最小二乘疊前時間偏移在地震數(shù)據(jù)規(guī)則化中的應用

吳 丹 龔仁彬 王從鑌 胥小馬 吳海莉

(中國石油勘探開發(fā)研究院西北分院計算機所，北京 100191)

0 引言

在三維地震勘探中，受地表障礙物、觀測設備、施工條件等因素的限制，采集到的數(shù)據(jù)往往出現(xiàn)不規(guī)則、缺道、壞道等現(xiàn)象。地震數(shù)據(jù)的這種不規(guī)則性會嚴重影響后續(xù)的多次波壓制[1]、偏移成像[2]、四維地震監(jiān)測[3]等環(huán)節(jié)。為了消除地震數(shù)據(jù)不規(guī)則的影響，一般采用地震數(shù)據(jù)規(guī)則化方法重建缺失數(shù)據(jù)。但是，由于數(shù)據(jù)規(guī)則化本質上是一個欠定的反演問題，因此一直以來都是地震數(shù)據(jù)處理領域十分具有挑戰(zhàn)性的研究課題。

目前，地震數(shù)據(jù)規(guī)則化方法主要分為三類：第一類是在信號變換域引入稀疏約束恢復地震數(shù)據(jù)，如Radon變換[4]、傅里葉變換[5-8]、小波變換[9]、曲波變換[10-11]等；第二類是基于褶積算子的預測濾波器方法，根據(jù)已知數(shù)據(jù)提取局部地震屬性(如局部傾角)，再擴展該信息以恢復缺失數(shù)據(jù)[12-18]；第三類是模型驅動方法，利用已知的地下模型信息，采用積分延拓算子重建缺失數(shù)據(jù)，常見的延拓算子包括炮檢距延拓[19]、炮點延拓[20]、方位角延拓[21]等。其中前兩類方法屬于數(shù)據(jù)驅動的規(guī)則化方法，

以往基于模型驅動的數(shù)據(jù)規(guī)則化方法雖然利用了已知的地下模型信息，但是處理精度往往過度依賴于模型的準確性。當?shù)叵履Ｐ痛嬖谝欢ㄕ`差時，規(guī)則化結果不理想。本文采用疊前時間偏移和反偏移算子作為積分延拓算子，在成像空間保留了一個維度的冗余信息(如地表炮檢距)，使映射到成像空間的過程中不丟失模型的誤差信息； 再通過引入更加穩(wěn)定的預條件算子，可以在成像空間更好地提取和應用反射波同相軸特征，從而改善數(shù)據(jù)規(guī)則化質量。最后通過理論模型和實際資料處理驗證本文方法能否夠有效改善數(shù)據(jù)規(guī)則化效果，改進最終成像質量。

1 方法原理

1.1 最小二乘偏移理論

基于一階Born近似理論，反射地震數(shù)據(jù)d可以通過地下反射系數(shù)模型m線性映射得到

d=Lm

(1)

式中L為線性映射算子，也稱為Born正演算子，可以是疊前/疊后反時間偏移算子，也可以是疊前/疊后反深度偏移算子。該算子與速度模型有關，由于規(guī)則化過程中速度模型固定，因此式(1)忽略了速度這個參數(shù)。最小二乘偏移最小化目標函數(shù)為

(2)

式中：dobs為觀測數(shù)據(jù)；D為正則化算子；μ為阻尼因子。式(2)的顯式解為

m=(LTL+μDTD)-1LTdobs

(3)

定義一個新的向量p，滿足

m=Pp

(4)

則式(2)變?yōu)?/p>

(5)

式中P=D-1為預條件算子。上式的解為

p=(PTLTLP+μI)-1PTLTdobs

(6)

式中I為單位矩陣。將式(6)代入式(4)，可得

m=P(PTLTLP+μI)-1PTLTdobs

(7)

Clearbout[22]指出，合理的預條件算子比對應的正則化算子可以更快地加速迭代反演的收斂速度。

由于Born正演(或反偏移)算子L一般無法用矩陣顯式表達，而且模型和數(shù)據(jù)的規(guī)模很大，因此一般采用共軛梯度法近似求解式(7)，得到分辨率更高、振幅保真度更好的反射系數(shù)模型。在相同的理論框架下，選擇不同的反偏移算子，可以構建不同的最小二乘偏移算法，如最小二乘疊前時間偏移[23-24]、最小二乘逆時偏移[25-26]等。

1.2 地震數(shù)據(jù)規(guī)則化

當觀測數(shù)據(jù)不規(guī)則時，式(5)可以修改為

(8)

