，研究了軌道規劃策略。在進行分析計算時，不同初始條件下的發射窗口不同，初始條件是一個重要的影響因素，所以有必要對此進行研究。

為研究初始條件的影響，需要對若干組不同初始條件下的發射窗口進行分析，而每一組都需要采用數值方法進行遍歷搜索來計算，因此計算量大、耗時長，需要研究高效的計算方法。代理模型(surrogate models)技術是一種降低計算成本的有效方法，所謂代理模型是指計算量小、但計算結果與真實模型的結果相近似的分析模型。在研究過程中用代理模型替代真實的高精度模型，可以有效地減少計算量、提高仿真計算的效率[8-9]。代理模型技術是多學科優化領域的重要研究內容之一，但在航天器軌道設計與發射窗口計算中的應用較少。文獻[10]通過構建BP神經網絡(Back Propagation Neural Network，BPNN)代理模型，進行了空間飛行器可遭遇區與最小速度增量遭遇點的計算。

本文針對空間飛越問題，研究不同初始條件下發射窗口的數值計算方法和代理模型技術，對比分析不同的代理模型構造方法在解決該問題中的效果和適用性，基于代理模型快速分析初始條件對發射窗口的影響。

1 考慮初始條件的發射窗口計算

1.1 空間飛越任務流程

一次空間飛越任務如圖1所示。

都市生態的內涵十分豐富，除了自然生態之外，還涉及到了都市的人文生態，因此都市生態不僅關系著城市居民的生活環境質量，同時也影響著其精神層面的發展[1]。通常情況下，我們會將都市生態分為兩個部分，其中自然生態即是指城市環境，人文生態則是指一些歷史遺留的古建筑和非物質文化遺產。當前階段的市政工程管理存在明顯的片面性，普遍存在重視自然生態保護，忽視人文生態保護的情況，對文化遺產的繼承發展造成了嚴重的阻礙。

從接收飛越任務指令到完成飛越任務的具體流程如下:

Cloumn-Bot采用Arduino mega 2560單片機作為核心控制器，其上具有54路數字輸入輸出，適合需要大量IO接口的設計.

1)t0時刻接收指令，此時飛越航天器和目標航天器的位置分別為rf0、rt0。

圖4是美國前三輪加息周期中上證指數的月線波浪形態。通過觀察不難看出，美國加息時段中的A股存在一個共性之處，即大致都呈現出先跌后漲的V形走勢，并與中國股市特有的浪形態勢相契合。自2015年12月以來的美聯儲這輪加息周期時間最長，共已加息9次。2016年1月至今三年時間里，A股主要經歷了前兩年的緩慢上揚和今年的持續大幅調整。有預期認為2019年美國還將加息兩次，那么，中國A股是否會在新的一年里止跌并出現一波上漲呢？目前看來的確有這樣的可能。關于近幾年A股市場走勢的浪形分析，讀者朋友可參考上期專欄文章及圖示。

3) 在t1時刻，飛越航天器施加脈沖進行變軌。

4) 飛越航天器變軌后，飛行Δt時間，到達t2時刻，t2=t1+Δt。此時飛越航天器到達飛越點，實現飛越。因為飛越點與目標航天器的距離和該點與地心的距離相比極小，可以忽略，所以假定此時飛越航天器和目標航天器的位置均為rt。

相似度比較計算是信息分類及判別的關鍵技術。由于自然語句是由字、詞語及關鍵字等組成，相似度的比較計算可以分為詞語相似度、語義相似度、句子相似度、句長相似度等多個特征方面。其中，詞語相似度是指兩個或幾個詞語所表達的內涵相同或相近，可以互相替換使用而不改變整個語句的文義的程度，常用的詞語相似度算法有基于統計和基于規則的兩種方法；句子相似度主要由基于語法的分析和基于詞匯相似度矩陣的分析方法。通過多個特征相似度的分析計算，對語句及其含義進行綜合對比研究，從而達到自動評閱的目的。

