基于組合學的繭絲落緒分拆模擬與分析

黃繼偉， 寧晚娥， 張 鋒， 左保齊

(1. 廣西科技大學 生物與化學工程學院， 廣西 柳州 545006； 2. 蘇州大學 紡織與服裝工程學院，江蘇 蘇州 215006； 3. 現代絲綢國家工程實驗室(蘇州)， 江蘇 蘇州 215123)

繅絲是將若干蠶繭的繭絲離解并合成一定規格生絲的加工過程[1]。在此過程中，受蠶繭本身的品質、繅絲前處理和繅絲工藝技術等因素的影響，1根完整的繭絲通常被分拆成若干解舒絲段參與并合成生絲[2-4]，且這種繭絲的分拆程度和規律對繅絲的產質耗存在顯著影響，包括解舒率、解舒絲長和落緒次數等能反映繭絲分拆程度的指標，在繅絲工藝研究中被廣泛地關注[5]，而這些指標的概率分布及統計特征作為可揭示繭絲分拆規律的工具已被深入地研究和報道[6-8]。其中，白倫等[9-11]將1根連續的繭絲離散化，假設繭絲上的落緒只可能發生在有限的等間距的離散點上，進一步地探討了繭絲長和解舒絲長的關系，給出了相關的概率分布及其統計特征，并設計出了模擬生成解舒絲段的方法。這種方法被廣泛地應用于計算機模擬繅絲中，成為推動計算機模擬繅絲及繅絲系統工程研究的重要基礎[12-14]。然而，基于解舒絲長概率分布模擬生成解舒絲段的方法，并不能直觀地反映繅絲中1根完整繭絲分多段多次參與生絲并合的情況。

本文在繭絲離散化落緒點模型的基礎上，將繭絲上的1個落緒節點子集與1種落緒分拆模式對應，并計算出1根繭絲所有落緒分拆模式的概率，進而利用逆變換取樣法對該繭絲所有落緒分拆模式進行隨機抽樣，實現了對1根完整繭絲的落緒分拆模擬，該方法直接將1根完整的繭絲分拆成若干解舒絲段，完整保留了1根繭絲的所有數據信息，更加直觀反映繅絲中1根完整繭絲分多段多次參與生絲并合，從而更加直觀和易于理解，以期為計算機模擬繅絲提供新的解舒絲段模擬和生成解決方案。

1 繭絲落緒節點的落緒率

1粒蠶繭是由1根繭絲纏繞而成，若以一定長度搖取繭絲，可將繭絲在其長度方向上分成若干等長的絲段，這些絲段被稱為“纖度絲”，將這些纖度絲依次稱量換算后可得一系列線密度值，稱為繭絲線密度序列[15]。繭絲線密度序列實質上是對連續的繭絲在其長度方向上的離散化，用來反映繭絲線密度在其長度方向上的變化情況?？傮w上，繭絲線密度序列符合“細-粗-細，最末處最細”的變化模式。

關于繭絲線密度序列的統計特征，白倫等[16-17]、費萬春[18]和胡征宇等[19]進行了系統的研究，并提出了多種繭絲線密度序列模擬生成方法，這些方法可為計算機模擬繅絲提供無盡的“原料繭絲”數據，是計算機模擬繅絲系統設計的前提和基礎。然而實際繅絲中，處于繅絲狀態的繭絲可能發生斷裂，即產生落緒現象，導致1根完整的繭絲實質上是被分拆成若干絲段參與并合成生絲的。也就是說，繭絲線密度序列并不能直接作為計算機模擬繅絲的“原料”使用，需要將繭絲線密度序列在長度方向上分拆成合理長度的解舒絲段才可使用，這就引出了繭絲線密度序列分拆的問題。

以繭絲線密度序列為基礎，建立繭絲落緒節點落緒率模型是完成繭絲線密度序列分拆的前提，前人對此已有深入的研究和報道[19-20]，概括如下。

1)假設1根繭絲按一定單位長度(即纖度絲長度)被分為M個纖度絲(M可看作是用正整數表示的繭絲長)，而落緒只可能發生在纖度絲的端點上，除繭絲首末兩端點外，繭絲上共有M-1個端點，這些端點被稱為落緒節點。圖1示出繭絲長M=16(纖度絲長為56.25 m，繭絲實際長度為56.25 m×16=900 m)的繭絲線密度曲線、落緒節點及其落緒率。

