固本求真，追求數學課堂的深度思維
——《什么是周長》一課教學有感

浙江省義烏市教育研修院 許忠平

我們很多時候會通過概念去理解事物，可是很多時候又并未真正了解概念意味著什么。如《什么是周長》一課是屬于概念教學經典課例，各種不同思路的設計版本頗多，有的基于概念的形成，有的基于概念的同化等。其實，無論采用哪種路徑進行概念教學，關鍵在于概念本質的構建。如果能抓住最核心的本質，看事物會更精準。基于這樣的思考，我進行了《什么是周長》一課的下水課，把構建概念本質和數學思維方法作為教學的重點，發展學生的思維。

一、深思慎取，操作中凸顯本質

概念是反映客觀事物最一般的本質屬性的思維形式，正確地理解和形成一個數學概念，必須明確這個數學概念的內涵，在概念形成的過程中，抽取事物的本質屬性是關鍵。就“周長”而言，“一周”就是其本質屬性，而對于“一周”而言，學生已經有著豐富的生活經驗。因此，我精心設計了兩個操作活動，讓學生對周長的本質屬性形成初步的體驗。

（一）活動一：指一指物體的一周

師：老師寫兩個字，你們說一說它是什么意思？（板書：一周）

生：指一個物體的邊緣。

師拿著一個作業本：邊緣？你能指一指嗎？（生指）

師：她指得對不對？（對）誰還有別的想法？

生：就是一個物體的輪廓。

師拿著流動紅旗：誰能指它的一周？（生指）

（二）活動二：描一描圖形的一周

師：看來大家對“一周”的理解都很不錯，那就拿出作業紙，你能用水彩筆描出下面各圖的一周嗎？

生描，師巡視并指導。

（大部分同學已完成）師：同桌之間說一說，你是怎么描的？

師拿了兩位同學的作業紙放在投影儀上：我們請這兩位同學上來介紹一下他們是怎么描的。

（生描完第二個圖的時候）師：有沒有不同的描法？

生上臺展示描法。

師：你覺得他們描的有什么不一樣？

生1：一個從左邊開始描，一個從右邊開始描。

生2：一個是一步描起來的，一個是分兩步描起來的。

師：那他們倆描的有什么相同的地方？

生：都是描了圖形的一周。

師：我們請女同學來描第三個圖形，注意，要描出它的一周（語速慢且沉重）。（生描）

生：我有意見，角不是三角形，沒有一周的。

師：你覺得三角形才有一周，給你一支筆，那你能把它變為三角形嗎？

師：現在這個圖形有一周了嗎？

生齊答：有！

師：我們來看一下最后一個圖形，先請這兩位同學描一描，大家仔細觀察，他們的描法一樣嗎？

生齊回答：不一樣！

師：你同意哪位同學的描法？同桌交流一下，為什么？

生：把里面描起來就不是圖形的一周了。

師：你能上來指一指哪些線指的是圖形里面的線，哪些線是指圖形的邊線嗎？（生上臺指）

師對著畫錯的同學：你覺得自己對嗎？（生搖頭）沒關系，剛開始學習還有點陌生，等一下就理解了。

師：剛才描的過程當中，大家都很認真，描了之后，你覺得描圖形一周的過程中要注意什么？

生1：不要把里面的線也描起來。

生2：不封閉的圖形沒有一周。

生3：描的時候要仔細，要沿著邊線描，不要描到外面去了。

課的初始，通過認識一周來喚醒學生的認知激情，因為周長這個概念的本質是一周，而學生的已有生活經驗已經無意識地經歷過基本過程，只是沒有形成一個清晰完整的數學概念而已。所以從課的開始，通過指物體的一周、描圖形的一周這兩個活動逐步引入周長的本質屬性，調動了學生頭腦中儲存的生活經驗，為學生接下來的學習做好鋪墊。指一指與描一描兩個活動的設計，不僅為學生創設了一個探索和發現的環境，同時使每個學生都參與到探求新知的活動中，達到舊知與新知的緊密聯系與結合。

