基于應力松弛試驗的人牙周膜五參數粘彈性模型構建

吳斌，鹿如鑫，嚴斌，謝理哲，趙思雨，黃輝祥，楊宇，湯文成

(1.南京林業大學 機械電子工程學院，江蘇 南京 210037；2.南京醫科大學 口腔疾病研究江蘇省重點實驗室/南京醫科大學附屬口腔醫院 正畸科，江蘇 南京 210029；3.南京工程學院 機械工程學院，江蘇 南京 211167； 4.東南大學 機械工程學院，江蘇 南京 211189)

獲得牙周膜在矯治力作用下的響應是研究正畸過程中牙齒移動機制的關鍵。受制于人體口腔特殊環境，直接測量牙周膜受力后的應力應變尚無法實現，數值仿真成為重要手段[1]。但是，牙周膜厚度為0.15～0.38 mm[2]，主要由膠原纖維(占53～74%)、細胞、血管(占1～2%)和基質組成[3]，復雜的內部構成導致目前尚無公認的、能準確描述其力學特性的材料模型，直接影響了仿真的精確度。合理的材料模型的建立依賴于完善的力學實驗，已有的一些實驗[4- 10]雖然表明了牙周膜具有典型的非線性粘彈性特征，但多為動物實驗[11- 13]，數據存在較大偏差，且沒有獲得具體的模型參數。人體牙周膜的相關試驗尚處于探索階段，以靜態試驗為主，尚未見基于時間相關性的專用于描述其粘彈性特征的實驗。作者通過對人體牙周膜切片進行應力松弛實驗獲得其松弛模量曲線，再基于粘彈性理論構建了一個五參數固體粘彈性本構模型，來描述其粘彈性力學行為中的應力松弛效應，并求解了模型的具體參數。

1 材料和方法

1.1 樣本制備

實驗用6例上頜前牙牙周膜樣本取自人頜骨[尸體樣本來自南京醫科大學解剖學系(南京醫科大學倫理審核(2015)169號)]。制作切片前記錄樣本來源、患者年齡、性別等，去除附著在人頜骨的軟組織備用。樣本來源于1986年男性尸體，無牙周病史。由于人牙與動物牙齒比較相對較小，如果選用多牙根的磨牙，不易制作出樣本，且樣本不易夾持，故一般選用單牙根的中切牙或側切牙。樣本制備流程如下：(1)分離目標牙齒并盡量保持牙齒周圍的牙槽骨完整，如圖1a。(2)使用慢速骨鋸垂直于牙長軸，在牙槽嵴附近將牙冠部分切除，同時在牙根尖部位垂直于牙長軸將牙根以下部分切除。根據牙齒實際長度，將同顆牙齒切成3份薄片，如圖1b，并記錄薄片具體位置(根頸部、根中部、根尖部)，得到的薄片如圖1c所示。(3)平行于牙長軸方向將薄片切割為小矩形塊，如圖1d虛線所示。將切割好的樣本置于生理鹽水中，-20 ℃條件下保存。實驗當天從冷凍室中取出樣本于室溫下解凍，如圖1e，并用電子千分尺測量試驗樣本的精確尺寸。本研究使用的所有試樣在試驗期間均只冷凍和解凍1次，以保持樣本的機械性能[13]。制作好的人牙周膜樣本包含牙齒、牙周膜和牙槽骨3部分，牙齒和牙槽骨端作為夾持端，以便于單軸拉伸實驗的進行。樣本信息如表1所示。

1.2 實驗裝置

本試驗儀器選用微機控制電子萬能材料實驗機[CTM2010，協強儀器制造(上海)有限公司]。由于樣本尺寸較小，安裝時需小心輕柔以免損壞樣本，將樣本的牙槽骨端和牙齒端在試驗機夾具的固定端夾緊，露出牙周膜。實驗中，采用位移控制，滴加生理鹽水進行保濕。

1.3 實驗過程

在正式試驗開始前，需要對樣本進行預加載[9]。研究[14]表明，人的平均咀嚼頻率約為1.57 Hz。本試驗通過以1 Hz的頻率，0.1應變的振幅20次諧波循環對其進行預處理。約10個周期的循環加載后，試樣呈現穩定的應力應變狀態，這與Sanctuary[15]的研究結果相同。