式中K為Mask算子，該算子的作用是將缺失地震道置0，非缺失地震道保持不變。通過共軛梯度法最小化目標函數(shù)式(8)得到最優(yōu)解popt，再應用預條件算子和反偏移算子，則可以重建缺失地震數(shù)據(jù)

dreg=LPpopt

(9)

重建后的地震數(shù)據(jù)可以表示為

dreg=LP(PTLTKTKLP+μI)-1PTLTKTdobs

(10)

分三種情況分析式(10)中各項對數(shù)據(jù)規(guī)則化的影響。

第一種情況，忽略Hessian矩陣求逆過程(式(10)中的求逆項)，即直接采用偏移+反偏移進行數(shù)據(jù)重建，式(10)變?yōu)?/p>

dreg=LLTKTdobs

(11)

這種做法雖然也能夠起到數(shù)據(jù)插值的作用，但是振幅信息不可靠。通過設計一個匹配濾波器可以在一定程度上解決這個問題，但是匹配濾波器的估計本身也是一個欠定的反問題，存在多解性。

第二種情況，忽略預條件項，即直接采用最小二乘偏移+反偏移進行數(shù)據(jù)重建，式(10)變?yōu)?/p>

dreg=L(LTKTKL)-1LTKTdobs

(12)

這種做法可以解決偏移+反偏移中存在的振幅匹配問題，但是無法消除數(shù)據(jù)缺失帶來的成像噪聲，該噪聲反投影到數(shù)據(jù)域，會降低插值數(shù)據(jù)的信噪比。

第三種情況，完整地求解式(10)，即采用預條件最小二乘偏移+反偏移進行數(shù)據(jù)重建，這種做法既考慮了振幅不匹配的問題，又可以壓制數(shù)據(jù)不規(guī)則帶來的噪聲。

實際上，預條件算子的選取對數(shù)據(jù)規(guī)則化效果的影響很大。本文采用因果積分算子作為預條件算子，該算子的作用是使振幅隨炮檢距平滑變化。當速度比較準確時，共成像點道集拉平，滿足振幅平滑變化的條件；當速度誤差較大時，相鄰道之間的振幅差異也不會太大，因此也基本能滿足條件；當速度誤差很大時，需要進一步采用更加合適的預條件算子，以保留原始數(shù)據(jù)中的剩余旅行時信息。

1.3 疊前時間偏移/反偏移

綜合考慮算子的靈活性、計算效率以及預處理階段對規(guī)則化的需求，本文采用Kirchhoff疊前時間反偏移作為線性正演算子L，該算子可以表示為

(13)

式中：m(x，h，τ)為時間偏移共炮檢距道集；d(y，H，t)為疊前共炮檢距數(shù)據(jù)；x和h分別為成像域中心點坐標和炮檢距；τ為成像域雙程旅行時；y和H分別為數(shù)據(jù)域中心點坐標和炮檢距，且H∈[h-Δh,h+Δh],Δh為炮檢距間隔；w為加權函數(shù)，合適的加權函數(shù)可以加快反演的收斂速度。在各向同性介質和直射線假設下，雙程旅行時滿足雙平方根方程

(14)

式中v為均方根速度。

正演算子式(13)的共軛轉置LT為Kirchhoff疊前時間偏移，其表達式為

(15)

1.4 速度的影響

疊前時間偏移共成像點道集屬于擴展模型的一種，該模型除了和物理位置有關，還允許模型隨炮檢距變化。因此，不論背景速度是否正確，使用該模型均可以模擬出和觀測數(shù)據(jù)相同的反射波旅行時信息，都可以在不發(fā)生周波跳躍的前提下正確地匹配波形信息[27]，即不論速度正確與否，隨著迭代次數(shù)的增加，目標函數(shù)式(2)中的第一項(數(shù)據(jù)擬合項)總是可以逐漸趨近于零。但是，如果速度模型不準確，式(2)中的正則化算子需要適應速度不準確帶來的旅行匹配誤差。

2 數(shù)值試驗

2.1 Marmousi模型測試

圖1a為深度域Marmousi層速度模型，圖1b為Dix公式轉換后的時間域均方根速度模型。圖1c是公開的波動方程有限差分正演共炮點道集[28]經(jīng)過炮檢距分選后的(時間，中心點，炮檢距)域的疊前數(shù)據(jù)體。圖1d為圖1c數(shù)據(jù)隨機剔除50%地震道后的疊前數(shù)據(jù)體。