圖1 空間飛越任務示意圖Fig.1 Schematic diagram of space fly-by mission

完整的飛越任務時序如圖2所示。定義從接收指令到施加脈沖前的時間Δt0為等待時間，從施加脈沖到完成飛越的時間Δt為轉移時間，總時間為飛越時間Δts= Δt0+Δt。

圖2 空間飛越任務時序Fig.2 Timing sequence of space fly-by mission

1.2 不同初始條件下發射窗口計算方法

學校里教什么行業的班級都有：廚師（刀功、面案、烹飪、擺臺），汽車修理和駕駛，公共電汽車售票員，園藝工（花匠），開城市灑水車，美容美發，電影放映員，澡堂子服務員，商店售貨員，服裝裁剪，倉庫保管員，會計、出納和文秘，差不多就是一個綜合性社會服務業預備班。

2.2 NAFLD組與對照組CD4+CD25+T細胞結果比較 NAFLD患者外周血CD4+CD25+T細胞百分率較對照組明顯降低，差異有統計學意義（P＜0.05），見表2。

將所有滿足約束的t1時刻的集合作為發射窗口，發射窗口隨t0時刻初始條件的變化而變化。假設不考慮攝動力的影響，飛越航天器和目標航天器的軌道在空間固定不變，則t0時刻兩者的初始位置rf0和rt0只與其平近點角mf0和mt0有關。所以，研究初始條件對發射窗口的影響即研究平近點角的影響，具體步驟如下：

步驟1初始化飛越航天器平近點角mf0=0°。

Put the optimized formula of glass holder profile into SAP system, and extend BOM list code[5-7]. The length of each profile can be calculated for actual need. The result can be listed in related order as below:

步驟2初始化目標航天器平近點角mt0=0°。

清朝沿襲明朝的閉關鎖國政策，直到1684年之前都禁止海外貿易。1684年，清政府設廣州、漳州、寧波、云臺山(今江蘇鎮江)四處為對外通商口岸，并引用已有的內陸口岸的規定管理海關。1757年(乾隆二十三年)，清政府撤銷其他口岸，限定廣州一口通商，直到鴉片戰爭，一直實行單口貿易政策。關稅稅率大體為進口稅率是16%，出口稅率4%④。進出口關稅稅率的差異一定程度上體現了清政府鼓勵出口、抑制進口的初衷。但由于進出口規模有限、海關行政效率低下及貪污腐敗盛行，關稅對整個財政收入的貢獻微乎其微。

步驟4初始化轉移時間Δt=Δtmin，Δtmin為最小轉移時間。

步驟5根據mf0和mt0計算飛越航天器和目標航天器的初始位置rf0、rt0，然后根據Δt0和Δt計算出rf、rt，使用普適變量法求解Lambert問題得到速度增量Δv；計算飛越時間Δts=Δt0+Δt；如果Δv<Δvmax且Δts<Δtsmax，則t1時刻屬于初始條件為mf0和mt0時的發射窗口，其中Δvmax和Δtsmax分別為變軌速度增量和飛越時間的最大允許值。

因為本文研究的是空間飛越而非空間交會，所以飛越點速度約束暫不考慮；本文采用二體動力學模型下的Lambert變軌，不考慮攝動因素，因而可以保證飛越點位置約束滿足要求，且無需考慮中途修正及其燃料約束；在飛越點附近對目標航天器進行觀測時要求日光、月光、地氣光等不能進入觀測設備的視場影響觀測效果，仿真結果表明，光照條件在短時間內變化極小，因此本文假設在任務期間飛越點光照條件不變且滿足約束。而變軌速度增量和飛越時間是最重要、最基本的2個約束，如文獻[7,10-11]均在只考慮這2個約束的條件下來計算發射窗口。綜上，本文重點考慮變軌速度增量約束和飛越時間約束。

