基于核密度估計的結構地震需求信息熵重要性分析

王秀振， 錢永久， 瞿 浩

(西南交通大學 土木工程學院，成都 610031)

對全面研究輸出反應量受輸入隨機變量的不確定性影響，一般用靈敏性表示。眾多學者對靈敏性進行了研究，Ratto等[1]將SDP(State Dependent Parameter)模型應用到基于方差的靈敏性測度分析中，提高了分析效率，這對復雜的結構系統模型進行靈敏性測度分析來說，可以大大降低抽樣的樣本數量；鐘祖良等[2]對隧道的圍巖壓力相關的計算參數進行了敏感度分析，分析了各個計算參數對隧道圍巖壓力的具體影響規律；李思等[3]對比熱容、圍巖導熱系數和賦存溫度3個因素進行了對寒區隧道溫度場影響的敏感性分析，發現3個因素的影響有明顯的差異；葉繼紅等[4]在考慮了局部損傷對整體結構的影響的基礎上，對結構冗余特性進行了響應敏感性研究，提出了以整體結構應變能對構件材料的敏感性極值這一冗余度評價的指標，對結構應變能敏感性的冗余度進行了評價。

全局靈敏性分析和局部靈敏性分析是靈敏性分析的兩種類型，其中全局靈敏性分析，又稱為重要性分析，可以從輸入隨機變量可能取值的范圍，來全面衡量輸入隨機變量對輸出反應量的影響情況[5]，這相對于局部靈敏性分析只能考慮輸入隨機變量取某些值時對輸出反應量的影響，具有優勢[6]。

重要性分析的方法有方差重要性分析、信息熵重要性分析[7]和矩獨立重要性分析[8]等，本文采用核密度估計作為信息熵重要性分析的求解方法，以型鋼混凝土框架結構為例，對影響結構地震需求的輸入隨機變量抽樣后，進行信息熵重要性分析，并用方差重要性分析方法進行了對比，以驗證其有效性。

1 信息熵重要性分析方法

1.1 信息熵的概念

變量的不確定性可以通過熵來度量，變量的不確定性越大則熵越大[9]。設離散型輸入隨機變量X的概率空間為

(1)

我們把X的所有取值的自信息的期望稱為X的平均自信息量，通常稱為信息熵(Information Entropy，IE)，簡稱熵(Entropy)，記為H(X)，即

(2)

對于連續性的輸入隨機變量X，假設X的概率密度函數為fx(x)，熵可以定義為

(3)

式中:E(·)表示數學期望；樣本xk依據X的概率密度函數生成；DX表示輸入隨機變量的變化范圍。

假設一個結構受多個輸入隨機變量的影響，輸出反應量為

Y=g(X)

(4)

式中，X=(X1,X2,…,Xn)為輸入隨機變量。

根據信息熵理論，Y的熵可以定義為

(5)

式中:fY(y)是Y的概率密度函數；DY是Y的變化范圍。

1.2 信息熵重要性分析指標的定義

對于式(4)的輸出反應量Y=g(X)，如果輸入隨機變量X的值取為其實現值xi，這時Y的概率密度函數表示為fY|Xi=xi(y)。由于這時Xi已經消除了不確定性，所以輸入隨機變量Xi對輸出反應量Y的信息熵效應定義是[10]

εi=|HY-HY|Xi=xi|

(6)

式中:HY是式(5)中輸出反應量Y的原始熵，HY|Xi=xi是輸出反應量Y的條件熵，定義如下

(7)

式(6)中定義的εi是輸入隨機變量Xi取其實現值xi時對輸出反應量Y的效應。Xi對輸出反應量Y的平均效應為

(8)

式中:E(·)表示數學期望，DXi表示輸入隨機變量Xi的變化范圍，xij(j=1,2,…,N0)表示樣本，依據Xi的密度函數生成，HY|Xi=xij表示Xi取xij(j=1,2,…,N0)條件下的條件熵。

