不同密度比球體入水空泡流體動力特性研究

李達欽，王國玉，張敏弟，黃 彪

(北京理工大學機械與車輛學院, 北京 100081)

0 引言

結構體入水運動涉及固、液、氣的三相耦合作用，是一個具有強瞬態和非定常運動特性的過程，伴隨著湍動、相變、可壓縮、介質突變等大量復雜的流動現象[1-3]。入水現象普遍存在，并在自然科學、工業生產及仿生技術等領域有著廣泛應用[4-8]。尤其是在航空航天領域，飛機的水上著落、飛船返回艙水上回收等正是利用入水空泡及自身結構的耦合作用實現航行和彈道穩定[9-12]，因此對入水空泡及其流體動力特性的研究具有很強的工程應用及科學研究意義。

近年來，國內外學者針對球體入水問題開展了大量研究。在實驗方面，Aristoff等[13-14]對不同密度比的疏水性球體入水空泡發展特性進行了實驗和理論研究，總結了空泡形態與韋伯數以及邦德數之間的關系，同時指出密度較小的球體有較大的速度衰減，空泡的夾斷深度比與傅汝德數無關。Shepard等[15]針對不同密度比球體在不同入水沖擊速度下的動力特性開展了研究，結果表明空泡夾斷前球體所受總流體力會產生波動，尤其準靜態空泡閉合瞬間受力波動最大。Truscott等[16-17]以球體為研究對象，針對入水濺射水冠和球體入水過程的非定常受力開展了實驗研究，結果表明水冠的發展受大氣壓強影響顯著，密度較小的親水球體受到阻力最大。隨計算機技術的發展，計算流體力學方法在處理入水問題方面得到了廣泛應用。Iranmanesh等[18]、Mirzaii等[19]基于VOF(Volume of Fluid)方法和不可壓縮流假設建立了一種運動體入水數值計算方法，應用該方法計算的不同密度球體入水空泡和軌跡均與實驗擬合較好，并進一步將方法應用于圓柱入水計算，討論了圓柱密度比、幾何參數及入水沖擊速度對入水軌跡的影響規律。Abraham[20]運用VOF多相流模型并耦合SST(Shear Stress Transport)湍流模型數值模擬了球體垂直入水初期階段自由液面發展過程以及阻力特性，對比了不同入水速度、球體密度等參數，結果表明入水初期運動體阻力主要來源于入水物體與周圍流域的動量轉換。Ding等[21]通過數值模擬研究了球體及柱體垂直入過程產生的入水空泡，并實現了移動接觸線的計算，結果表明接觸線釘扎現象對隨后入水空泡發展過程有顯著影響。張偉偉[22]采用多物質ALE(Arbitrary Lagrangian-Eulerian)仿真方法，對球體入水時引發的水花、空泡及其所受沖擊力等內容進行了系統的研究。通過與實驗、理論數據對比，證明了多物質ALE 方法不僅可以再現結構入水的復雜過程， 還能較好地反映密度、沖擊速度及表面親水性等因素的影響。

目前國內外針對不同密度比航行體入水問題已有一些研究，但針對跨介質時的濺射水冠發展規律、入水空泡形態隨球體密度比變化的詳細分類以及水下流體動力特性的研究還需要進一步探索。本文基于實驗與數值模擬相結合的方法，開展了不同密度比球體垂直入水研究,獲得并分析了球體密度對垂直入水空泡形態、濺射水冠及水下流體動力特性的影響規律。

1 實驗系統及方法介紹

基于高速攝像法建立的實驗系統如圖1所示。系統分為圖像采集部、水箱以及發射部3部分。

圖1 實驗系統示意圖Fig.1 Schematic of the experimental system

圖像采集部由計算機、高速攝像機及光源組成。計算機負責儲存和驅動Phantom V7.3高速攝像機對球體入水過程進行拍攝, 拍攝幀率為2000fps。同時實驗設計了一套同步采集系統，在計算機端控制發射裝置，可實現球體釋放落水與攝像機采集的同步。實驗中采用一組4×500W 的點陣光源通過柔光屏散射后照射水域, 并將兩盞1000W 鏑燈布置在水槽的左右兩側作為補充光源來達到良好的照明效果。實驗水箱的尺寸為0.8m×0.8m×1m，四面及底面均為10mm厚的有機玻璃，底層鋪有厚度為10mm的橡膠墊，以防球體與水箱底部撞擊損傷底部玻璃。發射部由水箱外釋放及支撐裝置組成。為保證實驗的可重復性和降低初始擾動，支撐裝置采用可調節高度的型材支架，可實現球體從不同固定高度自由釋放。釋放裝置固定在支架的水平支桿上并位于水箱中心正上方垂直于水面，裝置采用內徑27mm、高50mm的圓柱導軌，導軌內部設置有電磁鐵控制的卡頭，斷電時卡頭承接住球體，通電時卡頭收回，球體便沿垂直方向自由下落。

