初中數學關鍵教學點的選擇與實施
——以北師版《簡單的軸對稱圖形——等腰三角形》為例

■福建省石獅市實驗中學 陳潤生

以北師大版義務教育教科書數學七年級下冊《簡單的軸對稱圖形——等腰三角形》為例，探索初中數學關鍵教學點的選擇與實施，以期能通過科學選擇和有效實施關鍵教學點達到培養學生核心素養，實現減負增效提質的目標。

核心概念的界定：初中數學關鍵教學點是指基于初中數學內部的地位和作用。在數學教學過程中，某知識內容范圍內一個根本或核心的教學點，它在整個教學過程中能起到“奠基（知識）、示范（方法）、引領（能力）、啟迪（思想）”的作用。在初中階段的數學內容中，由于所處的地位與作用不同，并不是所有的數學知識的學習都必需平均用力，在這個過程中，“宏觀選定→微觀設計→思維主攻→微課助力”是一個有效的策略。現以數學七年級下冊《簡單的軸對稱圖形》為例，闡述這個過程的實施。

一、宏觀選定關鍵教學點

科學把握并深刻理解某個內容是關鍵教學點有效實施的前提。這就必須從數學內部角度出發，深度研究該內容的學科價值，并結合學生的身心發展規律和認知規律加以確定。如《簡單的軸對稱圖形—等腰三角形》應屬關鍵教學點的理由為：

1.等腰三角形是最常見、較簡單的軸對稱圖形之一，借助圖形的變化研究圖形的性質是幾何中常用的方法。在探究等腰三角形性質過程中，學生經歷“觀察（實踐）—發現—猜想—論證”，由“形象思維”向“抽象思維”過渡,發展文字語言、圖形語言、符號語言相互轉化能力和推理能力。同時“等邊對等角”的證明方法是規則的選擇與使用的典型范例，是“邊”與“角”互相聯系與轉化的重要依據，也是平面幾何體系中支柱性定理之一。

2.等腰三角形特征的學習是繼三角形之后的又一幾何圖形特征的學習，體現了一般觀念下幾何圖形特征的研究方法，其經歷“研究什么→怎樣研究→得到什么結論→怎樣應用結論”的過程是后續學習與研究直角三角形、平行四邊形、圓形等圖形特征的范式。

3.等腰三角形的學習過程中，滲透的類比、一般與特殊、數形結合、方程與函數、分類與整合、轉化與化歸等思想方法都是數學學習的核心內容。

4.基于“等邊對等角”在數學史上的發現過程，從HPM 視角看，本節課也是數學史滲透的絕佳材料，有利于數學文化的傳播，數學精神的弘揚。

二、微觀設計教學方案

要實現關鍵教學點所承載的價值就必須設計科學可行的課堂教學方案，要充分考慮教材分析、學情分析、教學目標、教學策略、教學過程、引導發展、成效評價、課后反饋等方面，突顯教學過程的階段性目標以及實現目標的手段和途徑。如在《簡單的軸對稱圖形——等腰三角形》的設計中，第一階段：在微課的引導下學習一般觀念下的幾何圖形特征和研究方法，可安排在課前也可安排在課堂的前部分。其設計意圖是明確“為什么學”“學什么”“怎樣學”，以利于按圖索驥展開教學。第二階段：借鑒幾何圖形特征的研究方法，學生自主學習了解等腰三角形的概念，探究等腰三角形的特征。其設計意圖是體現學生主體地位，放飛思維空間，經歷探索的過程，實現自主探索，初步獲得新知。第三階段：教師引導歸納、總結、反思，在突破難點“三線合一”之后，可以滲透數學史。其設計意圖是發散與收斂相結合，指向核心內容的學習與收獲。第四階段：例練結合，注重思維和表達。其設計意圖是做好知識、技能與思想方法的固化與疊加，培養理性精神、思維方式和規范性表達能力。第五階段：反思性小結：其設計意圖是通過“對等腰三角形特征的探索，我們學到什么知識、技能、思想、方法？有什么體驗和疑問？”培養總結反思的能力，在釋疑、糾錯的同時做到“顆粒歸倉”。