步驟3初始化等待時間Δt0=Δt0 min，Δt0min為最小等待時間。

步驟6更新Δt=Δt+Δtstep，Δtstep為轉移時間的步長；如果Δt<Δtmax，則返回步驟5，否則進行步驟7，其中Δtmax為最大轉移時間。

（一）多閱讀積累故事。每天在課每周我會用一節課時間，給同學們講故事，有時是我站在講臺上給同學們繪聲繪色手舞足蹈的邊說邊演；有時我把故事說完，會讓孩子根據故事中的角色進行表演，并且允許他們自行改編。這也為他們改變故事和給故事寫續集做好了充分的準備。

步驟7更新Δt0=Δt0+Δt0step，Δt0step為等待時間的步長；如果Δt0<Δt0max，則返回步驟4，否則進行步驟8，其中Δt0max為最大等待時間。

步驟8更新mt0=mt0+mtstep，mtstep為目標航天器平近點角的步長；如果mt0<360°，則返回步驟3，否則進行步驟9。

步驟9更新mf0=mf0+mfstep，mfstep為飛越航天器平近點角的步長；如果mf0<360°，則返回步驟2，否則結束。

計算過程如圖3所示。

可以看出，研究初始條件對發射窗口的影響，需要對mf0、mt0、Δt0和Δt4個變量進行循環計算，計算量極大。

文獻[11]研究了一種特殊的情況：飛越航天器和目標航天器的軌道為共面圓軌道時，初始條件對發射窗口的影響。定義初始相位角θ0為t0時刻飛越航天器與目標航天器的地心角，即兩者緯度幅角之差，則在共面圓軌道的假設下，初始條件的變化只與初始相位角θ0的變化有關。因此，只需研究初始相位角的變化對發射窗口的影響，即在計算過程中只需θ0、Δt0和Δt3個變量的循環。研究結果顯示，在共面圓軌道情況下計算耗時約為10 min。而對于一般情況，初始條件與平近點角mf0和mt0有關，相比于共面圓軌道，計算過程多了一重循環，假設以1°為步長，則計算量為原來的360倍，預計耗時約60 h，計算時間過長，因此需要研究提高計算效率的方法。

1.闊盤吸蟲病。闊盤吸蟲病感染的環境需要含蟲卵糞便、蝸牛及牧草混合在一起，我國南方牛、羊受感染的季節主要在秋季(7～10月)。其它季節發病率不高。

圖3 發射窗口計算過程Fig.3 Calculation process of launch window

2 代理模型技術

代理模型是根據真實模型的輸入/輸出樣本數據來構造的一個替代模型。構造代理模型一般需要3個步驟：首先,選取樣本點，通過真實模型計算出對應的輸出值，生成輸入/輸出樣本數據；然后,根據樣本數據構造出代理模型；最后,對代理模型的精度進行校驗，評估其可信度[12-13]。

2.1 生成樣本數據

構建代理模型，首先是選取樣本點并計算樣本點的輸出值。通常使用試驗設計作為采樣策略，通過科學合理的數學安排，在設計空間內生成能夠反映真實計算模型的數值特征的樣本點[14]。常用的試驗設計方法包括：全析因設計、正交設計、中心復合設計、均勻設計、拉丁超立方設計等。

在試驗設計中，輸入變量被稱為因素，因素所處的狀態稱為水平[15]。本文選用全析因設計方法，該方法將所有因素的所有水平進行組合來選取樣本點，能夠全面反映輸入變量及其相互間的交互作用對輸出值的影響。全析因設計生成的樣本點數ns為

ns=(nl)nv

(1)

式中：nv為因素數，即輸入變量的個數；nl為水平數。

通過試驗設計得出樣本點x=[x1,x2, …,xns]之后，需要計算每個樣本點所對應的輸出值，針對本文研究的問題來說，即為樣本點所對應的發射窗口長度。發射窗口長度的計算使用1.2節的方法，只是對于每個樣本點來說，mf0和mt0確定，只需計算Δt0和Δt2個變量的循環，即步驟3～步驟7。最終得到樣本點輸出數據y=[y1,y2,…,yns]。