實驗采用5種不同材料的球體，密度比分別為m*=ρs/ρ=7.86、2.54、1.14 、0.94和 0.53(對應軸承鋼、玻璃、兩種不同類型樹脂橡膠、輕質木材)，其中ρs為球體密度，ρ=998.2kg/m3為水的密度。實驗球體直徑D0均為25mm, 表面都涂有SY-Super coat-SHFC3150疏水性涂層，表面接觸角θ均為150±0.5°，涂層所增加的球體厚度和質量可以忽略不計，除球體密度外實驗球體其他參數相同，具體實驗參數如表1所示。

2 數值計算方法介紹

2.1 控制方程

本文基于均相流模型，假定氣液兩相為均相流動，且相間無速度滑移，采用有限體積法求解Navier-Stokes方程[23]。低傅汝德數入水過程中無空化現象發生，考慮空泡閉合時內部高壓可能會引起壓縮效應，因此將空氣相選為理想氣體。控制方程包括連續性方程、動量方程及能量方程。分別為

(1)

(2)

(3)

式中，下標i和j分別代表坐標方向，ρm為混合介質密度，u為來流速度，p為流場壓力，μm′為混合介質的動力黏性系數，μt為湍流黏性系數，κeff為有效傳熱系數，T為流體溫度。根據均質平衡流模型假設，混合介質密度ρm和湍流黏性系數μm分別定義為

ρm=ρlαl+ρgαg

(4)

μm=μlαl+μgαg

(5)

本文采用VOF方法對水汽兩相界面進行捕捉[23]；采用CSF(Continuum Surface Force)模型考慮接觸角影響[24]；湍流模型選擇SSTk-ω模型，該模型對強剪切流的計算上具有更高的精度和可靠性。

2.2 網格及邊界條件

本文選取二維軸對稱模型模擬不同密度小球垂直入水過程。圖2展示了計算流域、網格及邊界條件，其中球體直徑D0=25mm與實驗參數一致。在自由界面建立坐標系如圖2所示，原點位于水面處，z軸正方向與重力加速度g方向相反。流域內采用全結構化網格，對于球體周圍以及流經路徑著重加密，確保y+=yuτ/vl≈1，流域內網格節點數約為25萬。計算時間步長選定為Δt=1.00×10-7s，平均庫朗數CFL=U∞Δt/Δx≈0.01。對球體垂直入水計算應用的動網格技術為動態鋪層方式。利用6DOF求解器獲得球體位置參數，并實現網格和數據實時更新，同時監測球體受力以及速度，為流體動力特性分析提供數據基礎。

圖2 網格及邊界條件示意圖Fig.2 Mesh for the whole domain and boundary conditions

2.3 數值方法驗證

為了研究不同球體密度比對入水空泡、濺射水冠以及動力特性的影響，本文開展了不同密度比球體垂直入水實驗和數值模擬計算。針對密度比m*=7.86，入水沖擊速度U0=5.40m/s(Fr=U0/(gD0)0.5=10.9)的實驗工況開展數值方法驗證研究。圖3展示了數值計算球體無量綱入水深度Z/D0隨時間變化結果與實驗結果的對比，以球體底部剛接觸到水面的時刻為t=0ms時刻，用球心坐標表征球體位置。可以觀察到總體上數值結果與實驗結果吻合較好，尤其在40ms之前，數值結果與實驗結果幾乎一致，隨著時間發展，數值結果略低于實驗結果，平均誤差在5%以內。圖3中同樣展示了典型時刻數值與實驗入水空泡形態的對比，可觀察到相同入水時刻空泡徑向與軸向尺度均與實驗結果擬合較好。由此可知，本文建立的數值模擬方法能夠有效預測不同密度比球體垂直入水軌跡及空泡形態，證明了本文建立的數值模擬方法的準確性與可行性。

