隨機時空地震載荷下長輸埋地壓力管道的響應分析

張 鵬 王藝環 秦國晉

1.西南石油大學土木工程與建筑學院 2.西南石油大學機電工程學院

0 引言

地震的地面運動是非平穩隨機過程，隨機過程是一個無限維隨機變量，其顯著表現在進行地震分析時龐大的計算量。基于大量隨機變量的Karhunen-Loeve（K-L）分解是經典的地震隨機過程表示法[1]。李杰和劉章軍[2]利用少量隨機變量的二次正交展開法來描述地震。有了對地震隨機過程的理論基礎，研究領域開始著手于影響因素的探究。但現有規范中只有歐洲抗震規范考慮了地震載荷的空間影響[3]。而空間跨度較大的結構不僅受到地震載荷的時變特性影響，而且對地震載荷的空間相關性也十分敏感。事實證明，地震波沿大跨度結構進行傳播的過程中，由于地震作用運動不同步而產生時滯效應，即地震載荷是隨著時間和空間同時變化。Hindy和Novak[4]首次基于空間變化影響下在統計分析了結構的響應。大跨結構的多點激勵響應問題是臺陣記錄裝置被廣泛應用之后進行的統計研究。具有代表性的是Loh[5]利用SMART-1地震臺陣記錄的數據得出地震的空間相關性。陳利瓊等[6]從實驗的角度論證了長距離的隧道結構考慮非一致地震激勵的必要性。在地震波的傳播過程中，由于不同場地類型的局部場地影響，也會對大跨度結構產生較大影響。因此，在對大跨度結構進行抗震分析的時候，有必要同時考慮地震載荷的隨機時空特性[7-9]。

1 地震的隨機過程

1.1 非平穩地震隨機過程的定義

隨機過程是在任意的時間點獲得隨機變量任意值的歷程。平穩隨機過程和非平穩隨機過程是從統計數據的規律對隨機過程的分類。簡而言之，多元隨機變量的推廣就是一維的隨機過程。

地震作用的統計特征是隨時間的推移而變化。強烈的地面運動是具有瞬變時間的非平穩隨機過程。對于非平穩地震載荷的研究，隨時間變化確定性的強度函數和零均值的平穩隨機過程的乘積可以反映這種隨機過程的非平穩性[10]。

1.2 隨機過程的數學特征

統計上將自相關定義為隨機過程中不同狀態數值之間的Pearson相關，這是一個信號本身在不同時間點的互相關，即作為兩次觀測時間差之間的函數。由于平穩隨機過程的自相關函數相當于自譜密度中包含的過程信息，可以根據自相關函數的Fourier變換表示定理來定義譜密度。而譜密度表示的是幅值在該隨機過程頻域中的統計信息。Wiener[11]根據Fourier變化來定義譜密度，即：

設τ=0時，則

式中 Sx(ω)表示自功率譜密度函數，m2/s3；Rx(τ)表示自相關函數；i 表示虛單位；τ表示時間差，s；ω表示自振頻率，ω∈(－∞, ＋∞)，r/s；x(t)表示自功率譜密度函數，t∈(0, ＋∞)，m2/s3；t表示時間，t∈(0, ＋∞)，s；σ2表示 x(t)的均方值。

實際中，波形的負頻域并不存在，所以設Gx(ω)為實際自功率譜密度函數，即Gx(ω)為Sx(ω)＝2Gx(ω)，如圖 1 所示。

圖1 自功率譜密度函數圖

1.3 地震的隨機過程模型及其正交展開

1.3.1 地震的隨機過程模型

在隨機地震模型中，具有代表性的是Kanai-Tajimi功率譜密度模型和各類基于此修正的模型。但Kanai-Tajimi模型放大長周期地震的能量且限制了邊界條件。隨后眾多學者在此基礎上進行了修正，其中利用最廣泛的是由Clough和Penzien提出的隨機地震功率譜模型Clough—Penzien模型Scp(ω)如下[12]：