應力松弛指材料受恒定應變時應力隨時間減小的現象，這意味著材料應受位移載荷的控制。由連續介質力學對應力松弛的定義可知，應力松弛實驗應施加階躍應變載荷，以探究材料在瞬時載荷下的應力響應，無法實現Sanctuary[15]在文中提出實際試驗時瞬時跳躍的載荷，如圖2a所示，應盡量的減少加載時間t*，即應盡可能的提升拉伸階段應變率。經多次嘗試，在不引起儀器振動而使數據產生振蕩的前提下，加載時間設置為3 s。為體現材料的粘性特征，應力松弛的應變參數不宜設置的過小，應在牙周膜纖維完全拉伸并被動延展的階段選取，以跳過牙周膜的瞬時彈性特征，本試驗選取拉伸的應變為0.4，保載200 s(過長的保載時間會導致樣本失去水分，200 s為多次預實驗后總結獲得的合理時間)。加載曲線如圖2b所示。

圖1牙齒-牙周膜-牙槽骨切片樣本制作流程示意圖

表1牙齒樣本基本參數

樣本部位牙周膜面積/mm2牙周膜厚度/mmA1側切牙頸5.540 40.25A2側切牙中11.4680.25A3側切牙根14.770 60.25A4中切牙頸9.9360.25A5中切牙中6.479 20.25A6中切牙根7.603 20.25

a.理想加載曲線 b.應力松弛實驗加載曲線

圖2加載曲線

1.4 數據處理

首先計算試樣所受的Lagragian應力σx[16]：

(1)

式中Fx為實驗所記錄的沿拉伸方向的拉力，A為拉伸方向的參考截面積(通過實驗前測量的樣本尺寸計算得到)

計算各時刻應變ε:

(2)

式中d為實驗所記錄的沿拉伸方向的位移，d0為試樣牙周膜的厚度(此處取平均厚度0.25 mm)。

各樣本應力與時間的關系，如圖3所示。同時為求取模型參數，根據公式(3)計算得到實驗數據的松弛模量曲線。

(3)

從樣本應力- 時間曲線可以看出，樣本在受到階躍位移載荷時，應力響應并非隨時間不變，而是隨時間緩慢變小且開始階段趨勢明顯，150 s以后曲線逐漸趨于平緩，體現出牙周膜材料應力響應隨時間變化的形式，表明其粘彈性特征。

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2 模型的構建及參數求取

應力松弛是粘彈性材料的典型特征之一[17]，應力松弛響應可表示如下：

(4)

相應的，蠕變響應也可表示為：

圖3應力-時間曲線

(5)

式(3)和(4)中，G(t)與J(t)分別為應力松弛模量與蠕變柔量

從粘彈性材料的本構關系不難發現，蠕變柔量J(t)和松弛模量G(t)之間的關系可以通過式(6)中的拉普拉斯變換式來進行推導，

(6)

2.1 Zener模型

廣義粘彈性模型主要包括廣義Maxwell模型(也稱為Wiechert模型)和Kelvin鏈模型。廣義Maxwell模型是由多個并聯的Maxwell模型與退化單元彈簧元件或粘壺元件進一步并聯組成，該模型適合描述松弛現象；Kelvin鏈模型是由多個串聯的Kelvin模型元件退化單元串聯而成，較為適合描述蠕變現象。本課題組成員Huang[12]曾提出了Zener模型用于描述牙周膜的粘彈性力學行為，該模型為Maxwell單元并聯一個彈簧元件。

(7)

獲得松弛模量G(t)為：

(8)

2.2 五參數模型

建模時應考慮材料本質更偏向于流體還是固體以及材料對突變載荷的瞬態響應。由粘彈性理論可知，通過增加參數量可以提高模型對粘彈性力學行為的描述能力。本研究在課題組已建立的三參數固體粘彈性Zener模型基礎上進一步構建了五參數有沖擊響應的固體粘彈性模型，其組成形式如圖4所示。

圖4五參數固體粘彈性模型

設彈簧柔度分別為E1、E2、E3，粘壺粘度為η1、η2，整個系統所受的應力為σ，應變為ε。根據組成部分之間的關系，列出如下的線性微分方程組：

(9)

對微分方程組進行Laplace變換,消去中間變量σ1、σ2、σ3，得：

(10)

(11)

(12)

2.3 模型對比及參數求取

根據試驗所獲得的應力-時間曲線，由式(3)計算得到試驗過程中牙周膜的松弛模量G(t)曲線。為了評價Zener模型和五參數模型對牙周膜應力松弛特征的描述能力，分別用式(8)和式(12)對松弛模量曲線進行擬合。由于不存在理想的階躍加載過程，故擬合時忽略加載過程的數據點，僅從達到預設應變載荷處開始擬合，各樣本擬合結果如圖5所示，殘差分布如圖6所示，擬合優度見表2。

