基于熱網絡法和有限元法的柔性軸承熱分析*

(1.上海大學機電工程與自動化學院 上海 200072；2.寧波慈興軸承有限公司 浙江寧波 315301)

柔性軸承作為諧波減速的關鍵零部件，對諧波減速器的傳動精度及使用壽命有較大的影響[1]。柔性軸承運動過程中，如果產生的熱量不能有效地散發，會引起系統溫度升高，導致潤滑油黏度下降，潤滑狀態惡化，導致膜厚減小，引起軸承過早疲勞失效，降低工作效率和使用壽命[2]。因此，研究柔性軸承的發熱機制、傳熱過程及溫度分布，對于改善其工作性能有著重要的意義[3-4]。

長期以來，對于普通軸承的發熱量和溫度場分布計算，一般套用一些經典的計算模型，如HARRIS[5]發熱量計算模型和Palmgren發熱量計算模型，計算時默認軸承所有零件作為一個整體，每個球的受載一致。而文中以柔性軸承為研究對象，內圈裝配有呈橢圓形的波發生器，內外圈發生大變形，每個球的受載、變形、發熱量都不一樣，因而必須針對每個球的不同情況進行具體計算。

本文作者充分考慮柔性軸承的變形特殊性，首先計算其載荷分布情況，在此基礎上，計算柔性軸承發熱量和對流換熱系數。同時，分別采用熱網絡法和有限元法進行穩態熱分析并進行對比分析，獲得柔性軸承溫度場分布，研究結果為柔性軸承的設計和后續的優化提供指導[6-7]。

1 柔性軸承的受力分析

文中采用ANSYS有限元數值方法分析得到每個鋼球所受載荷。首先建立軸承有限元模型，軸承幾何參數和邊界條件由表1給出。

表1 柔性軸承幾何參數Table 1 Geometric parameters of flexible bearing

通過ANSYS的建模功能，建立柔性軸承和波發生器的有限元模型，如圖1所示。

圖1 幾何模型Fig 1 Geometric model

為了能夠產生諧波，需要在內圈裝配一個橢圓形的波發生器，裝配前后的變形示意圖如圖2所示。

圖2 裝配示意圖Fig 2 Assembly diagram

由圖2可知：柔性軸承裝配到波發生器時，內圈在長軸附近區域產生過盈，在短軸附近區域產生間隙。

表2 材料屬性Table 2 Material properties

設置柔性軸承材料屬性和邊界條件(如表2所示)，計算后得到柔性軸承的載荷分布。利用ANSYS后處理器技術，將滾動體與滾道的接觸反力提取出來，如圖3所示。結果表明，23個滾動體中只有13個滾動體承載，且每個滾動體的受載情況不一致，符合實際情況。

圖3 滾動體接觸反力Fig 3 Contact reaction of ball rolling

2 柔性軸承發熱量計算

柔性軸承的發熱主要由其內部的摩擦引起。其摩擦力矩計算文中主要考慮由載荷引起的摩擦及與潤滑脂相關的黏滯阻力[8-9]，即：

M=Ml+Mv

(1)

式中：Ml為與柔性軸承的受載相關的摩擦力矩，N·mm；Mv為與柔性軸承潤滑相關的摩擦力矩，N·mm。

2.1 載荷引起的摩擦力矩

柔性軸承內外圈由于波發生器的作用將發生大變形，下面分別計算每個鋼球因載荷引起的摩擦力矩Mi，然后求和得到總的Ml。公式如下：

(2)

(3)

式中：μ為摩擦因數；dm為節圓直徑；n為受載滾動體數；pi為第i個受載荷鋼球所承受的力。

2.2 潤滑相關的摩擦力矩

柔性軸承在潤滑良好情況下，其黏性摩擦力矩根據Palmgren總結的經驗公式計算：

式中：f0為與軸承類型及潤滑方式有關的系數，文中取為0.7～1.0；n為內圈轉速，r/min；ν為潤滑脂動力黏度，mm2/s。

最后根據發熱量計算公式：H=1.01×10-5Mn得到柔性軸承的總發熱量[10]。

3 對流換熱系數的計算

經過分析，柔性軸承產生的熱量主要以傳導、對流及輻射3種方式在零部件之間傳遞。由于諧波減速器結構緊湊，柔性軸承零部件之間的輻射可以忽略；熱傳導由材料的屬性直接獲得；而柔性軸承系統零件表面的對流換熱較為重要和復雜，需要準確計算[11]。

文中研究的柔性軸承采用合成脂潤滑，因此選擇對流換熱系數計算模型時，采用計算此類換熱較為準確的HARRIS對流換熱系數計算公式：

(5)

式中：k為導熱系數；Pr為普朗特數，文中取為10；Re為雷諾數，Re=vx/νo，其中νo為潤滑脂黏度；x為特征長度，當計算鋼球向潤滑脂傳熱時，取x=dm，計算內圈向潤滑脂傳熱時，取x=di，計算外圈向潤滑脂傳熱時，取x=D；v為鋼球周向轉速。

軸承外表面與空氣間的對流換熱系數的計算公式為

(6)

(7)

式中：Ta為環境溫度；Dh為軸承外圈直徑；ka為空氣導熱系數；v為氣流速度，va為空氣運動黏度。

4 熱網絡法

熱網絡法分析柔性軸承時，將整個系統分解成多個單元體，包括波發生器、內圈、鋼球、外圈和柔輪。默認每個單元體內溫度均勻，將單元體比擬為熱節點，而熱節點之間的換熱均用熱阻代替并聯接，形成熱網絡，并對每個單元或回路利用基爾霍夫定律(KCL、KVL定律)，以溫度為待求量建立熱平衡方程，從而得到各節點溫度[12]。