式中S0表示零均值的高斯白噪聲（濾波器輸入）的譜密度，m2/s3；ωg表示場地特征頻率，r/s；ξg表示場地特征阻尼比；ωf表示低頻濾波的場地特征頻率，r/s；ξf表示低頻濾波的特征阻尼比。

1.3.2 地震隨機過程的正交展開

許多隨機現象從研究的角度可以用隨機過程去描述。從數學的角度，合理利用功率譜密度函數分析地震的隨機過程是在數值特征分析范圍的研究。在直觀上難以反映隨機過程樣本與作為確定性函數的功率譜密度函數之間所具有的直接聯系。而本質上隨機過程的運用是一種高效的壓縮數據和提取整個過程本質特征的方法。基于標準正交基的隨機過程展開方法[3]的指導思想在于利用少量互不相關的隨機系數組成的確定性函數的線性組合形式來描述隨機過程，利用獨立隨機變量從概率的角度反映地震的復雜程度。

隨機過程K-L分解的基本思想是組合互不相關的隨機系數描述確定性函數的線性形式，其利用獨立的隨機變量集合進行隨機過程研究[12]。K-L分解的主要特征在于隨機過程的主要能量相干結構只需少量的展開項就可以描述。

K-L分解是定義在概率空間(x, y, z)和有界區間D上的實值隨機過程u(x)，均值函數為u(x)，對于任意x∈D，其有限方差E[u(θ, x)－u(x)]2是有界的，則隨機過程可表示為：

由Mercer定理[13]，隨機過程的協方差函數C(x1,x2)可以分解為：

式中C(x1, x2)表示協方差函數；fi(x1)表示變量x1的特征函數；fi(x2)表示變量x2的特征函數。

λi、fi(x)可以通過Fredholm積分方程得：

1.4 基于標準正交基的C-P模型正交展開[2]

基于概率特征的研究，基于標準正交基的隨機展開是旨在用少量的隨機變量來反映隨機過程，其形式等同于K-L分解。

C-P模型的地震譜密度函數如式（4）所示，其參數取值如表1～3所示，其相應的自相關函數Rx(τ)為 ：

式中π表示圓周率；Ai(τ)表示第i項正交展開項，i=1, 2,3, 4。

其中Ai(τ)的表達式為：

式中ωi表示第i階自振頻率，r/s。

表1 C-P模型譜強度取值表

表2 C-P模型參數取值表[14-15]

表3 展開項數和截斷相數的取值表

因此，反映地震隨機過程的C-P模型的正交展開為：

Fi(t)的計算式為：

式中Ts表示地震動持續時間，s；N表示展開項數；n表示截斷項數；ηn+1表示能量能效系數；φi,n+1表示地震位移過程相關矩陣的標準特征向量的第n+1行元素；ψn(t)表示歸一化的Hartley正交基函數。

2 地震的隨機場

地震在空間變化主要指相干效應行波效應和場地效應。由于地震波在傳播中引起能量在空間中相干性損失，稱為相干效應。行波效應指地震波以有限速度引起的相位差變化，其本質上是地震波到達結構每個位置處的滯后的響應變化。局部場地效應指不同土層性質對地震波的影響，當地震波的持續時間、地震的頻譜特性以及地震的強度差異大時，局部場地影響尤為顯著。

2.1 隨機場的定義

隨機場是基于隨機過程的概念，是時間場域在空間場域上的推廣。二者的不同之處在于隨機過程是時變的隨機現象，其基本自變量是時間（t）。隨機場的基本自變量是結構的空間坐標位置（x）。當H(x)表示為一個隨機變量，即隨機場為在場域參數集上的隨機變量系[16]。

2.2 隨機場模型

對于空間地震模型，功率譜矩陣為[17]：

式中[S(iωe)]表示功率譜矩陣；Sii(iωe)表示地震動的功率譜密度，其描述了地震場中各點地震動的自身頻域特性及各點間頻率特性的對比關系，i=1, 2, 3…n,m，m2/s3；ωe表示地震頻率，r/s。

式中Smn(iωe)表示m、n兩點的地震功率譜密度，m2/s3；｜ρmn｜表示部分相干效應，｜ρmn｜≤ 1；表示行波效應，dmn表示m、n兩點的距離，m；v表示視波速度，m/s。