生成輸入/輸出樣本數據后，可以進行代理模型的構造。

2.2 構造代理模型

常用的代理模型構造方法包括多項式響應面法(Response Surface Method，RSM)、移動最小二乘(Moving Least Square，MLS)、徑向基函數(Radial Basis Function，RBF)、Kriging模型、BPNN和支持向量回歸(Support Vector Regression，SVR)等。文獻[14]從近似精度、計算成本、實現難度等方面對典型的代理模型構造方法進行了對比評估，得出RBF模型和Kriging模型的綜合性能優于其他代理模型。因此，本文研究這2種代理模型在空間飛越發射窗口計算中的應用。

設計導入期的目的，一是穩定基線，二是洗脫藥物。14項研究中有6項（42.86%）設計了導入期，時長1～4周。其中1周1項，2周2項，4周3項。隨訪目的為觀察腹痛的復發率。14項研究中10項設計了4周～6個月隨訪。其中，4周5項（35.71%），8周3項（21.43%），12周及6月各1項（各占7.14%）。

μ=(dTQ-1d)-1dTQ-1y

徑向函數是以未知點與樣本點之間的歐氏距離為自變量的一類函數。以徑向函數為基函數，通過線性疊加構造出來的模型即為RBF模型，其基本形式為[14,16]

(2)

式中：fR(xu)為未知設計點xu處RBF模型的預測值；α=[α1,α2,…,αns]T為權重系數向量；gi(xu)為徑向函數，常用的徑向函數有

(3)

構建RBF模型的重點是求解權重系數α，α應滿足插值條件，使樣本點處的預測值與真實值相等，即

(4)

式中：xj為第j個樣本點；yj為第j個樣本點的輸出。式(4)的矩陣形式為

Gα=y

(5)

式中：G為徑向函數矩陣

(6)

則權重系數

α=G-1y

(7)

2.2.2 Kriging模型

Kriging模型是由南非地質學者Krige提出的一種針對空間分布數據的無偏最優估計插值模型，由全局模型和局部偏差模型疊加而成，其基本形式為[14,17]

fK(xu)=w(xu)+Z(xu)

(8)

式中：w(xu)為多項式全局近似模型，反映近似對象在設計空間內的總體變化趨勢，可取常數μ；局部偏差項Z(xu)是一個隨機過程，其均值為零、方差為σ2、協方差非零。Kriging模型的近似能力主要由局部偏差項Z(xu)決定，其協方差矩陣可表示為

Cov[Z(xi),Z(xj)]=σ2Q[q(xi,xj)]

(9)

式中：Q為對稱相關矩陣;q(xi,xj)為高斯相關函數

(10)

對任一設計點xu，引入相關向量p(xu)為

fK(xu)=μ+pT(xu)Q-1(y-dμ)

(11)

由此，Kriging模型可以表示為

我的母校已不復存在了，連身后那幢曾與我們朝夕相伴的水房也龜裂了，坍塌了。在那些山墻下的垃圾與瓦礫堆中，躥出的紫棒花和野草正敘說著不盡的孤寂。秋風中那一排粗大的楊樹，正不斷地往下飄落著桔紅色的葉子。羈旅行役，半世蹉跎，這一生我已經走完了大半了呵……

p(xu)=[q(xu,x1),q(xu,x2),…,q(xu,xns)]T

(12)

式中：d可設為元素全為1的ns維列向量。模型中存在3個未知量：μ、θ和σ2，其中μ和σ2都是θ的函數，兩者的最小二乘估計可通過式(13)和式(14)求出：

2.2.1 RBF模型

(13)

(14)

將μ和σ2的表達式代入式(15)所示的一維優化問題可求解得到相關參數：

s.t.0≤θ≤∞

(15)

2.3 校驗代理模型精度

代理模型構建完成之后，需要對其精度進行評估和校驗。通常根據以下2個準則來判斷代理模型的精度[8]：復相關系數R2和均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)，其表達式為

(16)

(17)

