樹立三種意識，突破導數解題瓶頸

張東鎖

摘 要：函數與導數問題是高考數學壓軸試題，體現了函數與方程、數形結合、化歸轉化和分類討論思想，從培養學生“三種意識”入手，分析其解題策略，培養解題能力。

關鍵詞：導數解題;三種意識;解題策略

將導數內容引入高中數學教材，極大地豐富了學生研究數學問題的方法。導數的應用實現了函數與不等式、方程等多個知識點的交匯，受到命題者青睞。函數與導數問題是近些年來高考數學壓軸試題，每年的考題新穎不重復，難度大。此題把高中數學的函數與方程思想、數形結合思想、化歸轉化思想和分類討論思想體現得淋漓盡致。許多學生遇到導數試題就不知所措，常常感到 “似曾相逢不相識，無可奈何花落去”。本文從培養學生“三種意識”入手對函數與導數試題進行分析，說明其解題策略，以突破求解瓶頸。

一、觀察意識

數學解題中，觀察是一種很重要的思維活動。為了順利求解，首先要學會觀察，觀察對象可分為兩類：一是符號（數字、字母、運算符號、關系式）或文字所表示的數學關系式，命題或問題;另一種是圖形、圖象和圖表。在運用導數研究函數的單調性、極值、最值等問題中，常常涉及確定方程的解，當通過解方程無法求出該方程的解時，就需要對方程特征進行分析，觀察出f′（x）=0的解，以達到解決問題的目的。

例1.已知函數f（x）=x2-ax，g（x）=lnx。

若f（x）≥g（x）對于公共定義域內的任意x恒成立，求實數a的取值范圍。

解：由f（x）≥g（x）得：x2-ax≥lnx（x>0），則不等式a≤x- 對任意x>0恒成立。

設h（x）= （x>0），于是h（x）= ①。

觀察①式，不難發現當x=1時，h（x）=0。

因為x∈（0，1）時，h′（x）<0，函數h（x）單調遞減;當x∈（1，+∞）時，h（x）>0，函數單調遞增。所以函數h（x）的最小值是h（1）=1。

故實數a的取值范圍是a≤1。

點評：本題求解的關鍵是研究函數h（x）在（0，+∞）上的單調性，而確定函數單調性不可回避的一點就是求方程h′（x）=0即x2+lnx-1=0的根。如何求這一方程的根呢？這是用代數方法不能解決的，要善于觀察，發現x=1是方程h′（x）=0的根。解方程時，分析方程特點，通過觀察，發現方程的根看起來沒有道理，實際上是學生數學素養的體現，這方面的能力培養在我們平時的教學中是不容忽視的。

二、構造意識

構造模型解題是根據題目的特征，對問題進行深入分析，找出“已知”與“所求（或所證）”之間的聯系紐帶，另辟蹊徑解題。用構造法解題被構造內容是多樣的，沒有固定模式。在函數與導數試題中，構造函數、不等式或方程是解決參數范圍、證明不等式和討論函數的零點等問題的一種行之有效的方法。

例2.已知函數f（x）=lnx-ax+1（a∈R）

（1）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍。

（2）設n∈N+，證明： + +…+

解（1）由lnx-ax+1≤0（x>0）知，a≥ + 。

設h（x）= + ，對于任意x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立的充要條件是當x>0時，a≥h（x）max。

h′（x）= ，當x∈（0，1）時，h′（x）>0，函數h（x）單調遞增;當x>（1+∞）時，h′（x）<0，函數h（x）單調遞減。

所以當x=1時，h（x）的最大值是h（1）=1，故a≥1。

（2）取a=1，由（1）知lnx≤x-1，令x= （n∈N+），則ln ≤ -1。

即lnn-ln（n+1）<- 。

從而ln1+ln2-ln3+…+lnn-ln（n+1）<-（ + +…+ ），故 + +…+

點評：問題（2）求解的關鍵是取a=1，構造不等式lnx≤x-1，令x= （n∈N+），再結合不等式性質解答。根據所證不等式結構特征構造相應的函數或不等式，研究該函數單調性是解決這一問題的基本方法，體現了導數的工具性及函數與方程思想。

三、圖象意識

函數圖象是函數性質的直觀體現，借助圖象可以把某些抽象的函數問題形象化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數學問題的本質。在導數試題中，涉及方程的根或函數零點、函數最值、解不等式及求參數范圍等的問題屢見不鮮，這類試題綜合性強，求解時要善于構建函數模型并結合其圖象“以形助數”。

例3.已知函數f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常數。

討論函數y=f（x）零點的個數。

解：令f（x）=lnx-ax+1=0（x>0），則a= 。

設g（x）= ，y=a，則g′（x）= =- 。

當x∈（0，1）時，g′（x）>0，g（x）單調遞增;當x∈（1，

+∞）時，g′（x）<0，g（x）單調遞減。所以當x=1時，g（x）有最大值g（1）=1。

由于g（ ）= =0，當x∈（0，1）時，g（x）單調遞增，所以當x∈（0， ）時，g（x）<0，當x∈（ ，1）時，

g（x）>0;當x∈（1，+∞）時，g（x）>0。

作出函數g（x）= （x>0）及y=a的圖象（如下圖），觀察兩個函數圖象的交點，不難發現：當a≤0或a=1時，函數y=g（x）與y=a的圖象有且只有一個交點，所以函數f（x）有一個零點;當01時，函數y=g（x）與y=a的圖象無交點，所以函數f（x）無零點。

點評：運用導數研究方程的根或函數的零點問題，就是利用數形結合思想，通過函數的性質找到方程的根或函數零點的各種情況所滿足的關系式.在本題中函數的零點問題最終歸結為函數g（x）= （x>0）圖象

與直線的交點問題，而這個問題的解決要通過作函數

g（x）= （x>0）的圖象來完成。

函數與導數試題是每年高考必考試題之一，近幾年在高考中的考查力度不斷加強。在日常教學中，教師要注重從解題思路的探尋上下功夫，弄清解法的根源所在，這樣學生才能做到“悟其必然，品其真味”，進而提高分析問題、解決問題的能力。

參考文獻：

[1]陳少春，虞關壽.淺談立體幾何解題教學的三種意識[J].中學數學研究，2018（7）：12-15.

[2]萬軍.導數解題中思維障礙的突破[J].高中數理化，2016（6）：13.

編輯 杜元元