2.3 大跨度結構隨機場模型

從宏觀角度上看，隨機場為地震隨空間變化的過程。近年來，隨著強震觀測臺陣記錄的增加，研究學者提出了利用統計回歸來得到相干函數模型以表述地震的隨機場[18-19]。

在頻域下定義地震A、B兩點空間相干程度的函數，即地震空間上的相關性可以引入相干函數，定義如下：

式中γAB(d, ω)表示相干函數；SAB(ωe)表示A、B兩點互功率譜，m2/s3；SAA(ωe)、SBB(ωe)分別表示 A、B 兩點的自功率譜，m2/s3； θAB(ωe)表示A、B兩點的行波效應的相干角，（°）。

地震的相干函數是結構兩點間的互功率譜經過自功率譜標準化得到[20]。相干函數多數是基于地震臺關于大量的地震統計記錄得到的，一般可分為：經驗相干模型、理論相干模型、半經驗半理論相干模型。

選用由Luco和Wong[21]提出的具有普適性也是應用最為廣泛的半理論半經驗的相干模型：

式中γp(ωe, d)表示半理論半經驗的相干函數；α表示相干衰減參數，取值為（2～3）×10－4s；d表示任意兩點的距離，m。

所研究的長輸管道的有阻尼自振頻率為：

式中ωξ表示管道有阻尼的自振頻率，r/s；表示單位長管道質量，kg/m；表示單位長度管道周圍的剛度系數；K表示管道軸向剛度，N/m；l表示管道的長度，m；ξi表示第i階振型阻尼比。

3 考慮場地條件的隨機時空地震載荷

由相干函數和功率譜密度函數就可以得到具有時空效應的地震載荷。因此具有時空特性的地震載荷譜密度函數為：

式中S(t, d, ω)表示具有時空特性的地震載荷譜密度函數；κ表示局部場地放大系數，其取值如表4所示[22]；g(t)表示三階段非平穩包絡函數。

表4 局部場地放大系數表

進行地震載荷的非平穩性處理得到[23]：

式中y(t)表示非平穩處理后的非平穩隨機過程。

三階段非平穩包絡函數常用于實際工程[24]：

式中t1表示峰值上升段時間，s；t2表示峰值下降段時間，s；c表示峰值的衰減系數。

則考慮了局部場地效應的任意一點z的加速度為：

式中az(t)表示考慮了場地效應的z點加速度值，m/s2。

4 隨機時空地震下埋地壓力管道的響應分析

4.1 管道在多點地震激勵下響應分析

4.1.1 計算假定[25]

1）質量集中于節點。

2）忽略地震轉動分量影響。

3）絕對坐標系相對地心靜止。

4）阻尼力與相對速度成正比。

4.1.2 運動方程

結構的動力方程一般為：

由式（24）可以得到多點地震激勵下結構的運動方程為：

式中[Mss]、[Css]、[Kss]分別表示結構非支撐節點的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；[Mmm]、[Cmm]、[Kmm]分別表示結構支撐節點的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；表示地震力作用下的向量；分別表示結構非支撐節點的位移向量、速度向量、加速度向量分別表示結構支撐節點的位移向量、速度向量、加速度向量；[Cms]、[Csm]和[Kms]、[Ksm]分別表示耦合的阻尼矩陣和剛度矩陣。

將式（25）進一步化簡可以得到多點地震激勵下的動力平衡式：

利用Matlab軟件進行數值積分求解，并進一步得到多點地震激勵下的管道應力（σe），此時認為其方向為沿管道軸向[26]。

4.2 埋地壓力管道的響應分析

對運行埋地管道中通以內壓時，此時管道的應力可以用圓柱殼理論求解為[27]：

式中ε表示管道任意位置當前壁厚，mm；D表示直徑，mm；E表示彈性模量，N/mm2；表示泊松比；p表示內壓，MPa；w表示管壁上任意點的徑向位移，mm。

在輸壓的工況下，管道此時存在周向應力（σΦ），軸向應力（σx）和徑向應力（σr）。當管道作為薄壁結構時，此時σr為0。在x=0時，σΦ最大，由上式可得[28-29]：