圖1 繭絲落緒節點及其落緒率Fig.1 Dropping nodes and probability of bave

2)對于繭絲上落緒節點的落緒率pM，i，用一開口向上的二次曲線模型計算獲得。

pM,i=kMi-a2+b(1≤i≤(M-1))

(1)

式中：a為繭絲上落緒率最小的節點序號；b為繭絲上最小的落緒率(如圖1所示)；kM為模型系數。

3)記繭絲上落緒節點的平均落緒率為β，即：

(2)

由式(2)可求得：

(3)

β與莊口繭絲的解舒率有關。若1個蠶繭莊口的解舒率為J，莊口平均粒繭落緒次數為ZM，則

(4)

圖2為解舒率J分別是10%、30%、50%、70%、90%時的落緒節點落緒率曲線圖。

圖2 不同解舒率的繭絲落緒節點的落緒率曲線圖Fig.2 Dropping probability of bave dropping nodes with different reelability percent parameters

4)設存在一個值C=b/β,則C被稱為落緒均一度，用以表征蠶繭的煮熟程度，蠶繭煮熟程度越好，C值越接近1，各節點落緒率越趨于均等。

圖3示出C值分別是0.1、0.3、0.5、0.7、0.9、1.0時的落緒節點落緒率曲線。

圖3 不同落緒均一度值的繭絲落緒節點的落緒率曲線圖Fig.3 Dropping probability of bave dropping nodes with different dropping uniformity parameters

5)設繭絲最小落緒率的位置a與M的比值為ρ=a/M。則ρ可用來表征繭絲落緒部位分布的類型，根據文獻[20]，將繭絲落緒部位分布類型分為3種，分別定義如下：

① 0≤ρ<0.4，落緒部位分布為J型。

② 0.4≤ρ<0.6，落緒部位分布為U型。

③ 0.6≤ρ≤1，落緒部位分布為L型。

圖4示出ρ分別是0.187 5，0.375 0，0.562 5，0.750 0，0.937 5時的落緒節點落緒率曲線。

圖4 不同落緒部位參數的繭絲落緒節點的落緒率曲線圖Fig.4 Dropping probability of bave dropping nodes with different dropping position parameters

根據前述假設，式(1)、(3)可變換為

pM,i=kM(i-ρM)2+Cβ

(5)

(6)

6)若繭絲上第i個節點的落緒率為pM,i，則該節點上不落緒的概率為

qM,i=1-pM,i

(7)

2 繭絲落緒分拆模型及模擬實現

2.1 基于組合學的繭絲落緒分拆模型

假設有一個繭絲線密度序列，其長度為M，則其落緒節點數為M-1。將這些落緒節點依次編號，可得到一個落緒節點序號列表1,2,…,i,…,M-1。該列表可被看作是一個元素不重復的順序排列的集合[22]。從該集合中任取一子集，則該子集的所包含的序號可表示繭絲在繅絲時出現落緒的斷點。例如：子集{t,k}可表示繅絲時繭絲分別在落緒節點t和k處發生了落緒，其他落緒節點均未發生落緒。這里，將落緒節點序號列表集合的一個子集所對應的落緒分拆情況稱為一種落緒分拆模式。

根據前述的繭絲落緒節點落緒率模型，每個落緒節點序號均有一個落緒率與之對應，即一種落緒模式產生的概率是被唯一確定的。例如：子集{t,k}所表示的事件概率為

(8)

這里將落緒節點序號列表1,2,…,i,…,M-1所形成的集合，稱為母集。若計算其所有子集所對應的落緒模式發生概率，可知道其和為1。即1根繭絲上所有可能的落緒模式的概率和為1。這里用一些特例和簡單情況為例進行說明，見表1所示。

表1 繭絲落緒分拆的簡單實例Tab.1 Some simple examples of bave dropping partition

由表1可知，只要知道發生落緒的節點對應的序號，即可求出這種分拆模式所對應的分拆概率，而所有分拆模式的概率和為1。

對于某繭絲長M，其落緒節點序號列表1,2,…,i,…,M-1是確定的，該列表的所有子集也是確定的，因此，可以求出繭絲長為M時的所有的落緒模式以及每種落緒模式所對應的概率。根據這個概率分布，利用逆變換的方法[23]進行隨機取樣即可生成一種落緒模式，完成繭絲的分拆。

