從最小二乘法建模引出數(shù)學(xué)建模的“套路”

焦 華

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從最小二乘法建模引出數(shù)學(xué)建模的“套路”

焦 華

（貴州商學(xué)院，貴州 貴陽 550014）

近十年來由于計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)的迅猛發(fā)展,數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域已滲透到人類社會(huì)的每一個(gè)角落，其應(yīng)用的深度和廣度已超出了一般人的想象及認(rèn)知。數(shù)學(xué)建模進(jìn)入課堂已經(jīng)成為世界教育的潮流。本文以最小二乘法作為案例詮釋數(shù)學(xué)建模的“套路”，在勾畫出數(shù)學(xué)建模框架基礎(chǔ)上，對相關(guān)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)應(yīng)用等濃墨重彩。目的是為數(shù)學(xué)建模教育研究“拋磚引玉”。

最小二乘法；數(shù)學(xué)建模；套路；Excel軟件

0 引言

“套路”是2016年以來很流行的網(wǎng)絡(luò)語言，也廣泛應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，如“少一點(diǎn)套路，多一點(diǎn)真誠。”、“城市套路深，我要回農(nóng)村。”、“自古深情留不住，總是套路得人心。”等等。百度搜索一下，“套路”一詞是指精心策劃的用于應(yīng)對某種情況的方式方法，該詞偏中性而在具體環(huán)境下略顯貶義，網(wǎng)絡(luò)上的“套路”趣味十足、娛樂性質(zhì)較濃。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中使用這個(gè)流行詞既能激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，也使他們印象深刻。本文中的“套路”與上類同，但更強(qiáng)調(diào)客觀事物的規(guī)律和特性；強(qiáng)調(diào)人類尊重客觀規(guī)律采取的方法、制定的規(guī)則、執(zhí)行的流程等。這里不討論“武術(shù)套路”、“韓劇套路”、“傳銷套路”等，主要討論與數(shù)學(xué)或計(jì)算機(jī)有關(guān)的“套路”：如初等行變換算法是線性代數(shù)貫穿始終的“套路”；構(gòu)造輔助函數(shù)是微積分的特色“套路”；用循環(huán)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)“累加求和”是程序設(shè)計(jì)的“套路”（計(jì)算一項(xiàng)，累加一項(xiàng)。）。本文是將數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)結(jié)合起來，探討數(shù)學(xué)建模的“套路”。

數(shù)學(xué)建模論文包含有標(biāo)題、摘要、關(guān)鍵詞、正文、參考文獻(xiàn)等，這與學(xué)術(shù)刊物公開發(fā)表的論文相似，也就是說兩者“套路”相仿。但數(shù)學(xué)建模的正文部分是有特色的[1-2]，包含有：問題重述→合理假設(shè)→問題分析→模型建立及求解→結(jié)果分析→模型的檢驗(yàn)→模型的評價(jià)與推廣。 這是數(shù)學(xué)建模獨(dú)有的“套路”。其中“模型建立及求解”是“套路”的核心，本文只討論這個(gè)核心部分。

最小二乘法的出現(xiàn)是為了解決天體運(yùn)動(dòng)軌道的計(jì)算，歷史上人們運(yùn)用它重新找到了谷神星[3]，足以說明相關(guān)模型的建立及求解是正確的、合理的。本文以最小二乘法作為案例詮釋數(shù)學(xué)建模的“套路”，是因?yàn)樗菤v史上數(shù)學(xué)建模應(yīng)用成功的典型案例，同時(shí)也是通俗易懂的課堂教學(xué)內(nèi)容。在數(shù)學(xué)建模的培訓(xùn)或課程教學(xué)中，如果一開始就選擇難度較大的案例，學(xué)生聽不懂將會(huì)失去興趣、知難而退，因此選擇合適的有應(yīng)用背景的案例非常重要。（當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)比較“急功近利”——想法是短時(shí)間內(nèi)學(xué)有用的東西[4]。）通過此適中的案例可闡述清楚相關(guān)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)應(yīng)用等，真正達(dá)到數(shù)學(xué)建模的根本目的。