圖3 數值計算入水軌跡與實驗結果對比Fig.3 Comparison of sphere depth vs. time for the impact sequences of numerical results and experimental results

3 結果與討論

3.1 不同密度比球體入水空泡及濺射水冠的發展規律

基于以上確立的數值計算方法，并結合實驗結果，開展濺射水冠及入水空泡研究。通過處理實驗拍攝的相鄰入水圖像，可以獲得入水沖擊速度。球體釋放高度H對應入水沖擊速度U0的范圍為(0.7～7.0±0.1)m/s。所有實驗工況均展示于圖6，并選取3個典型密度比球體(m*=7.86、1.14和0.53)在4種入水沖擊速度U0=0.7m/s、2.18m/s、5.40m/s和6.25m/s(Fr=1.4、4.4、10.9和12.6)工況下的入水空泡及濺射水冠進行對比，如圖4所示。根據Duez理論[7]可知，表面接觸角θ=150°的條件下形成入水空泡的臨界速度U*=0.26m/s。理論預測結果與實驗現象相符，實驗設計速度均大于臨界值并產生入水空泡。

(a)Fr=1.4, t= 55.0ms

(b)Fr=4.4, t= 63.0ms

(c)Fr=10.9, t= 59.5ms

(d)Fr=12.6, t= 57.5ms圖4 不同密度比球體入水形態對比Fig.4 Comparison of cavity shape for water entry of spheres with different density ratio

圖4的每組對比中，各球體入水圖像所取的入水時刻相同。在入水空泡方面，總體上看密度越大的球體在相同入水速度下獲得更大的動能，所以相同時刻會獲得更大的入水深度。當Fr=1.4時，密度比小于1的輕質球(m*=0.53)會迅速上漂，其他兩種密度球體隨著下落，三相接觸點迅速上移至球頂端，連接水面與球體的空泡逐漸形成半月牙狀，此時重力和表面張力的平衡作用占主導地位，這種空泡形態稱為準靜態入水空泡。隨著Fr增至4.4，輕質球(m*=0.53)依然處于準靜態空泡階段，而其他兩種密度球體隨著入水深度增加，入水空泡不斷拉長，入水空泡逐漸向中心軸線收縮，到后期完整的入水空泡發生夾斷形成上下兩部分空泡，此刻的空泡狀態稱之為深閉合空泡，并且伴隨出現向上向下的兩股液態射流(圖5(a))。當Fr繼續從10.9增大到12.6時，密度最大的軸承鋼球入水空泡尾部脫離自由液面，并且在自由液面處發生了閉合，此刻的空泡狀態稱之為面閉合空泡。閉合后脫離水面的空泡隨著球體下落繼續拉長，但面閉合位置出的空泡壁面在水靜壓作用下失穩，并產生垂直向下的水射流，水射流進入并撞擊空泡后使得原本光滑的空泡壁面出現斑紋和擾動。同時隨著球體入水深度增加，入水空泡出現明顯的收縮趨勢，并產生深閉合(圖5(b))。與此同時輕質球依然處于準靜態空泡階段，樹脂球依然處于深閉合空泡階段。說明各流形之間的臨界速度隨著球體密度的增加而減小。

(a)Fr=4.4 (b)Fr=10.9圖5 入水空泡深閉合圖像，m*=7.86Fig.5 The images for deep seal, m*=7.86

在本實驗的設計速度區間，對比所有實驗結果可得到入水空泡形態之間的臨界傅汝德數與球體密度的關系圖，如圖6所示。進一步將空泡形態分為準靜態入水空泡、深閉合優先入水空泡、水冠閉合優先的深閉合入水空泡以及面閉合空泡，分別對應圖6中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ區域中所表征的類型。觀察到密度小于水的球體在實驗速度范圍內時只能產生準靜態空泡并無夾斷生成，而密度大于水的球體則經歷更為復雜的空泡形態，隨著密度的增加，各空泡形態之間的臨界速度降低同時降低速率減緩。由此可以推測，當球體密度持續加大，各空泡形態的臨界速度會趨于穩定值。

圖6 入水空泡形態的臨界傅汝德數與球體密度比的關系Fig.6 Critical Froude number for cavity shape versus density ratio