1.3 信息熵重要性分析指標的性質

1.4 信息熵重要性分析指標的求解方法

對于給定數據y1,y2,…,yn，通過核密度估計，可以估計出該總體的概率密度函數[16]

(9)

式(9)是加權平均的形式，核函數(Kernal Function)K(·)是一個權函數，估計f(y)在點y的值時數據點的個數和利用的程度由核函數的值域和形狀控制，核密度估計的優劣決定于核函數K(y)和帶寬h的選取。常用的核函數如表1所示。

對于四次方核函數和Epanechikov核函數，不但只有離y的距離小于帶寬h的點才起作用，而且起作用的數據的權重隨著與y的距離減小而變大。

表1 常用核函數

1.5 計算流程

步驟1 首先采用低偏差的Sobol序列進行抽樣，根據各個輸入隨機變量的聯合分布密度抽取N個樣本，用矩陣A表示為

(10)

步驟2 通過有限元軟件OpenSees，將矩陣A中隨機變量的樣本值輸入有限元模型，得到輸出反應量Y的N個樣本值yk(k=1,2,…,N)。

(11)

步驟5 類似于步驟2和3估計輸出反應量Y的條件熵HY|Xi=xij。

2 工程實例1

某7層3跨的型鋼混凝土框架結構，底層層高4 200 mm，標準層層高3 600 mm，如圖1所示。樓板厚度120 mm，柱距6 000 mm，鋼筋采用HRB335級鋼，混凝土保護層厚度為25 mm，型鋼強度等級為Q345，采用焊接H型鋼，600×600柱中型鋼為H400×400×11×18，500×500柱中型鋼為H300×300×10×15，梁中型鋼為H140×440×10×16，采用C40混凝土，梁柱截面配筋情況如表2所示，輸入隨機變量的詳細信息見表3。

(a) 平面圖

(b) 立面圖

本例選取El Centro地震動記錄(RSN6)，來自美國太平洋地震工程研究中心PEER中的強震數據庫，雙向作用(篇幅所限，僅列出結構橫向的相關數據)。

圖2給出了樣本量為1 024時，4種地震需求與對應的結構質量樣本值之間的散點圖，可以看出，最大層間位移角需求和頂點位移需求大致與結構質量成正相關的關系，基底剪力需求和最大樓層加速度需求與阻尼比大致呈先正相關后反相關的關系，4種地震需求與其他各個輸入隨機變量的關系不再一一列出。

表2 輸入隨機變量的統計參數

表3 截面信息

(a) 頂點位移需求(b) 最大層間位移角需求(c) 基底剪力需求(d) 最大樓層加速度需求

圖2 地震需求-結構質量關系

Fig.2 Seismic demand-structure quality relationship

本文得到了不同樣本數條件下的各個輸入隨機變量對應的4種結構地震需求的重要性測度指標，如圖3和圖4所示，從圖可知，在樣本數為384以下時，各個輸入隨機變量對應的4種結構地震需求的重要性測度指標上下波動較大，樣本數達到384時，各個輸入隨機變量對應的重要性測度指標的值基本不變，并且各個輸入隨機變量的重要性排序[20]不發生變化，可見本文的抽樣方法需要的樣本數量較少。