二、深耕細作，爭辯中提煉本質

數學的嚴謹性不是絕對的，一成不變的，而是相對的、發展的，體現了人類認識逐漸深化的過程。課堂中生與生的爭辯不僅能激發學生的學習熱情，還能在爭辯過程中發現規律且提煉出概念本質。在概念教學中，教師應把握概念的操作性特點，讓學生用發展的眼光來看待問題，用一定的理由來說明自己對事物或問題的見解，揭露對方的矛盾，并在爭辯后達到共同的認識。在爭辯中提煉本質，培養學生的辯證思維，是概念教學中應有的價值取向。

（一）活動三：發現一周的規律

師：請同學們描出下面四個圖形的一周，描好后想一想，你發現了什么？

生描，師巡視并指導。

師：同桌之間說一說，你發現了什么？（同桌交流）

（請了一位同學上臺）師：我們先請他介紹一下第一個圖是怎么描的。

師：第二個呢？（生描）

生1：他描得不對，里面的斜線不能描起來。

生2：一周指的是外面的線，不包括里面的線。

生3：里面再多的線，我們都不能描起來。

師：你聽得懂他說的意思嗎？贊同嗎？你能指一指剩余圖形的一周嗎？（生指）

師：我們還有最后一個圖沒有描，誰愿意上來描？

師：你發現了什么？

生1：四個圖形都是五邊形。

生2：圖形里面有再多的線都不能算為一周。

（二）活動四：改變圖形的一周

師：那我再添加一些線，圖形的一周有沒有改變呢？

師畫，生口答。（在里面亂畫）

師：你發現了什么？

生：無論里面怎么畫，圖形的一周都不會改變，如果畫外面就可以改變了。

師：那你愿意上臺來畫一畫嗎？

師：這位同學這么畫，改變圖形的一周了嗎？（變了）誰還愿意再來變一變？（生積極舉手并上臺畫）

師：這么多同學畫的方法，它們什么變了呢？

生1：形狀變了。

生2：一周的長度變了。

生3：周長變了。

師：周長變了？那什么是周長呢？

生：一周的長度。

師（笑）：你太厲害了，你的回答和書本上是一樣的！大家給他點掌聲。（師板書：一周的長度叫周長）

師：原來圖形一周的長度就是圖形的周長，周長就是我們今天學習的新知識。（板書課題）

當學生對一周有了初步的認識后，可以通過四個有聯系又有區別的圖形，讓學生再次認識一周的本質意義。我通過讓學生描一描、說一說、辯一辯、改一改、畫一畫等環節，經過一次次的論證，發現周長的規律是那么順理成章。像這樣的爭辯環節既突出了本節課的重點，又突破了本節課的難點，提煉出周長概念的本質。

三、深圖遠慮，應用中探究本質

每一個數學概念都是下一個概念的基礎，因此它又是具體的，概念的具體性決定了它的應用廣泛性。練習的環節既是對知識鞏固的環節，又是對知識與技能目標達成度實施測評的環節。教師應該利用概念具體性的特點，為學生提供認識事物數量、數形關系及轉換的不同路徑和獨特視角。我沒有設計精良的練習，而是利用教材中的教學內容，通過活動挖掘出更多的技能，讓學生從不同思維解決了圖形的周長的問題，讓學生在應用中探究概念的本質，使學生具有數學的眼光。

活動五：數圖形的周長

師：打開數學書45頁的最后一題，數一數，下面圖形的周長分別是多少厘米？

生數，師巡視并做相應的指導。生匯報。

師：我們請一位同學上臺來說一說是怎么數的。

生1：我先看到右上角的標注，一格表示一厘米，然后我一邊畫格子，一邊數，1厘米，2厘米，3厘米……19厘米，20厘米。

師：有沒有不一樣的方法？

生2：只要數兩邊就夠了，因為這個圖形是一個長方形，有兩條長和兩條寬，我們只要數一條長和一條寬就可以了。我數出來的長是6厘米，寬是4厘米，然后用6×2+4×2這個算式求出周長。