圖1 Marmousi模型及其正演數(shù)據(jù)體

使用均方根速度場(圖1b)和不同的疊前數(shù)據(jù)體進行疊前時間偏移和最小二乘疊前時間偏移試驗。首先對比炮檢距為-0.325km的共炮檢距成像剖面。圖2a和圖2b為使用完整的地震數(shù)據(jù)(圖1c)分別進行常規(guī)疊前時間偏移和最小二乘疊前時間偏移得到的共炮檢距成像剖面，可以看出：盡管Marmousi模型構造復雜，速度橫向變化劇烈，但是時間偏移仍然可以大致準確地對地下構造形態(tài)進行成像；經(jīng)過最小二乘反演之后的成像結果分辨率得到顯著提高。圖2c、圖2d和圖2e為使用不完整數(shù)據(jù)(圖1d)分別進行常規(guī)疊前時間偏移、最小二乘疊前時間偏移和預條件最小二乘疊前時間偏移得到的共炮檢距成像剖面，可以看出，數(shù)據(jù)缺失給成像結果帶來許多噪聲，降低了信噪比，經(jīng)過最小二乘反演，雖然可以提高分辨率，但是并不能消除數(shù)據(jù)缺失的影響。通過加入合理的先驗信息(比如本文所采用的共成像點道集同相軸沿炮檢距平滑變化)，既可以提高成像分辨率，又可以壓制成像噪聲。

圖3a和圖3b為采用完整數(shù)據(jù)分別進行常規(guī)疊前時間偏移和最小二乘疊前時間偏移的共成像點道集，可以看出：盡管模型復雜，速度橫向變化劇烈，但是采用Dix公式轉化而來的均方根速度場(圖1b)，共成像點道集基本可以被拉平，該信息可以作為先驗信息約束反演成像；另外，經(jīng)過最小二乘反演，成像分辨率有一定的提升，而且淺層大炮檢距的拉伸效應也在一定程度上得到壓制。圖3c、圖3d、圖3e為采用不完整地震數(shù)據(jù)分別進行常規(guī)疊前時間偏移、最小二乘疊前時間偏移和預條件最小二乘疊前時間偏移的共成像點道集，可以看出，和共炮檢距成像剖面類似，數(shù)據(jù)缺失在成像道集中也引入噪聲，通過最小二乘反演能夠提高分辨率，但是無法壓制這類噪聲，利用共成像點道集同相軸沿炮檢距平滑變化這個先驗信息，再進行預條件最小二乘疊前時間偏移，不僅能夠提高分辨率，而且能夠有效壓制數(shù)據(jù)缺失帶來的噪聲。

(a)完整數(shù)據(jù)常規(guī)疊前時間偏移；

(b)完整數(shù)據(jù)最小二乘疊前時間偏移；

(c)不完整數(shù)據(jù)常規(guī)疊前時間偏移；

(d)不完整數(shù)據(jù)最小二乘疊前時間偏移；

(e)不完整數(shù)據(jù)預條件最小二乘疊前時間偏移

(a)完整數(shù)據(jù)常規(guī)疊前時間偏移；

(b)完整數(shù)據(jù)最小二乘疊前時間偏移；

(c)不完整數(shù)據(jù)常規(guī)疊前時間偏移；

(d)不完整數(shù)據(jù)最小二乘疊前時間偏移；

(e)不完整數(shù)據(jù)預條件最小二乘疊前時間偏移

對上述成像結果應用疊前時間反偏移即可以進行數(shù)據(jù)規(guī)則化。圖4為5.300km位置處的CMP道集規(guī)則化結果，圖5為規(guī)則化結果與原始道集誤差。

圖4 Marmousi模型不同方法數(shù)據(jù)規(guī)則化的5.300km處CMP道集對比

圖5 Marmousi模型不同方法數(shù)據(jù)規(guī)則化的5.300km處CMP道集誤差對比

由圖4和圖5可以看出，直接采用常規(guī)偏移方法也可以對數(shù)據(jù)進行插值，但是，由于沒有考慮Hessian矩陣的影響，插值結果的振幅信息不準確，需要考慮振幅匹配問題，而這個問題也是一個欠定問題，存在多解性。通過最小二乘反演可以解決振幅匹配問題，但是在數(shù)據(jù)缺失嚴重的區(qū)域，沒有先驗信息做約束，容易將成像結果中的噪聲反投影到數(shù)據(jù)空間，使插值結果信噪比較低。預條件最小二乘偏移規(guī)則化可以同時解決振幅不匹配和信噪比的問題，使得插值結果振幅屬性更加可靠、信噪比更高。

需要注意的是，對于本文方法，如果均方根速度比較準確，可以采用沿著炮檢距方向的平滑算子作為預條件算子，但是如果均方根速度不準確，則需要采用更加復雜的預條件算子，比如雙曲Radon變換、非穩(wěn)態(tài)平面波構建濾波器[8]等。盡管如此，通過偏移算子的作用，成像空間依然會比數(shù)據(jù)空間更簡單，因此有助于簡化預條件算子的設計，這也是模型驅動類數(shù)據(jù)規(guī)則化方法的意義所在。

