不同初始應力及變形對梁自振頻率的影響

張家瑋，孫 琳，張香巖，張晨宇

(蘭州交通大學 土木工程學院, 蘭州 730070)

一般而言，工程結構和構件總可以看成是在恒定初始載荷和附加可變載荷的聯合作用下工作[1]。當結構承受活載時，將從恒載產生的初始參考狀態下開始發生變形，在后續的變形中包含有初始應力的影響。恒載的初始應力會產生加勁效應，使結構在后續活載作用下的內力和變形發生變化。這種影響既包含由初始中面張力引起的加勁效應，又包含初始彎曲應力造成的加勁效應。

恒載對梁非線性靜動力性態的影響有許多學者做過有益的研究工作，Biot[2]研究了初始應力對桿的扭轉剛度的影響，Brunelle[3]研究了梁在初始軸向壓力作用下的屈曲和振動特問題。石慶華等[4-6]研究了初始軸向力及軸向變形對梁靜動態特性的影響。這些研究主要集中在初始軸向力對梁彎曲變形靜動態特性的影響，由于初始軸向力的存在，梁桿構件將表現出明顯的二階效應，拉力使梁桿構件自振頻率增大、壓力使梁桿構件自振頻率減小。其實質是初始軸向力導致了構件剛度的改變。

這些研究中主要考慮由于初始軸向變形的存在而復雜化了的扭轉、彎曲及動力問題，而認為初始彎曲變形對結構后續變形及自振頻率沒有影響。

Takabatake[7-8]認為當梁承受后續荷載時，將從恒載產生的參考狀態開始發生彎曲變形，在后續的彎曲變形中包含有保守初始彎曲應力的影響。并發現恒載產生的彎曲變形會對梁靜動力特性產生影響，恒載產生的彎曲變形會產生加勁效應，使梁桿構件自振頻率增大。Zhou等[9-11]在Takabatake工作的基礎上，提出了初始彎曲變形對梁動力影響的有限元方法，推導出考慮這種影響的單元剛度矩陣。張家瑋等[12-15]研究了恒載初始彎曲應力對拱形梁靜動力特性的影響。周世軍等[16-17]用有限元方法分析了恒載初始彎曲應力對板自振頻率的影響。

這些研究未同時考慮初始軸向、彎曲應力及變形對結構影響的完備表達。本文應用Hamilton原理，建立了同時考慮初始靜載產生的彎曲和軸向應力及變形影響時梁的控制微分方程，利用Galerkin方法推導出了考慮兩種變形影響時簡支梁自振頻率的解析表達式，進一步擴展初等梁理論。并通過對簡支梁自振頻率的解析表達式的討論，明確了初始靜載大小、梁自身剛度等不同參數對這兩種初始變形對梁動力反應的敏感度。采用產生相同變形能的方式，定量地比較了兩種初始變形在各種邊界條件不同參數情況下(初始荷載大小、慣性矩、慣性半徑和跨度等)對梁自振頻率的影響。

1 微分方程的建立

假定梁的變形服從Bernoulli-Euler假設，應變位移關系為[18]

(1)

(2)

式中：εx為梁的應變；v為梁的撓度。

在后續活載作用下，梁的應變能U為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

則梁的變形能U為

(8)

外荷載所產生的荷載勢能為

(9)

忽略轉動慣量及軸向振動的影響，梁的動能可以表示為

(10)

Hamilton原理

(11)

將式(8)～式(10)代入式(11)，得

(12)

其中，梁只在初始荷載作用下時應滿足

(13)

(14)

(15)

在式(12)中，考慮初始軸向變形和彎曲變形影響時梁的控制微分方程為

(16)

(17)

邊界條件為

(18)

(19)

邊界條件為

(20)

2 動力分析及Galerkin方法求解

由式(19)可知，考慮初始荷載影響時梁的自由振動微分方程為

(21)

(22)

將式(22)代入式(21)得

(23)

(24)

這里，

(25)

(26)

其中，fi為

(27)

(28)

(29)

一端固支一端簡支梁：

(30)

初始荷載對梁自振頻率影響的控制方程式采用Galerkin方法求解，其表達式為

(31)

(32)

其中，計算初始彎曲變形影響時

(33)

(34)

其中，計算初始軸向變形影響時

(35)

(36)

考慮初始荷載的影響時簡支梁的自振頻率

(37)

不考慮初始荷載的影響時簡支梁的自振頻率

(38)

其中,k0i為

(39)

兩端固支梁:

Cos(k0nL)Cosh(k0nL)=1

(40)

懸臂梁:

Cos(k0nL)Cosh(k0nL)=-1

(41)

一端固支一端簡支梁：

Tan(k0nL)=Tanh(k0nL)

(42)

由式(31)～式(36)可以得到考慮初始彎曲應力及變形時簡支梁的自振頻率

(43)

其中,

(44)

G1=1.365 9×10-4

(45)

G2=0.224 182×10-4

(46)

G3=0.098 349 4×10-4

(47)

由式(31)～式(39)可以得到考慮初始軸向應力及變形時簡支梁的自振頻率

(48)

3 算例及分析

圖2 不同邊界條件下與 關系曲線 for various boundary conditions

圖3 前三階頻率與關系曲線 relationship

圖與關系曲線

從圖3、圖4中可以看出，初始軸向拉力及彎曲應力會對梁的動力特性產生影響。初始軸向拉力及彎曲應力使梁自振頻率增大，頻率的階數越低，這種增大越明顯。隨著初始荷載的增大，初始軸向拉力、彎曲應力及變形對梁自振頻率的影響越大，其中初始彎曲變形的影響相對初始荷載的大小更加敏感，尤其是基頻。

圖5～圖7為單獨慣性矩變化(αI=I/I0)、單獨回轉半徑變化(面積變，慣性矩不變，αr=r/r0)、單獨跨度變化(αL=L/L0)時初始彎曲與軸向應力對簡支梁自振頻率影響大小的比值。圖8為這三種與結構自身剛度有關的參數對初始彎曲與軸向應力對簡支梁自振頻率影響大小比值的比較。可以看出，簡支梁的慣性矩越小，或回轉半徑越小(面積變、慣性矩不變)，或跨度越大，初始彎曲應力在初應力影響中所占的比例越大。而且，跨度變化對此項的影響最大，這一點從自振頻率解析表達式上可以看出。

圖5 αI變化時與關系曲線Fig.5 relationship for various αI

圖6 αr變化時與關系曲線Fig.6 relationship for various αr

圖7 αL變化時與關系曲線Fig.7 relationship for various αL

圖8 三種變量變化時與關系曲線Fig.8 Relationships between varying deterrent effect

4 結 論

本文在同時考慮初始軸向和彎曲應力及變形影響下，推導梁幾何非線性分析的完備表達式，得到梁在初始荷載影響下的自振頻率的解析解，進一步擴展初等梁理論。

(1) 初始軸向及彎曲應力會對梁的動力特性產生影響。初始軸向拉力及彎曲應力使梁自振頻率增大，頻率的階數越低，這種增大越明顯。隨著初始荷載的增大，初始軸向拉力、彎曲應力及變形對梁自振頻率的影響越大，其中初始彎曲變形的影響相對初始荷載的大小更加敏感，尤其是基頻。

(2) 梁自身的剛度會對兩種初始變形的加勁效應的大小會造成影響。結構越柔(約束越弱、或慣性矩越小、或跨度越大、或回轉半徑越小)，初始彎曲與軸向應力及變形對梁自振頻率的影響的比值越大。