三視圖補線線索探究

沈杰

摘 要：三視圖補線題是高考通用技術的必考題之一，每年的固定分值為三分。雖然分值比重不大，但是這種題型最能夠考查學生的空間想象力，也是最容易控制難度的題型，能很輕易地拉開分差。三視圖補線在教學中沒有現成的公式或口訣，都是依靠空間想象的“硬實力”，是很多學生比較害怕的一種題型。不少教師也認為該題型只能聽天由命，看學生造化，但空間感覺很好的學生畢竟占極少數。研究發現這一題型也并不是毫無規律可循，還是有努力方向的。在教學中根據歷年考題和各地模擬題的特點總結出了一套探尋補線線索的方法。雖然不能像公式一樣套用，也不能保證百發百中，但是能夠最快鎖定三條線的線索，實現在最短時間內正確補線拿分的目的，為空間想象力一般的學生找到了一條努力的道路。

關鍵詞：三視圖;補線;通用技術

一、真題概覽

2016年至2018年出現的三視圖補線題。題型不給出三維圖形，將完整三視圖中的線擦去三條，要求學生補全這三條線。空間想象能力好的同學，這類題目能夠以“腦補”的方式，在頭腦中形成一個三維圖形，并根據這個三維圖將所缺的線補充出來。但是這類同學的比例很低，大部分同學需要通過畫立方體進行切割后才能補充完整。切割法又非常耗時，在實戰中時間緊張，且在切割過程中也容易走彎路，導致思路卡住。如果在切割過程中能夠找到正確的切割方向，根據已有線索迅速構建立體圖形，那么可以大大節約寶貴時間，提高正確率。筆者在教學實踐中總結了一套尋找切割線索的方法供讀者參考。

二、基礎法闡述：轉折點補棱

此方法最基礎，教學中經常會用到，是“長對正、高平齊、寬相等”的應用。如圖1所示，三視圖中出現的線都是輪廓線。每條輪廓線都是由兩個相交的平面形成，在三個視圖中以一點兩線的形式呈現。主視圖中的轉折點在左視圖中等高位置和俯視圖等寬位置有對應輪廓線。同理在左視圖中的轉折點與主視圖等高處和俯視圖等寬處有相應的輪廓線，但是這里須將俯視圖逆時針旋轉90度與左視圖比較（如圖2）。俯視圖中的轉折點在主視圖等長處和左視圖等寬處有相應的輪廓線。

三、點的特性：單點尋蹤

上述基礎方法最簡單，所補的線都是平行于輪廓線的直線。如果出現需要補充不平行輪廓線的斜線，那又如何操作呢？這就需要知道點的投影特性即“單點尋蹤”。兩點確定一條直線，只要確定了某線段上的兩點，此線段的位置就唯一確定了。因此在補線時就需要學會如何尋找點在三視圖中的位置。方法如下：

如圖3所示，A點在三視圖中的投影分別是a、a′、a″，主視圖和左視圖中的投影連線aa″垂直于Z軸，主視圖和俯視圖中的投影連線aa′垂直于X軸。a點與X軸的距離與a″與Z軸的距離相等。b點投影也具有同樣的特性。根據這個特點，如果已知點在兩個視圖中的投影，那么在第三個視圖中該點的位置就唯一確定了。進一步，如果已知一條線段在兩個視圖中的投影，那么可以通過確定線段上的兩個點在第三視圖中的位置來確定該線段的三視圖位置。

四、綜合方法：逆向尋蹤

如果三視圖中有斜線出現，并且需要補的也是一條斜線，那么以上轉折點補棱的方法就行不通了。當看到三視圖中有斜線，那么相當于告訴我們要補的也很可能是一條斜線，這樣可以少走彎路。觀歷年考題，補線題都是從立方體開始以平面切割，然后將所得三視圖擦去三條線。鑒于此，筆者將高考已經出現的切割方法歸類并分析不同切法所得三視圖的特點，根據這些特點進行逆向推理，構建三視圖，可以快速找準補線的方向，稱為逆向尋蹤。