從圖中可以看出Zener模型與牙周膜的應力松弛特性符合度相對較高，校正決定系數在0.93至0.98之間。但是，進一步觀察殘差分布圖時發現，Zener模型殘差分布范圍較大且離散程度不高，曲線剛開始的一段尤為明顯。表明三參數固體粘彈性Zener模型在一定程度上可以描述牙周膜非線性粘彈性行為，但仍不精確。與Zener模型相比，五參數固體粘彈性模型對實驗數據的擬合精度有了很大提高，校正決定系數均在0.99以上。最重要的是，殘差分布范圍縮小一半，且殘差分布離散程度更高，能夠更好的表現實驗曲線開始階段的驟降現象。這表明五參數固體粘彈性模型比Zener模型更適合用于描述牙周膜的粘彈性力學行為。

進一步將試驗數據代入五參數模型松弛模量公式(12)，可以計算得到各個樣本的模型參數(表3)。

3 討 論

牙周膜的粘彈性力學特征非常復雜，受制于實驗的困難性以及人牙周膜復雜的內部構成，目前尚無公認的、能準確描述其力學特性的材料本構模型。牙周膜本構模型的構建需從材料本身的特性出發，考慮到牙周膜的組成成分中纖維占比重最大，偏固體的粘彈性模型更加適合描述其力學特性；從試驗數據可以看出，牙周膜在突變載荷下會產生瞬態響應。如果使用Kelvin鏈的形式構建多參數的本構模型，則需要退化的粘壺單元且不需要退化的彈簧單元；如果使用廣義Maxwell模型，則無退化的粘壺單元可保證有沖擊響應，有退化的彈簧單元可使模型具有固體特性。

本研究在已有的Zener模型的基礎上并聯了一個Maxwell單元，引入了一個新的五參數粘彈性模型來描述牙周膜的應力松弛特征。通過萬能材料實驗機對人牙周膜樣本切片進行單軸拉伸，獲得了牙周膜應力松弛試驗數據，從實驗曲線可以看出牙周膜材料應力響應隨時間緩慢變小且開始階段趨勢明顯，150 s后曲線逐漸趨于平緩，表明其粘彈性特征。為對比Zener模型與五參數模型的描述能力，分別使用松弛模量公式對試驗數據進行最小二乘法擬合分析。通過擬合對比可以看出，Zener模型能在一定程度上描述牙周膜的粘彈性力學行為，但殘差分布不離散且分布較大，在曲線開始階段尤為明顯。而五參數模型的擬合精度有了很大提高，校正決定系數均在0.99以上，同時，五參數模型的殘差范圍比Zener模型小一個數量級。通過殘差分布圖可以看出，相比與Zener模型，五參數模型能夠更好的體現出松弛模量(應力)在開始階段驟降的現象。這表明五參數固體粘彈性模型比Zener模型更適合用于描述牙周膜的粘彈性力學特性。這種結果是可以預見的，因為模型參數越多，模型通過參數的自我調整能力越強，對實驗曲線的擬合能力越強，同時模型的計算機編程實現難度也越大。通過本研究可以看出，五參數模型已經能夠很好地擬合實驗數據，從而沒有必要繼續追求更高參數的粘彈性模型，以免增加材料模型的有限元實現難度。但是，由于人體實驗樣本獲取不易，且對實驗環境要求較高，本次實驗樣本數較少。現有的人樣本牙周膜生物力學研究絕大多數以單根牙為研究對象，多根牙樣本基本沒有，這是由于牙根形態不同，牙周膜面積差異很大，不同于牛、豬的牙齒，人牙齒很小，單根牙切片樣本相對容易制作，而本來就很小的牙齒在多根形態下極難制作出可供試驗的切片樣本，牙齒和牙槽骨太短不易夾持，切片損壞率太高，因此本研究以單根牙為研究對象。在實際情況中不同部位的牙周膜承受的牙合力確實不同，然而，牙周膜的組織形態、基本構成不因位置而改變，不同部位的牙周膜受力時應力應變變化的具體數值存在差異，但其基本趨勢一致。即便如此，由單根牙樣本試驗數據擬合得到的模型是否適用于多根牙，仍需進一步的試驗驗證。后續研究將進一步擴大樣本容量并結合臨床實際，對本研究提出模型做進一步的驗證。

圖5Zener與五參數模型擬合對比

圖6Zener與五參數模型殘差分布對比

表2擬合優度對比

樣本校正決定系數Zener模型五參數模型A10.973 210.997 68A20.976 210.998 4A30.967 720.997 17A40.969 520.998 45A50.969 470.998 06A60.949 940.999 65

表3模型參數

樣本E1E2E3η1η2A10.248 90.202 41.056 80.378 721.282 3A20.109 50.122 60.385 30.816 89.963 4A30.019 90.036 70.140 70.164 41.608 9A40.128 50.058 90.175 80.523 93.549 9A50.203 40.131 50.937 91.034 611.899 5A60.089 40.020 20.152 10.252 81.270 6