在不同位置的投籃決策問題

袁唯達

【摘要】籃球是以手為中心的身體對抗性體育運動。籃球的得分方式中很重要的一種就是中遠投。在當(dāng)今的各大籃球賽事里，中遠投射能力已越來越成為衡量一名選手綜合能力的決定性因素。據(jù)此，本文依據(jù)建立二次函數(shù)，反比例函數(shù)模型，經(jīng)過推理計算，可以得出投籃的最佳出手角度和速度。

【關(guān)鍵詞】投籃;決策;角度;速度

一、問題描述

在籃球比賽的過程中，運動員的投射能力是衡量一名選手綜合能力的決定性因素，投籃的命中率會對比賽的結(jié)果造成直接巨大的影響。所以，投籃是籃球的核心技巧。所以，作為籃球運動員或是籃球愛好者，在進行籃球訓(xùn)練的時候需要一個投籃標(biāo)準(zhǔn)，以便更高效地提升投籃能力。因此，我們認為在每個出手點，都存在投籃的最優(yōu)決策。球員可以在訓(xùn)練時反復(fù)按照最優(yōu)解進行練習(xí)，從而提高投籃能力。

投籃決策問題具體分為出手速度與出手角度兩方面，這兩方面我們可以用斜拋運動相關(guān)知識進行計算。但在實際投籃中，投籃的穩(wěn)定性同樣需要考量。我們探究的最優(yōu)決策，是要在相對穩(wěn)定的情況下，籃球入框角度越大，投籃的命中率就越高。

我們以運動員的實測數(shù)據(jù)去估計穩(wěn)定性函數(shù)的形式。因為投籃決策受到入框角度？琢和穩(wěn)定性兩方面影響，所以我們以P=tan？琢·W的形式設(shè)立目標(biāo)函數(shù)。通過優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)P，從而得出出手速度V與出手角度？茲的最優(yōu)解。

二、模型的建立與假設(shè)

1.數(shù)據(jù)

（1）標(biāo)準(zhǔn)籃球場：為了統(tǒng)一長度，本次建模與國際籃聯(lián)的主要正式比賽所規(guī)定的要求一致：如圖1所示：

（2）出手速度為V，籃球入框的角度為？琢，出手角度為？茲，出手點與籃筐的水平距離為x，出手點與籃筐豎直距離為h=1.75m，從出手到求落入籃筐的時間為t，重力加速度g取10m/s2。

2.合理假設(shè)

（1）忽略籃球在空中運動與空氣的摩擦、籃球與籃筐的摩擦等各種阻力的影響，并假設(shè)籃球在空中不旋轉(zhuǎn)，由此可以認為籃球在空中的軌跡為拋物線。

（2）忽略籃筐的面積和籃球的體積，將籃球、籃筐均看作為質(zhì)點。

3.目標(biāo)函數(shù)

籃球入框的角度越大，命中率越高。所以tan？琢越大則命中率越高。而從實際情況出發(fā)，出手速度越大，投籃的穩(wěn)定性也會隨之下降。因此我們構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，

P=tan？琢·W

其中？琢為入筐角度，W為出手動作的穩(wěn)定性。

我們首先對出手穩(wěn)定性函數(shù)進行估計。

在這里我們引入NBA頂級射手Curry的數(shù)據(jù)（如圖2）。從此圖中我們可以統(tǒng)計投籃命中率隨距離變化的情況，并用以估計穩(wěn)定性函數(shù)隨距離變化的趨勢。

作為當(dāng)今籃球界的頂級投籃高手，我們假定Curry的出手合理，動作規(guī)范，受防守影響較小，那么他的投籃命中率的變化趨勢可近似看作正比于投籃的穩(wěn)定性。

我們將投籃數(shù)據(jù)按照到籃筐的水平距離劃分為七個區(qū)域，并對這七個區(qū)域的投籃命中率進行統(tǒng)計，得到的數(shù)據(jù)如表1。

將投射點到籃筐的可統(tǒng)計距離等距劃分為7個區(qū)域，并通過命中點個數(shù)占總投射點個數(shù)的百分比，計算出每個區(qū)域的命中率

我們用反比例函數(shù)估計投籃命中率隨著距離變化的趨勢，得到如下的擬合結(jié)果：

其中橫軸為投籃出手點到籃筐的水平距離，縱軸為投籃命中率。藍色圓圈標(biāo)記為Curry的實際投籃命中率數(shù)據(jù)，綠色曲線為按照反比例函數(shù)估計的結(jié)果。

通過matlab平臺進行擬合，得到的函數(shù)表達式為：

命中率（x）=■+0.313

從圖3中可以看出，反比例函數(shù)很準(zhǔn)確的描述了前四個數(shù)據(jù)點的投籃命中率。然而在之后的數(shù)據(jù)點上偏差較大。在實際情況中，由于球員有可以針對三分線距離進行的投籃訓(xùn)練，以及防守隊員針對三分線區(qū)域的防守策略也有變化，故自然會導(dǎo)致在不同距離范圍上投籃命中率造成偏差。大體上我們可以認為反比例函數(shù)能夠較為準(zhǔn)確的描述投籃穩(wěn)定性的變化趨勢。

在我們的研究中，我們用V（x，k）=V0+k·x的模型來估計出手速度隨著距離的變化。其中V為出手速度，x為出手點到籃筐的水平距離。V0為在籃下投籃所需要的出手速度，根據(jù)物理豎直上拋運動相關(guān)知識，可得g，帶入數(shù)據(jù)h=1.75m，Vxt-■gt2=Vsin？茲t-■gt2=h得xtan？茲-■=h。k描述了出手速度隨著距離變化的劇烈程度。此模型表示出手速度隨著距離的增加而增加，符合實際的情況。我們可以假定，出手速度增加越快，投籃動作越不穩(wěn)定。故可以認為參數(shù)k越大，穩(wěn)定性越差。由距離與出手速度成二次函數(shù)關(guān)系，所以我們選擇k2的反比例函數(shù)的形式估計穩(wěn)定性函數(shù)：