切法一：一刀單切

如圖4所示，立方體平行于輪廓線切一刀，切面平行已有輪廓線，稱為單斜切，箭頭方向為主視方向。得到的三視圖中有一個圖形不是完整的矩形，多了一條斜線。并且在這條斜線等高處和等寬處沒有斜線的話，在等高等寬區域不會再有第二條斜線，此切法在三視圖中只會多出一條斜線。如圖5所示2016年4月考題：

此三視圖中的斜線1和斜線2在各自的等高和等寬區域都沒有出現另一條斜線，因此必定是按照單斜切方法所得。這題可以利用轉折點補棱法迅速得到答案。

切法二：兩刀切

兩刀切就是將立體圖形切兩刀，去掉兩塊后形成的圖形。切法如圖6所示：

以上兩圖可以分別稱為直切兩刀和同向單斜切兩刀。這兩種切法難度不高，得到的圖形非常規則，一般學生都能夠想象出立體圖形。根據轉折點補棱法就可以將所缺線補出。

如圖7 2017年11月考題：

此考題得滿分者比例較低，大部分考生能夠利用折點補棱法得到兩條平行于軸的直線而對于所缺斜線沒有思路。如果交叉單斜切三視圖的特性，那么就很清楚缺少了斜線。左視圖中斜線1在主視圖等高區域存在斜線2，但在俯視圖中斜線1的等寬區和斜線2的等寬區都沒有斜線。所以這個重疊區應該缺少一條斜棱，同時俯視圖有矩形區域，符合交叉單斜切的特征，根據“長對正，高平齊、寬相等”的特性可以確定這條斜線的位置。綜上，三視圖中兩個視圖的同一位置有斜線，在第三個視圖相應區域必有第三條斜線。

以上分析可知，一刀切的雙斜切法和兩刀切的交叉單斜切法都有可能形成三條斜線，當題目中只出現兩條斜線時如何判斷第三條斜線是由一刀切的還是兩刀切形成的呢？兩刀切與一刀切有一顯著不同，即兩刀切會形成小矩形，而一刀切沒有。

圖形的切割特性如能夠熟練掌握，雖不像公式一樣一套就靈，但為我們的思考指明了方向，避免走錯路彎路。對交叉單斜切三視圖的進一步研究可知，如果左右向傾斜切面固定，前后向傾斜切面的傾斜度越高，兩斜面交界線越趨向于平行前后棱。前后向傾斜切面固定，左右向傾斜切面的傾斜度越高，兩斜面交界線越趨向于垂直前后棱。這一特點在2016年10月的考試中也已出現過。考題如圖8所示：

此題中出現四條斜線，斜線4與一條直線相交，可以推測，此處可能有個小矩形，并且是由交叉單斜切法切割而成。從斜線1、3的位置推測，在直線邊上應該有一條因兩斜面交界形成的斜線。并且斜線1的傾斜度小于斜線2，這條斜線應該比斜線4更加趨向于平行前棱。根據此特點可以推測出如圖所示的斜線5即為所缺。

五、題型趨勢展望

到目前為止，歷年考題中只出現單斜切法和交叉單斜切法，像斜面2這樣由雙斜切而形成的復雜情形并不曾出現過。立體結構同時由單斜切+雙斜切的形式更為復雜，難度會陡然上升。至于雙斜切+雙斜切的切法難度更是難以想象。所以今后的考題可能仍然以單斜切和交叉單斜切的形式出現，進一步可能會出現雙斜切的情形，至于雙斜切+雙斜切的可能性并不大。

本文對三視圖補線的基礎方法進行了詳細介紹，并在此基礎上重點對圖形切割的可能性和所得三視圖的特點進行了歸納總結。利用本文所述方法雖然不能做到百發百中，但是將缺線的位置、線型的范圍縮小了，可以大大節省寶貴的答題時間，提高解題準確率。

補線沒有定法，更沒有公式，構建出三維圖形無疑最保險、最準確，如果能夠結合本文所述切法特征去構建，就可以做到快又準。然而本文所述方法必定存在諸多疏漏之處，望讀者不吝指正。

編輯 郭小琴