師：這位同學從長方形的特征上求出了它的周長，她的方法在今后的課中還要學習。第二個圖的周長怎么求呢？

生1：第二個圖，我先在角上做一個標記，然后一格一格地數。

師：這位同學在數之前做了一個記號，這個記號有什么好處？

生3：不做標記會一圈一圈不停地數。

生4：容易多數或少數，有了標記會更加清楚。

師：還有沒有不同的方法？（等待了幾秒鐘）

生：先算出上面的兩段線的長度，算式是4×2＝8；再算左右兩段線的長度，算式是2×2＝4；接著算四個角上線的長度，算式是2×4＝8；最后把它們都加起來就可以了。

師：第三個圖的周長是30厘米，你們同意嗎？

生：同意！

在教學中，我雖然只利用了一份材料，但是卻利用這份材料挖掘出了更多的數學思維。數圖形的周長，尤其是數組合圖形的周長，對學生來說，一格一格地數是最容易理解的，但是很容易數錯。根據學生的特點，先讓學生說一說怎么數，數的時候要注意什么來加強數格子的技能。而在追問還有沒有別的方法時，這樣再次勾起了學生的思考，學生根據圖形的特征發現規律，原來除了一格一格地數，還可以根據圖形的特征，通過計算得出圖形的周長，這樣不僅提高了解決問題的能力，還為學習長方形的周長做好了鋪墊。

四、深思長計，總結中揭示本質

課堂總結是所有教學環節的最后一部分，也是眾多教學環節中比較重要的一環。如果因為教師自身感到某個數學本質不好解釋，所以就放棄對它的詮釋，那就放棄了一次讓學生真正體驗“數學化”思想的過程，失去了一次讓學生數學理性思維提升的過程。可以說，好的課堂總結可以拓寬學生的視野、思維，是一個自愿拔高的行程。對于周長來自平面圖形，有別于立體圖形，只有在不斷的疑惑與對比中，才能進一步明晰周長概念的本質屬性。

活動六：指立體圖形的周長

師：誰來指出這個盒子的周長？

一部分學生指了盒子其中一個面的周長，一部分學生把盒子每個面的周長都指了指。

師：為什么同一個盒子，大家指的周長卻是不一樣呢？（教室頓時安靜了）

師指著其中一個面：如果指出盒子這個面的周長，你會指嗎？

師請了幾位同學指了指。

師：你有什么發現？

生1：大家指的周長都是一樣的。

生2：老師讓我們指指定的一個面的周長時，大家指的周長都是一樣的。

生3：如果把盒子的蓋子去掉，其他四個面也都去掉，只剩下最后一個面時，我們就可以指出它的周長了。

生4：如果把盒子壓扁，那就可以指出它的周長了。

師：同學們真會思考，什么時候有周長，就像剛才同學們說的，把盒子壓平了以后，盒子的周長就出現了，在數學中，我們叫平面圖形（板書平面圖形），即平面圖形一周的長度叫周長。而一個盒子是立體圖形，我們找出它只能每個面的周長。

大部分教師在課堂小結時都會問學生本節課學了什么，有什么收獲，是對這堂課的一個總結，具有首尾呼應的作用。當我拿著一個長方體盒子時，在場的老師都“愣”住了。圖形的一周不是指過了嗎？圖形的周長不是已經學習了嗎？為什么還要回過頭來重新指圖形的一周呢？經過幾位學生指長方體的周長出現的多種問題，讓在座的學生和老師再次感受到了我對概念定義及其本質認識的深度，即平面圖形一周的長度叫周長，周長的前提條件是平面圖形。

數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程。縱觀整堂課，我通過六個活動，在指一指、描一描、辯一辯、數一數等活動中，讓學生感受到了周長的本質。我根據學生的特點引導學生發現問題、探究問題，讓學生經歷了舊知的喚醒、概念的本質屬性從模糊到清晰，從清晰到提升，把概念教學推向了一個新的高度。