三、為思維而教，凸顯思維教學，培養理性精神

思維教學是數學課堂的靈魂，關鍵教學點的實施更要注重思維教學，要滲透各種思維方式的培養。如在《簡單的軸對稱圖形——等腰三角形》應全方位滲透思維教學：1.學習一般觀念下的幾何圖形特征的研究方法時，應滲透“研究什么→怎樣研究→得到什么結論→怎樣應用結論”的自然、簡單正向思維方式；2.在探索等腰三角形的特征時，要滲透“欲證需證緊相連”“前因后果、步步有據”的思維方式；3.在例題分析和練習鞏固時，要滲透分析法、綜合法、分析——綜合法等基本的思維方式；4.整個教學還要關注收斂思維、發散思維、逆向思維的滲透。

四、微課助力，課內課外相結合

在信息化的大潮下，借助信息技術手段助力質量提升是教學的必然。微課因其特有的優勢能插件式地應用在課前、課中、課后，從而有效的助力關鍵教學點的實施。如在《簡單的軸對稱圖形——等腰三角形》可安排微課如下：微課1：《幾何圖形的特征的研究方法》：以復習三角形內角和的探索過程為載體，介紹一般觀念下幾何圖形特征的研究方法，著重突出研究幾何圖形特征的一般方式：“明確研究對象→選擇研究方法→開展行動研究→得到研究結果→應用研究結果→深入開展研究”不斷循環往復的過程；微課2：《“等邊對等角”的探究》：在利用幾何畫板改變等腰三角形的腰的大小時，通過觀察、測量、猜想得出結論并進行證明；微課3：《“三線合一”的探究》：在利用幾何畫板的動畫功能，直觀展示“三線合一”效果，引導學生猜想得出結論并進行證明；微課4：《“等邊對等角”的發現史》：從HPM的視角介紹數學史，滲透數學文化，弘揚數學精神；微課5：《總結與反思》：引導學生思考“通過對等腰三角形特征的探索，學到什么知識、技能、思想、方法？有什么體驗和疑問？”設計意圖是引導反思性小結，該微課可以應用于課堂小結，也可以應用于課后復習；微課6：《“三線合一”的多種證明方法》：結合本節課的難點而設計，意圖在于幫助學生突破難點的同時通過規范性表達的示范，給學生提供模仿的素材。

設計意圖：1.全面復習鞏固等腰三角形、等邊三角形的概念；2.全面固化和疊加應用等腰三角形和等邊三角形的特征解決問題的能力；3.關注數學閱讀，注重文字語言、符號語言、圖形語言等三種語言的轉化；4.注重畫圖、標識圖形、用圖的能力培養，培養學生基本的幾何解題規范；5.滲透分析法、綜合法等思維方式；6.滲透數形結合、轉化化歸、方程思想、一般與特殊等數學思想方法。

微課為學生提供課外學習、固化疊加、拓展應用的素材，該類微課的選擇應注重綜合性，講解要體現思維的引導、方法的選擇、規范的表達。當然這些微課不是要全部用于課堂學習，而是結合學情有選擇地使用或作為學習資源供學生個性化的選用。同時為了提升微課使用的有效性可以設計《微課使用說明》和《微課導視單》供學生使用，如微課《幾何圖形的特征的研究方法》可建議于課前使用。

《簡單的軸對稱圖形——等腰三角形》微課導視單

（1）幾何圖形的特征主要是指什么？

答：幾何圖形的特征主要是指組成幾何圖形的基本元素或相關元素的——和——。

（2）研究幾何圖形的特征的一般方法是什么？

答：研究幾何圖形的特征一般方法應包括：——和——兩個部分，二者缺一不可。

（3）我們所熟悉的三角形的圖形特征有哪些？如何進一步研究三角形的特征？

答：三角形的特征有“三角形任意兩邊之和大于第三邊”“任意兩邊之差小于第三邊”“三角形的內角和為180°”等等。如果要繼續深入研究三角形的特征，一般要——。

教師可以視導視單完成情況決定是否于課堂上再次組織觀看微課，以確保學生先學到位，后學有基礎。

總之，通過“宏觀把握→微觀設計→思維主攻→微課助力”開展初中數學關鍵教學點的選擇和實施，有利于數學本質的把握，數學核心素養的培養。