R2越接近1，表示代理模型的全局近似程度越好，一般認為大于0.9即滿足要求，此處R2為統計學符號，并非平方，其值可能為負；RMSE越接近0，表示最大的局部誤差越小，一般認為小于0.2即滿足要求。

空間飛越發射窗口的計算需要考慮多個約束條件，包括變軌速度增量、飛越時間、飛越點狀態、飛越過程燃料等。其中飛越點狀態約束包括飛越點位置和速度約束、飛越點光照條件約束等；飛越過程燃料約束是為了保證飛越點精度，進行中途修正所需的燃料約束。

3 兩種代理模型方法的對比

針對本文研究的空間飛越過程中初始條件對發射窗口影響的問題，利用1.2節提出的數值計算方法，根據代理模型技術構造RBF模型和Kriging模型，對2種模型的精度進行對比分析。

設t0時刻飛越航天器和目標航天器的軌道根數如表1所示。表中，a為半長軸，e為偏心率，i為軌道傾角，Ω為升交點赤經，ω為近地點幅角。

覆蓋在頂管上的載荷主要由管節上方土壓力和道路交通載荷組成，管節上方土壓力主要與覆土深度和土層有關，在考慮卸荷拱效應的作用下，采用散粒體的極限平衡理論的馬斯頓法計算土壓力，馬斯頓法相比其他土壓力理論方法考慮了土體內聚力的影響［1-2］。

采用全析因試驗設計方法選取樣本點。本文研究的是初始條件對發射窗口的影響，因此輸入變量設為飛越航天器和目標航天器的平近點角mf0和mt0，因素數為2；在設計空間[0°,360°)內以10°為步長取值，因素數為36；因此是一個2因素36水平的試驗設計問題，樣本點數ns=362=1 296。

計算出每個樣本點所對應的輸出值，利用輸入/輸出樣本數據x、y構建RBF模型和Kriging模型。

為校驗代理模型的精度，在設計空間內隨機選取200個測試樣本點，計算2個代理模型的R2和RMSE。計算結果如表2所示。

從表2可以看出，以R2和RMSE 2個準則來判斷，RBF模型的精度都高于Kriging模型。測試樣本點的預測值與真實值的對比如圖4所示，圖中的點越靠近對角線，表示該點的預測值與真實值越接近。可以看出，相對于Kriging模型，RBF模型的點在對角線附近更集中，精度更高。

表1 t0時刻軌道根數Table 1 Orbit elements at moment t0

表2 兩種代理模型精度對比Table 2 Accuracy comparison of two surrogate models

圖4 測試樣本點分布Fig.4 Distribution of test sample points

因此，本文采用RBF模型研究空間飛越過程中初始條件對發射窗口影響。

4 實例驗證

以表1中的軌道根數為例，基于RBF模型進行分析。計算發射窗口時，變軌速度增量約束Δvmax=500 m/s，飛越時間約束Δtsmax= 9 000 s。

提高計算效率、減小計算耗時是本文研究代理模型的初衷和目的，因此首先檢驗應用代理模型后計算時間上的變化。根據第1節中的分析，在設計空間內以1°為步長使用真實模型進行計算，預計耗時約60 h，計算時間過長。因此以2°為步長使用真實模型和代理模型分別進行計算，計算時間如表3所示。

從表3可以看出，使用RBF模型計算發射窗口耗時僅為使用真實模型的0.29%，計算效率得到極大提高。使用代理模型之前需要先進行構建，因為在構建和校驗精度時需要大量樣本數據，而這些樣本數據是通過使用真實模型計算得出的，所以需要花費一定的時間。但總計算時間也僅為使用真實模型的6.31%，相比而言效率還是較高。而且代理模型的構建是一次性的，一旦構建完成，對于相同軌道根數情況的計算就可以重復使用，無需再次構建。

代理模型除了極大地提高計算效率外，還需要滿足一定的精度要求。表2中的數據顯示，RBF模型的R2>0.9，RMSE<0.2，均滿足要求。為直觀顯示其應用效果，繪制發射窗口長度相對于平近點角mf0和mt0的等值線圖，如圖5所示。可以看出，應用RBF模型計算得到的等值線圖與使用真實模型得到的結果基本相同，可以反映出初始條件對發射窗口的影響。