1 最小二乘法的思想方法

最小二乘法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，是當(dāng)前流行的機(jī)器學(xué)習(xí)最基礎(chǔ)的算法，也稱為最小平方（和）法。這種方法是用最小化誤差的平方和來尋找已知數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。使用最小二乘法能夠方便地求得未知數(shù)據(jù)，并能使這些數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和達(dá)到最小。最小二乘法可從直線擬合推廣到曲線擬合，即從線性回歸推廣到非線性回歸。具體內(nèi)容如下：

整理可得：

對上面方程用消元法求解得[5]：

提出問題和解決問題是數(shù)學(xué)的心臟，該問題的本質(zhì)是尋找變量之間合理的函數(shù)關(guān)系，最后用微積分工具找到了答案。過程中包含了數(shù)學(xué)建模的核心“套路”——模型建立及求解。

2 最小二乘法的歷史

19世紀(jì)的一個(gè)凌晨，意大利天文學(xué)家皮亞齊發(fā)現(xiàn)了一顆“沒有尾巴的慧星”——谷神星。經(jīng)過41天連續(xù)的跟蹤觀測后，終因疲勞過度累倒，醒來后找不到谷神星的位置。隨后全球的天文學(xué)家及科學(xué)家們利用皮亞齊記載的觀測數(shù)據(jù)尋找谷神星，但是依據(jù)大多數(shù)人的計(jì)算結(jié)果尋找谷神星都沒有找到。24歲的“數(shù)學(xué)王子”高斯經(jīng)過幾個(gè)星期的刻苦研究，創(chuàng)立最小二乘法計(jì)算出谷神星的軌道。奧地利天文學(xué)家奧爾伯斯依據(jù)高斯的計(jì)算結(jié)果重新發(fā)現(xiàn)了谷神星[3]。這一事實(shí)充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的威力。1809年高斯將創(chuàng)立的最小二乘法發(fā)表在他的著作《天體運(yùn)動(dòng)論》中。

數(shù)學(xué)精神是一種理性的、探索的、求真的精神，在數(shù)學(xué)建模或數(shù)學(xué)的教學(xué)中介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神。數(shù)學(xué)知識的出現(xiàn)和發(fā)展起源于人類生產(chǎn)生活的需要，歷史上數(shù)學(xué)知識的獲得曲折動(dòng)人，是一個(gè)不斷修正錯(cuò)誤、排除困難的過程。因此數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)思維方式，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)學(xué)科只能給我們知識，而數(shù)學(xué)歷史卻能給我們智慧。

3 最小二乘法的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)建模的“套路”（問題重述→合理假設(shè)→問題分析→模型建立及求解→結(jié)果分析→模型的檢驗(yàn)→模型的評價(jià)與推廣）中，這部分內(nèi)容屬于后期的“套路”，強(qiáng)調(diào)模型及求解方法的實(shí)際應(yīng)用。

應(yīng)用實(shí)例1：某成長型企業(yè)每年取得的凈利潤逐年上升，部分?jǐn)?shù)據(jù)見下表。

試構(gòu)建一個(gè)凈利潤作為時(shí)間函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，并用這個(gè)模型對2021年的凈利潤進(jìn)行預(yù)測。

解：先將此實(shí)際問題加以量化，確定自變量與因變量。為方便計(jì)算，設(shè)起始年1987年為0，并用表示，用（單位：百萬）表示相應(yīng)年份的企業(yè)凈利潤，于是可將上表轉(zhuǎn)換得到下表[6]。