針對水下空泡的深閉合與面閉合現象進行進一步分析，以Fr=10.9的鋼球入水工況為例，圖7(a)展示了空泡面閉合、空泡收縮以及空泡深閉合時的流場結構，圖7(b)展示了對應的各個時刻沿軸線相對壓力分布，參考壓強為101325Pa。可以觀察到，由于射流及水靜壓等因素的耦合作用，入水空泡內部出現大量多尺度漩渦結構，泡內出現高速氣流和低壓區，更進一步加劇了空泡的收縮。此外，空泡面閉合和夾斷后會在閉合位置產生局部閉合高壓，壓力值遠大于對應位置水靜壓，高壓與射流促進了空泡的潰滅。

t=39.8ms t=50.3ms t=75.0ms(a)鋼球入水流場結構云圖，Fr=10.9

(b)沿軸線壓力分布圖，Fr=10.9圖7 球體入水流場結構及壓力分布Fig.7 The flow structures and preesure distribution for the impact of sphere

在濺射水冠方面，從圖5實驗結果中觀察到入水傅汝德數較低(圖4(a))時，各球體均未產生濺射水冠。當入水沖擊速度還不足夠大時(圖4(b))，并不會發生水冠閉合現象,而是一邊向中心收縮一邊下落至水面，因此在空泡夾斷前整個過程入水空泡始終與大氣連通，這種空泡形態稱為深閉合優先入水空泡。隨著傅汝德數增加，水冠軸向徑向增長迅速，在液面上方會發生碰撞閉合形成封閉圓頂(圖4(c)和(d))，這種水冠閉合現象稱之為早期表面閉合[16]，對應的入水空泡形態包括水冠閉合優先的深閉合入水空泡以及面閉合空泡兩種。早期表面閉合伴隨形成上下兩股水射流，此時空泡內氣體不再與外界大氣壓相連，向下的液體射流進入并撞擊空泡壁面，造成原本一直光滑的空泡壁面發生擾動，會進一步加劇空泡壁面的不穩定。以鋼球5.40m/s(Fr=10.9)入水工況為例，圖8展示了其產生的濺射水冠發展過程，經歷了初始濺射階段、水冠成型與生長階段以及水冠閉合與潰滅階段。圖9展示了對應的過程中幾個典型時刻的數值計算結果，主要關注跨水界面區域的速度矢量和壓強分布。可以觀察到，當球體以較高速度沖擊自由液面時，會與液面進行強烈的動量交換，進而形成飛濺，飛濺形成的水膜與球體發生分離，繼續向四周擴散形成水冠。隨著球體入水深度增加遠離自由液面，球體對水冠向上生長影響逐漸減小，空氣不斷高速流入空泡并在水冠內部形成渦團結構，同時產生低壓區。水冠在內外壓差的作用下向中心軸線收縮，最終形成水冠閉合。

圖8 球體入水水冠形態，m*=7.86，Fr=10.9Fig.8 The evolution of splash formation created by the impact of the steel sphere at m*=7.86, Fr=10.9

入水過程中會在球身某處形成固-液-氣三相接觸線，線上任意一點為三相接觸點。圖10定義了入水過程中三相接觸點相對于球底的位置距離Hc。以前文中3種密度球體以Fr=10.9入水工況為例，圖11展示了實驗與數值計算中三相接觸點垂直位置隨著入水時間的變化。

圖9 入水水冠發展典型時刻下的數值流場結構Fig.9 The numerical flow structure at some typical moments during the splash evolution

圖10 三相接觸點示意圖Fig.10 Schematic illustration of the definition of triple line contact point

圖11 三相接觸點位置隨時間變化圖Fig.11 The history position of the triple line vs. time

接觸點垂直位置用球體直徑進行了無量綱處理，可以觀察到數值結果與實驗測量結果擬合較好。入水初期階段各密度球體的接觸點運動趨勢近乎一致，均快速上升并隨著球體入水深度增加最終穩定在約Hc/D0=0.35的位置，此時對應的是球體帶空泡穩定下落階段。這種穩定狀態在約t=60ms時發生變化，輕質球體的接觸點迅速上移并閉合在球頂，而其他密度球體的接觸點仍然維持固定高度。此時對應輕質球體速度衰減劇烈不能給予附著空泡更多的動能克服水靜壓，接觸點迅速上移至球頂部，附著的空泡形成準靜態后迅速在球體頂部極點處閉合并脫離球體。同時其他密度大于水的球體所附著的空泡在發生深閉合后依然有一部分空泡持續附著，直至最終脫落。