文中對柔性軸承系統選取9個節點進行分析，其結構模型和熱節點分布如圖4所示。

圖4 軸承系統結構模型及節點分布圖Fig 4 Structure model of bearing system and distribution diagram of heat node

其中，各個熱節點對應的位置信息如表3所示。

表3 節點編號位置Table 3 Node numbered position

根據圖4所示的熱結構圖可以建立對應的柔性軸承熱網絡圖，如圖5所示。

圖5 熱網絡節點Fig 5 Hot network node

依據能量守恒，每個節點中流入、流出的熱量相等。因此對柔性軸承系統從T1到T7的7個節點(T0和T8分別為潤滑油和空氣溫度，為已知),即可列出7個熱平衡方程，分別為

(1)節點1：(T1-T8)/R1v8+(T1-T2)/R2c1=0

(2)節點2：(T2-T1)/R2c1+(T2-T3)/R3c2=0

(3)節點3：

(T3-T2)/R3c2+(T3-T0)/R3v0+(T3-T4)/R3c4=Q1

(4)節點4：

(T4-T3)/R3c4+(T4-T5)/R5c4+(T4-T0)/R4v0=Q2

(5)節點5：

(T5-T4)/R5c4+(T5-T0)/R5v0+(T5-T6)/R5c6=Q3

(6)節點6：(T6-T5)/R5c6+(T6-T7)/R6c7=0

(7)節點7：(T7-T6)/R6c7+(T7-T8)/R7v8=0

根據傅里葉導熱定律和牛頓冷卻定律可以計算出相應的導熱熱阻和對流熱阻，計算方法由表4給出。其中，Ravb表示熱節點a與b之間的對流換熱熱阻；Rxcy表示熱節點x與y之間的傳導熱阻；αi、αo、αb、αr、αs分別為軸承內圈、外圈、鋼球、柔輪和軸端面的對流換熱系數，其值可由對流換熱計算公式得到；Kb、Kr、Ks分別是柔性軸承、柔輪和主軸的導熱系數，其值由具體材料屬性決定[13]。

在采用熱網絡法進行分析時，通常將摩擦生熱的傳遞比例假設為進入球和進入內外圈各占1/2，因此分別代表外圈、球和內圈生熱量的Q1、Q2、Q3可由相應的軸承發熱量計算公式得到。

表4 熱阻計算公式Table 4 Calculation formula of thermal resistance

最后通過求解方程組得到各熱節點的溫度。

5 有限元仿真法

5.1 熱邊界條件的施加

(1)由于鋼球與套圈滾道表面接觸為主要熱源，因此將發熱量以熱流量的形式施加在內外圈溝道以及球體表面上。

(2)在內外圈以及滾動體的外表面加載對流換熱。

最終的熱邊界施加方案如圖6所示。

圖6 熱邊界條件施加方案Fig 6 Diagram of thermal boundary conditions

通過上文公式，理論計算得到的柔性軸承發熱量及對流換熱系數由表5給出。

表5 熱載荷計算值Table 5 Thermal boundary condition value

5.2 有限元穩態熱分析

通過ANSYS Workbench進行穩態熱分析，施加相關熱邊界條件并進行計算，設置環境溫度為22 ℃，得到柔性軸承的溫度場分布云圖，如圖7所示。

圖7 柔性軸承整體溫度分布Fig 7 Overall temperature distribution of flexible bearings

6 結果分析與對比

由圖7可以看出，柔性軸承最高溫度出現在滾動體與內圈溝道的接觸處，為75.86 ℃，而次高溫在內圈表面上，為75.35 ℃，最后沿鋼球表面、外圈溝道、外圈表面依次降低。

將有限元計算結果與熱網絡法計算結果進行對比，結果較為吻合，如表6所示，其誤差均在10%以內，為允許工程誤差范圍，證明了文中有限元及熱網絡模型具有一定可靠性。

從表6中也可看出有限元法和熱網絡法的計算結果存在誤差，主要因為分析方法的區別，前者為三維分析方法，更接近實際情況，而后者是二維分析方法，在一定程度上做了相應的簡化，準確性會有一定有影響。

表6 計算結果對比Table 6 Comparison of calculation results

在有限元法分析中，由于柔性軸承需要發生大變形，為了建模方便和計算更容易收斂，只單獨考慮柔性軸承，未將柔輪與波發生器考慮進來，而只是換算成了一定熱邊界條件內，因此導致熱分析中忽略了部分傳導熱;而熱網絡法將整個傳動系統作為研究對象，分析更全面一些。

7 結論

(1)柔性軸承的整體溫度分布具有一定規律，其中最高溫度點出現在滾動體與內圈溝道的接觸處，而次高溫在內圈表面上，最后溫度沿滾動體表面、外圈溝道及外圈表面依次降低。

(2)考慮了柔性軸承的特殊性，軸承23個滾動體中，實際受載并產生熱量的滾動體個數為13個，彌補了運用普通軸承發熱量計算模型的不足，結果更精確，更具有工程實用價值，為柔性軸承的熱分析提供了參考依據。

(3)柔性軸承的仿真分析和理論計算是個非常復雜的工程，涉及到的學科非常廣，下一步將對其進行相關的試驗研究，進一步驗證熱網絡模型及有限元模型計算的可靠性。