2.2 繭絲落緒分拆模擬系統的實現步驟

1)生成繭絲線密度序列，獲取繭絲線密度序列的長度值M和序列中線密度值最小位置的索引序號a(根據二次函數落緒率模型的假設，該位置即為繭絲上落緒率最小的節點)，計算線密度最小位置的索引序號a與線密度序列長度M的比值ρ。對于繭絲線密度序列的生成，可根據需要，選擇階梯式自回歸模型[16]、二次曲線解析模型[17]、時變參數自回歸模型[18]或擬合模型[19]進行模擬生成。

2)設置莊口解舒率J，繭絲落緒均一度參數C，根據繭絲落緒率模型，計算模型系數、所有繭絲落緒節點的落緒率和繭絲落緒節點序號列表。

3)以繭絲落緒節點序號列表為母集，計算產生其所有子集，根據繭絲落緒節點的落緒率，計算每個子集所對應的落緒分拆模式的概率，基于此，構建出以落緒分拆模式為枚舉型隨機變量的概率質量函數。

4)基于繭絲所有落緒分拆模式及其概率值，利用逆變換的方法[24]，隨機生成一種落緒分拆模式，完成繭絲線密度序列的分拆。

5)若只針對1根繭絲進行重復分拆，只需利用逆變換的方法反復對所有落緒分拆模式進行抽樣即可。若需要針對1組繭絲進行分拆，則需要對該組繭絲中的每根繭絲重復步驟1)～4)。

3 繭絲落緒分拆模擬與統計分析

3.1 1根繭絲所有落緒模式的統計分析

以繭絲長M=16為例，分別設置不同的解舒率J，落緒均一度C和落緒部位參數ρ等參數，對于每種參數配置情況，首先計算產生其所有落緒分拆模式(即生成一個繭絲落緒節點集合的子集)及每種落緒分拆模式的概率，然后統計解舒絲長(一段連續未發生落緒的繭絲個數)和落緒次數的分布情況。

圖5示出C=0.8，ρ=0.1875，分別設置莊口解舒率J為10%、30%、50%、70%、90%的統計情況。

圖5 不同解舒率參數時所有落緒模式的落緒次數和解舒絲長的統計情況Fig.5 Statistical overview of dropping times (a) and reelability length (b) of all dropping patterns at bave node dropping probabilities with different reelability percent parameter

由圖5可知，隨著莊口解舒率J的增加，繭絲落緒節點的落緒率逐漸變小，這是落緒率模型所決定的。同時，隨著莊口解舒率J的增加，最大概率的落緒次數逐漸向0次偏移，即解舒率越大，繭絲發生落緒的次數越少，這也是與事實相符合的。進一步地，隨著莊口解舒率J的增加，解舒絲長越長，這與落緒次數的結論可形成相互印證。

圖6示出J=70%，ρ=0.187 5，分別設置落緒均一度C值為0.1、0.3、0.5、0.7、0.9、1.0時的統計情況。

圖6 不同落緒均一度參數時所有落緒模式的落緒次數和解舒絲長的統計情況Fig.6 Statistical overview of dropping times (a) and reelability length (b) of all dropping patterns at bave node dropping probabilities with different dropping uniformity parameters

由圖6可知，隨著落緒均一度C值的增加，繭絲落緒節點的落緒率逐漸趨于均等，當C=1.0時，所有節點的落緒率完全一致。同時，隨著落緒均一度C值的增大，在落緒次數幾乎不發生變化，這與落緒次數受解舒率J所決定的事實相符合。進一步地，隨著落緒均一度C值的增大，在解舒絲長的概率趨勢從內凹逐漸變為平直。

圖7示出當J=70%，C=0.8時，分別設置落緒部位ρ為0.187 5、0.375 0、0.562 5、0.750 0、0.937 5時的統計情況。

圖7 不同落緒部位參數時所有落緒模式的落緒次數和解舒絲長的統計情況Fig.7 Statistical overview of dropping times (a) and reelability length (b) of all dropping patterns at bave node dropping probabilities with different dropping position parameters