表1 年份與凈利潤對照表

Tab.1 Year vs. Net Profit

表2 年份間隔與凈利潤對照表

Tab.2 Annual Interval vs. Net Profit

這些數(shù)據(jù)點(diǎn)大致在一條直線上，根據(jù)最小二乘法待定系數(shù)的計(jì)算公式

因此該企業(yè)2021年的凈利潤預(yù)測為：38.5992（百萬）元。

4 利用辦公軟件Excel做線性回歸

數(shù)學(xué)建模過程中有很多復(fù)雜的運(yùn)算和操作單純靠紙和筆是難以完成的，需要利用計(jì)算機(jī)相關(guān)軟件計(jì)算、驗(yàn)證、繪圖等。常用數(shù)學(xué)建模軟件有：Matlab[7-8]、Lingo、mathematica、Sas等，其實(shí)常被忽略的最基礎(chǔ)的建模軟件是Excel。在此僅用Excel實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的擬合。

步驟1：確定數(shù)據(jù)源，進(jìn)入Excel窗口，在單元格A1、B1中分別輸入,，在單元格A2—A12及B2—B12中分別輸入,之值。注意這里數(shù)據(jù)源是縱向的，但也可以是橫向的[6]。

步驟2：根據(jù)數(shù)據(jù)源繪制數(shù)據(jù)點(diǎn)的散點(diǎn)圖，確定變量,之間的近似函數(shù)關(guān)系。具體操作是選中數(shù)據(jù)區(qū)域，選擇“插入”→“圖表”→“XY散點(diǎn)圖”，根據(jù)操作提示得到散點(diǎn)圖。這里要注意是由數(shù)據(jù)生成圖表，兩者是關(guān)聯(lián)的。即數(shù)據(jù)源數(shù)據(jù)改變會(huì)引起散點(diǎn)圖的改變。

選擇“圖表工具”→“布局”→“圖表標(biāo)題”→“坐標(biāo)軸標(biāo)題”，輸入相關(guān)文字得下圖。

單擊散點(diǎn)圖，選擇“圖表工具”→“布局”→“趨勢線”→“線性趨勢線”，可得下圖。

圖1 凈利潤與時(shí)間的函數(shù)散點(diǎn)圖

圖2 凈利潤與時(shí)間的函數(shù)線性趨勢圖

可以看出，直線與散點(diǎn)圖擬合得很好。

步驟3：確定用線性回歸方法后，接下來就是求待定系數(shù)a,b。

單元格A15中輸入函數(shù)“=INTERCEPT(B2:B12, A2:A12)”，可得b=5.898；

單元格B16中輸入函數(shù)“=SLOPE(B2:B12,A2: A12)”，可得a=0.9618。為了幫助對兩個(gè)函數(shù)的記憶，如同單元格的表示要“先列后行”，函數(shù)括號中要“先后”。“INTERCEPT”與“SLOPE”按其英文單詞的意思記憶，即“截距”與“斜率”。得到的結(jié)果圖如下。

在上面的例子中，問題所給的凈利潤與時(shí)間的數(shù)據(jù)對之間大致呈現(xiàn)為線性關(guān)系，我們得到的回歸曲線是一條直線，這類問題稱為線性回歸問題，它雖然簡單但卻具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，因?yàn)樵S多復(fù)雜的非線性回歸問題，可以通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q將其化為線性回歸問題來分析研究。以下就指數(shù)函數(shù)回歸問題作為實(shí)例加以說明。

應(yīng)用實(shí)例2：地高辛可用來治療心臟病，醫(yī)生對某個(gè)特定病人開出的初始劑量為0.5（毫克），此后時(shí)間（天）病人血液中地高辛的含量由下表給出。

圖3 線性函數(shù)斜率及截距計(jì)算圖

表3 用藥間隔天數(shù)與人體血液中地高辛含量對照表

Tab.3 Comparisons between days between medication and digoxin content in human blood

（1）試構(gòu)建人體血液中地高辛含量與用藥后天數(shù)之間近似函數(shù)關(guān)系。

（2）預(yù)測12天后人體血液中地高辛含量[6]。

解（1）將上表的數(shù)據(jù)填入EXCEL表格中，選中數(shù)據(jù)區(qū)域，選擇“插入”→“圖表”→“散點(diǎn)圖”，這樣得到用EXCEL作出的散點(diǎn)圖如下。