埋地長輸管線因受土壤的阻力而不能自由伸長，造成泊松應力，如圖2所示。σx可描述為：

4.3 基于第四強度理論的管道失效準則

第四強度理論，即von-Mises屈服失效準則，被認為是導致管材流動失效為最大形狀變化比能的主要因素，故

圖2 壓力管道受力圖

式中σs表示第四強度理論所建立的強度條件所對應的應力值，MPa；σ1、σ2、σ3分別表示3個主應力，MPa。

結合前面分析可以得到，地震作用下埋地壓力管道的響應為：

5 數值模擬與分析

5.1 結構模型與地震輸入

以某天然氣管段為研究對象，管道的參數如表5所示。設為近場地震，中等場地土，某次地震持續時間為5 s，按2/5進行壓縮，壓縮后時間為2 s。

表5 管材X60基本參數表

強度包絡函數為：

參照本文參考文獻[30]地震數據，可得隨機時空變化的載荷為：

式中a(t)表示加速度，m/s2。

同理，當考慮地震激勵為一致輸入時，根據式（20）可以得到一致激勵下地震載荷的譜密度函數：

式中S(t, ω)表示只考慮時間的功率譜密度，m2/s3。

根據式（20）、（21）、（34）可以得到一致激勵下的荷載：

5.2 基本參數

以Abaqus作為有限元計算軟件。管土相互作用采用非線性的面—面接觸來建立三維有限元模型，剛度大的管道外壁選為主表面，剛度小的土體選為從表面，法向接觸行為采用“罰”接觸，摩擦系數選用0.5。管道由實體單元模擬，埋深為3 m，管段長為200 m。土體由本構關系為Drucker-Prager（D-P）模型的實體單元模擬。材料基本參數如表6所示。

5.3 有限元模型

模型中管道遠端僅約束軸向位移。土體施加載荷的兩對稱表面和上表面自由，其他面均為對稱約束。選用C3D8R，即8節點線性六面體減縮積分單元[31]，管線鋼材的本構模型選用Ramberg-Osgood模型[32]。模型的網格劃分如圖3所示。

5.4 有限元結果對比分析

建立3種工況，即一致激勵、非一致激勵和非一致非連續激勵，一致激勵是將長輸管道作為“點”式結構，不考慮空間特性；非一致激勵模擬的是考慮地震載荷時空特性的長輸埋地壓力管道；非一致非連續激勵模擬的是在考慮長輸埋地壓力遭受地震載荷的時空特性的同時，考慮放大空間的影響。

通過對3種工況的有限元模擬，可以得到管道應力最大值處、中部以及端部的應力對比（圖4～6）。

表6 材料基本參數表

圖3 網格劃分圖

圖4 管道應力最大點對比圖

圖5 管道中部應力對比圖

圖6 管道端部應力對比圖

可以分析得出，在分析管道的最大應力值和中部應力值時，非一致激勵的應力值大于一致激勵應力值，表明在長輸管道或者大跨度結構的抗震分析時，研究空間作用對其的影響是很重要的；而非一致非連續的應力值大于非一致激勵，則進一步反映出空間作用的影響。而在端部，3種工況的應力值則相差不大，這表明若將管道作為“點”式建筑，則其不存在載荷的空間影響效應。

6 結論

1）利用隨機過程和隨機場，基于功率譜進行了普適性的隨機時空地震載荷的耦合，建立了具有時空特性的非平穩地震載荷模型。

2）對于大跨度結構，在地震載荷的作用下，要考慮隨機時空地震載荷4個維度對結構響應的影響。與一致激勵相比，由于客觀上存在地震載荷隨機空間的特征性質，會引起大跨度結構響應結果存在較大的差別。

3）建立了隨機時空地震載荷的模型，進一步解決了實際地震作用下的大跨度結構響應問題，對建立在地震作用下以長輸管道為代表的大跨度結構的響應設計體系研究具有重要參考價值。