2.1 信息熵重要性測度指標

由圖3可以看出，DA、Ms和fc對結構地震需求影響較大，其余輸入隨機變量的影響較小。

對于這4種結構地震需求而言，當樣本數不小于384時，各個輸入隨機變量的信息熵重要性測度指標值變化較小，重要性排序基本不變。

(a) 頂點位移需求(b) 最大層間位移角需求(c) 基底剪力需求(d) 最大樓層加速度需求

圖3 信息熵重要性測度指標

Fig.3 Information entropy importance measure index

2.2 方差重要性測度指標

輸入隨機變量的方差重要性測度指標如圖4所示，由于篇幅所限，不再詳細介紹方差重要性測度指標的求解過程，見參考文獻[20]。

由圖4可知，當樣本數達到384時，各個輸入隨機變量的重要性排序基本不變，方差重要性測度指標值的變化也很小。

(a) 頂點位移需求(b) 最大層間位移角需求(c) 基底剪力需求(d) 最大樓層加速度需求

圖4 方差重要性測度指標

Fig.4 Variance importance measure index

2.3 兩種指標對比

信息熵重要性測度分析方法得到的各個輸入隨機變量的重要性測度指標，與方差重要性測度分析方法的結果列于圖5。由圖5可以看出，采用2種分析方法得到的輸入隨機變量的重要性排序基本一致，即使是有差別的，也是重要性測度指標的值非常小的情況下出現的；信息熵重要性測度指標與方差重要性測度指標2者的值不完全相同，這是由于兩種方法分析指標的含義不同。

(a) 頂點位移需求(b) 最大層間位移角需求(c) 基底剪力需求(d) 最大樓層加速度需求

圖5 重要性測度指標對比

Fig.5 Comparison of importance measure index

3 工程實例2

某型鋼混凝土框架結構，與工程實例1中的結構類似，只是截面鋼筋的配置以及地震動作用方式和選取的地震動記錄不同，截面配筋如表4所示，選取的地震動記錄如表5所示，PGA統一調整為0.6g，作用于結構縱向。

表4 截面信息

表5 地震動記錄

基底剪力和最大層間位移角兩種地震需求的重要性指標如圖6所示。

(a) 基底剪力需求(IE)(b) 最大層間位移角需求(IE)(c) 基底剪力需求(VAR)(d) 最大層間位移角需求(VAR)

圖6 重要性測度指標對比

Fig.6 Comparison of importance measure index

從圖6可知，選取的7條地震動記錄的重要性指標有一定的差異；對于多數地震動記錄的基底剪力需求，fys的重要性測度指標最大，Es和Ec對應的重要性指標較?。粚τ诙鄶档卣饎佑涗浀淖畲髮娱g位移角需求，DA、Ms和fys的重要性測度指標較大，Es和Ec對應的重要性指標最小。并且信息熵重要性測度指標和方差重要性測度指標的差別不大。

4 結果對比

工程實例1和工程實例2的加載方式不同、截面配筋不同、PGA也不同，作用于不同結構方向的2個工程實例中El Centro地震動記錄的信息熵重要性測度指標如圖7所示，由圖7(a)可知，雖然具體的重要性測度指標值有差距，但DA、fc和fys對應的基底剪力需求重要性指標都較大，而Ec、Es和Ess對應的值都較??；由圖7(b)可知，但DA、Ms和fys對應的最大層間位移角需求重要性指標都較大。

(a) 基底剪力需求(b) 最大層間位移角需求

圖7 結果對比

Fig.7 Comparison of results

5 結 論

本文通過信息熵重要性分析方法，以型鋼混凝土框架結構為例，研究了輸入隨機變量對4種結構地震需求的重要性，結論如下：

(1) 信息熵重要性分析方法得到的重要性排序與方差重要性測度分析方法得到的重要性排序基本一致，信息熵重要性分析方法是一種良好的重要性分析方法。

(2) 在用El Centro地震動記錄和7條地震動記錄分別對型鋼混凝土框架結構進行重要性分析時，各個輸入隨機變量的重要性指標大小有普遍規律。

(3) 對于型鋼混凝土框架結構，同一輸入隨機變量對4種不同的結構地震需求的影響水平有差別，但相對而言，Ms、DA和fc對4種地震需求的影響都較大，而Ec的影響都較小。

(4) 本文采用的抽樣方法需要的樣本數量較少，幾百即可得到較好的結果。

通過與方差重要性分析方法對比可以發現，基于核密度估計的信息熵重要性分析方法是高效準確的方法。