3.2 不同密度比球體入水流體動力特性分析

(6)

圖12 不同密度比球體入水軌跡實驗結果，Fr=10.9Fig.12 The sphere depth vs. time for the impact sequences of experimental results at Fr=10.9

(7)

(8)

(a)不同密度比球體流體動力系數隨時間變化對比圖，Fr=10.9

(b)不同密度比球體入水空泡夾斷時流場結構，Fr=10.9圖13 不同密度比球體流體動力系數對比及空泡夾斷時流場結構Fig.13 Effect of sphere density ratio on hydrodynamic force coefficient upon impact and the flow structures when cavity pinches off

圖13(a)展示了實驗與數值不同密度比球體流體動力系數隨時間變化對比結果，選取工況與圖11相同，選取時間區間為1.5ms～75ms。此階段內所有球體發生空泡夾斷。總體上數值結果與實驗結果吻合較好，尤其是對空泡夾斷時流體動力系數陡增現象的捕捉。可以觀察到入水初期各密度比入水球體的流體動力系數均呈現緩慢上升趨勢，并且大小都比較接近，密度越大的球體所產生的受力系數略大一些。但很快隨著時間的發展，密度越小的球減速越明顯，造成對應的受力系數值以及增長的趨勢都明顯加大，尤其在空泡夾斷和潰滅階段，輕質球受力系數受到波動而陡增，橡膠球的也有明顯的增加，而鋼球由于重力較大整個過程受力系數的波動不明顯，這種波動極其短暫，受力系數隨著時間推進很快又趨于平穩。為進一步分析，結合圖7(a)與圖13(b)給出的其他兩種密度球體入水空泡夾斷時的流場結構云圖可知，對于輕質球，空泡閉合在球的頂端并產生瞬間的閉合高壓，同時由于完全沾濕而大大減小了所受的浮力與附加質量力，兩者共同作用給了球體一個瞬間較大的推動作用。對于橡膠球和鋼球，空泡夾斷后球體攜帶的空泡體積快速減小，導致內部壓強增大，因此也會對球體帶來瞬間的推動。隨著球體相對密度的增加，一方面夾斷后球體所攜帶的空泡體積越來越大，內部壓力變化相對更緩慢；另一方面自身的慣性也越來越大，抵抗空泡夾斷所帶來的擾動的能力也越來越強，因此波動也越發微弱。

圖14給出了實驗中密度比與傅汝德數對入水球體時均流體動力系數的影響，Fr區間為4.4～14.1，力的系數取t=0ms時刻到夾斷前的平均值。可以觀察到，時均流體動力系數對球體密度比敏感而受入水沖擊速度影響較小。同一密度球體，隨著入水速度增加，受力系數均呈現微弱的減小趨勢。而相同入水速度下，密度越小的球體平均受力系數則顯著增大。

圖14 密度比與傅汝德數對時均流體動力系數的影響Fig.14 Effect of sphere density ratio and impact velocity on time-average hydrodynamic force coefficient to pinch-off

4 結論

本文采用實驗與數值模擬相結合的方法開展了不同密度比的疏水性球體垂直入水研究，獲得并分析了入水速度和球體密度對空泡形態、濺射水冠以及球體下落過程中流體動力特性的影響規律。主要結論如下：

1)隨著入水沖擊速度的增加，球體動能加大，入水空泡尺度增大并從準靜態閉合空泡逐漸發展為深閉合及面閉合空泡，并且各狀態的臨界速度隨著密度比的增加而減小。此外，空泡夾斷后會形成閉合高壓以及上下兩股高速射流，射流的進一步運動加速了水面及球體附近空泡的潰滅。

2)較高的入水沖擊速度會產生較強的濺射水冠。對于密度小于水的球體，球體表面固-液-氣的三相接觸線會在準靜態空泡閉合時于球頂閉合，而密度大于水的球體接觸線位置在空泡夾斷前幾乎無變化，穩定在距離球底0.35D0的位置。

3)球體帶空泡航行階段的時均流體動力系數隨密度比的增加而減小，而隨入水沖擊速度的變化較小，同時空泡夾斷會造成流體動力較大波動。