從上圖觀察，y與x大致體現(xiàn)為指數(shù)函數(shù)關(guān)系，選擇“圖表工具”→“布局”→“趨勢線”→“指數(shù)趨勢線”，可得下圖。

圖4 用藥天數(shù)與人體地高辛含量函數(shù)關(guān)系散點(diǎn)圖

圖5 用藥天數(shù)與人體地高辛含量函數(shù)關(guān)系趨勢線圖

表4 取對數(shù)轉(zhuǎn)換后的對照表

Tab.4 Comparisons after logarithmic conversion

圖6 指數(shù)函數(shù)關(guān)系待定系數(shù)求解圖

觀察到圖中回歸曲線穿過所有的散點(diǎn)，由此可見該指數(shù)函數(shù)和散點(diǎn)擬合得相當(dāng)好，進(jìn)一步說明指數(shù)模型是非常合理的。

需要強(qiáng)調(diào)的是在選定散點(diǎn)圖后[9-10]，使用“圖表工具”→“布局”→“趨勢線”→→“線性趨勢線”或“指數(shù)趨勢線”時(shí)，點(diǎn)擊“線性趨勢線”或“指數(shù)趨勢線”按扭將觸發(fā)EXCEL軟件中的計(jì)算程序與繪圖程序，而計(jì)算程序的算法就是最小二乘法！繪圖程序描出的是回歸函數(shù)的圖像。

圖7 指數(shù)函數(shù)關(guān)系預(yù)測值求解圖

5 總結(jié)

數(shù)學(xué)是人類描述客觀世界最基本的科學(xué)語言,是人類探索世界、改造世界重要的科學(xué)工具[11]。數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性推動(dòng)著科技的進(jìn)步，深刻影響著人類文明的進(jìn)程。尤其是近70多年以來，計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和信息技術(shù)的迅猛發(fā)展,數(shù)學(xué)不僅廣泛應(yīng)用在工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域，而且向經(jīng)濟(jì)管理、金融服務(wù)、環(huán)境能源等新的領(lǐng)域以空前的廣度和深度滲透交叉。大數(shù)據(jù)、云計(jì)算、人工智能已經(jīng)使數(shù)學(xué)成為當(dāng)代高科技的基礎(chǔ)和重要組成部分。

數(shù)學(xué)建模通俗地說就是依據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，然后用數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)工具對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，最后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問題[12]。由于現(xiàn)今衡量一個(gè)國家的科技水平是根據(jù)這個(gè)國家消耗數(shù)學(xué)的程度，因此數(shù)學(xué)建模進(jìn)入課堂已經(jīng)成為世界教育的潮流。本文以最小二乘法建模案例引出數(shù)學(xué)建模的“套路”，目的是讓學(xué)生能夠“窺一斑而知全豹，見一葉而知深秋”。

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The “Method” of Mathematical Modeling is Derived From Least Squares Modeling

JIAO Hua

(Guizhou University of Commerce Guizhou, Guiyang 550014)

Because of the rapid development of computer and information technology in the past ten years, the application field of mathematics has penetrated into every corner of human society. The depth and breadth of its application have exceeded the imagination and cognition of the general people. Mathematical modeling has entered the trend of world education. In this paper, the least square method is used as a case to explain the "method" of mathematical modeling. On the basis of drawing out the framework of mathematical modeling, the relevant mathematical ideas, mathematical methods, mathematical history, and the application of mathematics are rich and heavy. The purpose is to contribute to the research of mathematical modeling education.

Least square method; Mathematical modeling; Method; Excel

O17; G642

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2018.12.011

貴州省教育廳2016年本科教學(xué)工程項(xiàng)目(項(xiàng)目編號：SJ-JXGC-KC-003、SJ-JXGC-KC-002)

焦華，男，碩士研究生，貴州商學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院副教授，研究方向：算法與程序。

焦華. 從最小二乘法建模引出數(shù)學(xué)建模的“套路”[J]. 軟件，2018，39（12）：44-50