通過對等值線圖分析可以看出：

1) 對于飛越航天器和目標航天器為非共面圓軌道的情況，發射窗口長度取決于初始時刻兩者的平近點角，平近點角之差相同并不能保證發射窗口長度相同。圖6中的虛線為兩者平近點角之差為零的點的集合，這些點對應的發射窗口長度不等，最長為2 204.4 s，最短為0 s。

表3 代理模型和真實模型計算時間對比Table 3 Comparison of calculation time between surrogate model and true model s

2) 對于任意的mf0，都存在對應的可行mt0區間，使發射窗口存在，即當目標航天器位于該區間內時，飛越航天器在速度增量和時間約束下能夠實現飛越。不同的mf0對應的mt0區間不同，區間長度108°～172°；同樣，對于任意的mt0，都存在mf0區間，區間長度108°～188°。如圖7所示，當mf0=160°時，可行mt0區間為[40°,158°]，區間長度118°；當mt0=160°時，可行mf0區間為[162°,288°]，區間長度126°。

圖5 真實模型和RBF模型的發射窗口長度等值線圖Fig.5 Contour map of launch window length of true model and RBF model

圖6 平近點角相等時的發射窗口長度Fig.6 Launch window length of equal mean anomalies

3) 從圖5能夠直觀地看出發射窗口長度的分布情況和變化趨勢，可以選取發射窗口較長的點，在實施空間飛越任務時將其作為初始條件。從圖5(b)可以看出，當以mf0=112°、mt0=72°為初始條件時發射窗口最長，為5 743.1 s。而飛越航天器的軌道周期為5 801.1 s，這意味著在一個周期之內基本都可以實施飛越。

4) 對任意一點，可以根據圖5直接判斷其是否具備飛越條件及其發射窗口長度；若以某點為初始條件的發射窗口為0，則可以判斷出多長時間后可以具備飛越條件。如圖8所示，A點對應的mf0和mt0為(40°,80°)，以其為初始條件，發射窗口為0，根據飛越航天器和目標航天器的軌道根數，兩者平均角速度n1/n2=1.2，則兩者的位置隨時間的變化在圖上表示為以A為起點、斜率為1.2的線段，如圖中的虛線所示。可以看出，經過2 526.2 s后虛線與等值線圖首次相交于B點，以該點為初始點發射窗口長度為500 s；若要求發射窗口長度不少于某值，如2 000 s，則需要從A點起經過4 124.6 s后到達C點，以C點為初始條件開始飛越。以A點為起點，發射窗口長度隨時間變化如圖9所示。

圖7 可行的平近點角區間示意圖Fig.7 Schematic diagram of feasible region of mean anomaly

圖8 任意一點的發射窗口分析Fig.8 Analysis of launch window of one point

圖9 發射窗口長度隨時間的變化Fig.9 Change of launch window length with time

5 結 論

1) 本文分析了空間飛越任務流程，建立了用于分析初始條件對發射窗口影響的數值計算模型，該模型包含4個變量的循環，計算耗時約60 h，效率較低。

2) 研究了代理模型技術，采用全析因試驗設計方法生成樣本數據，構建了RBF模型和Kriging模型，以R2和RMSE準則對比了2種模型的精度，結果表明RBF模型精度較高。

3) 應用RBF模型計算發射窗口長度，計算耗時僅為真實模型0.29%，而且精度校驗滿足要求。根據發射窗口長度的等值線圖，分析了初始條件對發射窗口的影響。

4) 后續可以在2個方面進一步開展研究：一方面，提高發射窗口計算模型的精度，如采用高精度軌道動力學模型，考慮飛越點狀態約束、飛越過程燃料約束等；另一方面，提高代理模型的效率和精度，如改善樣本點選取方法來減少構建代理模型的成本，研究代理模型的更新和修正方法來提高模型精度等。