由圖7可知，隨著落緒部位ρ的增加，最大落緒率位置逐漸向大序號的落緒節點移動，這是由落緒率模型所決定的。落緒次數與不同落緒均一度C值時的情況相同，并未發生太大的變化。隨著落緒部位ρ的增大，解舒絲長的概率趨勢的凹度先增大再減小。

關于解舒絲長的分布，白倫等[11]基于有序分拆模型，推導出解舒絲長與繭絲長的關系式，見式(10)～(12)。通過計算對比，其與本文方法所得結果基本一致。

(10)

(11)

(12)

3.2 對1根繭絲進行反復落緒分拆的模擬

為驗證系統的穩定性和準確性，在此以繭絲長16為例，對其進行反復的落緒分拆模擬，模擬計算過程簡述如下。

1)設置系統參數，包括解舒率J、落緒均一度C和落緒部位ρ。

2)對繭絲長為16的繭絲，根據所設置的系統參數和繭絲落緒節點落緒率模型，計算繭絲上所有落緒節點的落緒率。

3)以繭絲落緒節點序號為母集，生成其所有子集，并計算所有子集對應的落緒模式及其概率。

4)根據所計算的所有子集對應的落緒模式及其概率，運用逆變換法進行隨機抽樣，最后，統計該抽樣的落緒次數和解舒絲長分布情況。

圖8示出當解舒率J=10%、30%、50%、70%、90%，落緒均一度C=0.8，落緒部位ρ=0.187 5，抽樣100萬次時，落緒次數和解舒絲長的分布情況。

圖8 繭絲長為一定值時的隨機分拆模擬結果Fig.8 Result of random partition simulation at fixed length of bave. (a) Number of bave dropping times; (b) Non-broken filament length

由圖8可知，繭絲長一定時，通過變換解舒率參數J獲得的落緒次數及解舒絲長的分布完全模擬出了該繭絲的所有落緒模式時的情況，通過改變落緒均一度C，落緒部位參數ρ，同樣可獲得與該繭絲長時的所有落緒模式的相似情況，在此不再贅述。這個結果說明模擬系統是穩定的，模擬方法是可行的。

3.3 繭絲長為正態分布時的落緒分拆模擬

對于同一莊口的蠶繭，其繭絲長符合正態分布，現對此事實情況進行模擬，并分析落緒次數和解舒絲長的分布情況，過程如下。

1)設置系統參數，包括解舒率J、落緒均一度C和落緒部位ρ。

2)設置繭絲長的平均值和標準差參數，生成一組符合正態分布的繭絲長數據。

3)對于每個繭絲長數據，參照3.2節所述的步驟，隨機抽樣1次，并保存結果。

圖9示出當繭絲長符合均值為16，標準差為3時的正態分布，解舒率J=70%，落緒均一度C=0.5，落緒部位ρ=0.187 5時，隨機生成20 000根繭絲的分拆統計情況。

圖9 繭絲長為正態分布時的隨機分拆模擬結果Fig.9 Result of random partition simulation at normal distributed length of bave. (a) Number of bave dropping times;(b) Non-broken filament length

由圖9所示的結果與白倫等[25]推導出的解舒絲長分布一致，這說明該繭絲落緒分拆模型與解舒絲段模擬生成方法是正確的。其完全適用于計算機模擬繅絲和實際制絲工程中原料繭性質與繅絲指標之間的關系研究。

4 結 論

本文在離散化繭絲落緒點模型的基礎上，運用組合學理論，通過將落緒節點集合的子集與落緒模式對應，使繭絲分拆轉化為獲取落緒節點集合的子集，并利用離散隨機變量分布的逆變換取樣法，完成繭絲分拆的隨機取樣，實現繭絲的分拆。通過對1根繭絲所有落緒模式的統計分析、1根繭絲進行多次落緒分拆的模擬和繭絲長為正態分布時的繭絲落緒分拆模擬，確認該模型及方法符合繅絲過程的實際情況，且與前人的研究結果基本一致。而模型所提出的將1根完整繭絲一次性分拆的思路也更符合繅絲中1根完整繭絲分多段多次參與生絲并合的實際情況。

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