2.2 實際資料處理

為了進一步驗證本文方法的有效性，對海上實際不規(guī)則地震數(shù)據(jù)進行規(guī)則化處理。圖6a為海上實際觀測的疊前數(shù)據(jù)體，受拖纜漂移等因素的影響，觀測數(shù)據(jù)中存在明顯的地震道缺失；圖6b為疊加速度分析得到的速度場，本文使用該速度場進行時間域成像，并將其作為模型先驗信息進行數(shù)據(jù)規(guī)則化處理。

使用圖6b所示的速度場，采用常規(guī)疊前時間偏移、最小二乘疊前時間偏移、預條件最小二乘疊前時間偏移進行成像。圖7是炮檢距為-0.425km的三種方法共炮檢距成像剖面，可以看出，受數(shù)據(jù)不規(guī)則的影響，常規(guī)偏移結果中存在明顯的成像噪聲。經(jīng)過最小二乘反演，成像分辨率得到顯著提高，但是信噪比依然較低。通過在共成像點道集引入平滑約束，進行預條件最小二乘反演之后，不僅可以提高成像分辨率，而且可以有效壓制成像噪聲。

圖8為常規(guī)疊前時間偏移、最小二乘疊前時間偏移、預條件最小二乘疊前時間偏移后得到的位于2.360km處的炮檢距域共成像點道集，可以看出，共成像點道集基本拉平，說明圖6b所示的速度場比較準確。另外，也能夠明顯的看出，受數(shù)據(jù)缺失的影響，常規(guī)疊前時間偏移成像道集的信噪比較低(圖8a)。

圖6 海上實際觀測疊前數(shù)據(jù)體(a)及其疊加速度場(b)

(a)常規(guī)疊前時間偏移；

(b)最小二乘疊前時間偏移；

(c)預條件最小二乘疊前時間偏移

圖7 海上實際數(shù)據(jù)炮檢距為-0.425m的不同方法共炮檢距偏移剖面

通過最小二乘反演進行成像，雖然可以提高分辨率，但是無法壓制數(shù)據(jù)缺失帶來的噪聲(圖8b)。進一步在成像道集引入同相軸沿炮檢距方向平滑變化這一先驗信息，可以顯著提高道集的信噪比，同時也能夠保持反演帶來的分辨率(圖8c)。

最后，應用疊前時間反偏移對缺失數(shù)據(jù)進行重建。圖9a為2.360km處的CMP道集，該道集存在明顯的數(shù)據(jù)缺失。圖9b～圖9d分別為采用常規(guī)疊前時間偏移、最小二乘疊前時間偏移和預條件最小二乘疊前時間偏移的規(guī)則化結果。從結果可以看出，對常規(guī)疊前時間偏移結果進行反偏移，雖然也可以起到數(shù)據(jù)插值的作用，但是由于沒有考慮Hessian矩陣的影響，插值出來的振幅信息不可靠。經(jīng)過最小二乘反演，雖然可以解決振幅信息不匹配的問題，但是受不規(guī)則數(shù)據(jù)引入噪聲的影響，插值結果的信噪比較低。通過預條件化技術既可以恢復振幅信息，又能夠提高規(guī)則化后數(shù)據(jù)的信噪比。

(a)常規(guī)疊前時間偏移；

(b)最小二乘疊前時間偏移；

(c)預條件最小二乘疊前時間偏移

圖9 海上實際數(shù)據(jù)不同方法數(shù)據(jù)規(guī)則化的CMP道集

3 結論與討論

本文在最小二乘反演的理論框架下，采用最小二乘疊前時間偏移進行數(shù)據(jù)規(guī)則化，利用合理的預條件算子改善數(shù)據(jù)規(guī)則化的處理效果。從理論模型和實際資料處理結果可以得到如下幾點結論及認識：

(1)疊前時間偏移共成像點道集是一種擴展模型，可以緩解模型驅動類數(shù)據(jù)規(guī)則化方法對模型的過度依賴；

(2)最小二乘疊前時間偏移可以提高成像分辨率，改善振幅保真度，是本文規(guī)則化方法的中間結果，可以用作質量監(jiān)控和后續(xù)的成像結果分析；

(3)成像空間比數(shù)據(jù)空間的信息更加簡單，更有利于設計預條件算子；

(4)合理的預條件算子可以改善規(guī)則化的效果。當然，在復雜地表、復雜地質條件下，也可以采用更加復雜的成像算子，以簡化成像空間預條件算子的設計，從而進一步改善規(guī)則化效果，但是相應地計算成本會增加，對速度模型的依賴性也會變強。