W（k）=■

接下來需要對投籃的入筐角度？琢進行推導(dǎo)。我們忽略各種阻力的影響，并假設(shè)籃球在空中的軌跡為拋物線，將籃球、籃筐均看作為質(zhì)點。圖4為籃球投射軌跡圖像：

以出手點O為坐標(biāo)原點，以水平方向為橫軸，豎直方向為縱軸，建立平面直角坐標(biāo)系

我們規(guī)定出手速度為V

應(yīng)用物理的斜拋運動知識，我們將出手速度正交分解為豎直方向與水平方向：

（1） 豎直方向出手速度：

Vy=Vcos？茲

設(shè)出手點與籃筐的水平距離為x，出手到求落入籃筐的時間為t

對于豎直方向有：

?Vyt=Vcos？茲t=x

（2）水平方向出手速度：

Vx=Vsin？茲

設(shè)出手點與籃筐豎直距離為h，重力加速度為g，且假定g不隨高度變化而改變

對于水平方向有：

?Vxt-■gt2=Vsin？茲t-■gt2=h

整理（1）和（2）可以得到：

?xtan？茲-■=h

根據(jù)公式：sin2？茲+cos2？茲=1

我們又可以將其變形成為：

xtan？茲-■·■=h

xtan？茲-■tan2？茲-■=h

整理得：

?tan2？茲-■tan？茲+■+1=0

利用二次函數(shù)求根公式，可得

?tan？茲=■±■

接下來，我們?nèi)?gòu)建入框角度？琢的正切值與出手速度的關(guān)系，即可建立入框角度？琢與出手角度？茲的關(guān)系

籃球在空中的

豎直方向速度：

V'y=gt-Vsin？茲

因為我們忽略空氣阻力的影響，所以水平方向速度恒定：

V'x=Vx=Vcos？茲

籃球入框的角度實際上即為該點速度的方向與籃筐水平面的夾角：

所以，根據(jù)上文可得：tan？琢=■=■

通過上文（2），我們可tan？琢以推導(dǎo)出：gt=■

將其帶入表達式中，可得：

因為

所以：

4.數(shù)值模擬

本文中，我們用matlab平臺進行數(shù)值模擬。針對目標(biāo)函數(shù)，對每一個水平距離遍歷參數(shù)的取值，尋找最優(yōu)解。

例如當(dāng)距離籃筐的水平距離為時，得到圖5：

橫軸為參數(shù)k的取值，縱軸為目標(biāo)函數(shù)的取值。當(dāng)k=0.87時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值。

當(dāng)在某個距離位置x0時，取定了目標(biāo)函數(shù)的最大值所對應(yīng)的參數(shù)k=km，即可由此計算此時的最優(yōu)出手速度Vm和最優(yōu)出手角度tan？茲m：

Vm=V0+km·x0

由此得到的最優(yōu)解結(jié)果如表2。

表2表示通過數(shù)值模擬得出的到籃筐的不同水平距離，對應(yīng)的出手速度的最優(yōu)取值和最優(yōu)出手角度。

三、結(jié)論

本文通過設(shè)立出手速度函數(shù)V（x，k）=V0+k·x，以及通過數(shù)值模擬估計穩(wěn)定性函數(shù)，從而擬合出目標(biāo)函數(shù)P=T（x，k）·W（k）。經(jīng)過一系列推導(dǎo)，求得每個出手點都有所謂投籃的最優(yōu)解，并繪制的有參考價值的表格（表2）。球員可以在訓(xùn)練時參考表格中最優(yōu)解給出的出手速度和出手角度進行反復(fù)訓(xùn)練，可能會對提高投籃能力有所幫助。

但本文還存在一些可以優(yōu)化的環(huán)節(jié)。首先本文忽略了正常情況下必須要考慮的阻力的影響，并將籃筐和籃球質(zhì)點化，忽略籃球進入籃筐的位置對命中率的影響，這會使得數(shù)值模擬的結(jié)果與實際情況存在偏差。

此外，投籃穩(wěn)定性函數(shù)是一個極為復(fù)雜的函數(shù)，不僅僅是出手速度會對它造成影響，場上防守隊員的針對性防守，干擾，以及個人肌肉力量，身體素質(zhì)不同等諸多現(xiàn)實因素還會對穩(wěn)定性造成影響。本文所估計的W（k）=■只是一個較為理想化的函數(shù)。數(shù)值模擬的結(jié)果在距離較遠時，得出的出手速度略高于普通運動員常用的出手速度，這就是因為我們對穩(wěn)定性函數(shù)的估計尚不準(zhǔn)確。在后續(xù)的研究中，需要針對穩(wěn)定性函數(shù)加入更多影響因素，進一步將穩(wěn)定性函數(shù)的準(zhǔn)確性提升。

參考文獻：

[1].https：//zhidao.baidu.com/question/265750163750918005.html 籃球場標(biāo)準(zhǔn)尺寸.

[2].http：//blog.sina.com.cn/s/blog_403c36fe0102wh8d.html 關(guān)于庫里投籃的統(tǒng)計分析.

指導(dǎo)教師：王清禮（1986.7-）漢，山東省平度人，職稱：中學(xué)數(shù)學(xué)一級教師，學(xué)位：工學(xué)博士，專業(yè)：核科學(xué)與技術(shù)。