基于差分復合網格的MSK非相干解調算法

田文飚，王鵬，芮國勝，張洋

（海軍航空大學信號與信息處理山東省重點實驗室，山東 煙臺 264001）

1 引言

最小頻移鍵控（MSK，minimum shift keying）信號包括恒定、相位連續、帶寬占用小，具有良好的頻譜特性[1]，在對潛、深空等遠程通信領域應用廣泛。

MSK解調有相干解調和非相干解調兩種方案，相干解調性能較優，但需要精確的載波頻率和初始相位；非相干解調性能相對略差，對接收信號的初始相位不敏感，但載波頻率未知（非合作通信）或存在多普勒頻偏時，解調性能很差。因此在載波恢復困難和載波頻率跳動等不適用鎖相環的情況下，亟需研究一種性能優良、抗多普勒頻偏的解調算法。Yang等[2]和Alexis[3]分別討論了MSK信號的定時和載波相位的聯合估計以及聯合符號與碼片同步，解決了α-穩態分布噪聲下以及超再生式MSK接收機中的同步問題，用復雜度換取了性能，取得了較好的結果。Simon等[4]研究了MSK信號的1符號和2符號差分解調算法，利用前后兩個碼元的相位差信息進行解調，避免了多普勒頻偏引起的相位累積誤差。孫錦華等[5]基于差分 Viterbi檢測[6-7]思想，利用簡化狀態網格進行差分解調，在不導致性能明顯下降的基礎上，降低了系統的復雜度，但在多普勒頻偏條件下的性能有待提高。喬植等[8]提出了基于多符號差分相干解調的方法，與單符號差分解調相比，抗多普勒頻偏的范圍有所增大，但仍有較大地提升空間。Denis等[9]提出了一種不需要數據輔助的MSK類信號盲同步算法，對信號的位定時和頻率聯合恢復，但是該算法在低信噪比以及大頻偏條件下的性能還有待提高。Huff[10]首次提出了的復合網格技術，周家喜將其應用到CPM 信號解調上來，在多普勒頻偏引起的相位誤差為 1 0-3rad數量級時算法性能接近非相干解調理論限[11]，但隨著多普勒頻率增大性能迅速下降。

為了提高MSK解調抗多普勒頻率偏移的范圍，提出了一種MSK差分復合網格解調算法。利用相位偏轉構建出差分復合網格，提出MSK差分復合網格的解調方案，擴展了MSK解調抗多普勒頻偏的范圍，且在復雜度和判決延時上優于同類算法，略高于1符號差分算法對應值。仿真結果表明，算法性能在多普勒頻偏引起的相位誤差為 1 0-1rad數量級的情況下仍能接近MSK非相干解調誤碼率的理論下界。

2 MSK的差分復合網格解調算法

2.1 構造MSK差分復合網格

MSK可以看作調制指數為0.5的連續相位移頻鍵控信號（CPFSK），其復數形式的表達式[12]為

其中，uk=±1為(k- 1 )T～kT時間內的碼元符號，T是碼元寬度，kΦ是該碼元的初始相位，滿足

MSK差分解調的信息主要存在于前后兩種碼元的相位差信息中，將式(1)前后碼元進行差分運算，同時利用式(2)，得到差分相位為

文獻[13]給出了相位比較法差分解調的原理，如圖1所示。

低通濾波濾除載波分量后的信號表達式為

由式(4)可得MSK差分的4條路徑為

記作S={S1,S2,S3,S4}。將基本路徑相位旋轉Δθ ，得到的復合網格，可以表示為

設x取值有M種，則系統路徑有4×M條。如M= 3 、x= 0 ,±1，MSK差分解調復合網格如圖 2所示。

圖1 相位比較法差分解調的原理

圖2 MSK差分解調復合網格

2.2 MSK差分復合網格解調算法

不妨令接收機采樣時刻t= (k+ 1 )T，則式(4)可以寫為

由式(6)可知 MSK差分僅存兩條基本路徑為

2條路徑似然函數值為

由式(7)可以得到如下判決

其中，為可能傳輸的序列，Six(t,)是傳輸序列對應的路徑。實際接收機只能觀測到有限區間的信號，設觀測區間的碼元數目為N，每個碼元周期內采樣點數目為1，則接收機總的似然函數值為

復合網格差分解調算法就是選取所觀察的N個碼元內最大似然函數值對應的序列作為解調符號直接輸出，簡化方案步驟如下。

輸入接收信號r(t)，M，Δθ

輸出觀察區間內解調結果

步驟1初始賦值。lk=0) = 0 ，x=0，j=0。

步驟2構造網格。依據S=SejxΔθ，i=1,2，

ixi代表向下取整，構造復合網格。

步驟3局部判決。利用式(7)和判決準則式(8)得到序列的第j組判決，即x=±j時的判決結果。

步驟 4算似然值。根據公式(10)求得N個觀察區間內第j組判決對應接收機似然函數值后，令j=j+1。

步驟 5循環判決。若則停止循環，進入步驟6，否則重復步驟3和步驟4。

步驟 6輸出結果。比較每條路徑l(α)似然函數值大小，選取最小值對應的判決結果，即為N個觀察區間內解調出的碼元序列。

3 算法性能及復雜度分析

3.1 算法性能分析

定理1假設信道噪聲是加性高斯白噪聲，信噪比為r，濾波器的特性是理想的，MSK信號按照準則式(8)進行1符號差分判決，則系統的解調誤碼率為

證明輸入MSK信號中加入高斯噪聲，并進行歸一化處理得到

可得

由于x1，x2，y1，y2均是高斯分布，前后碼元的高斯噪聲相互獨立，由此可得a和b的概率密度函數為

其中，I0為零階貝塞爾函數，不考慮多普勒頻率偏移，信源碼元為±1的概率相等，由此求得系統總的誤碼率[15]為

定理2MSK差分復合路徑解調中，信道噪聲是加性高斯白噪聲，信噪比為r，若相位偏轉角度Δθ≤0.06π ，x=0,±1，…，存在xΔθ＞ Δθe，觀察數N→∞，此時解調性能為

證明由于差分解調算法根據前后碼元的相位差信息進行解調，因此信號的初始相位對解調沒有影響，而且多普勒頻偏造成的相位干擾不積累，考慮到多普勒頻率偏移，式(6)可改寫為

式(19)與復合網格中的某條路徑相乘可得

復合網格中相位旋轉xΔθ對多普勒頻率偏移引起的相位誤差Δθe起到了補償作用，若存在xΔθ ≥ Δθe，復合網格中存在某條路徑的相位偏轉大于多普勒頻移引起的相位誤差；當 Δ θ ≤ 0 .06π ，此時接收到的信號經過復合網格中某條路徑的相位補償后其相位誤差必定小于0.03π，即存在x使

胡穗延等[13]已證明在實際的差分解調系統中，若前后碼元相位差存在抖動或干擾Δθe，當Δθe≤ 0 .03π ，此時誤碼率曲線與 Δ θe= 0 的曲線幾乎重合，系統的誤碼率不受Δθe影響。因此存在x，使|Δ θe+xΔθ |≤ 0 .03π 時，對應路徑的差分解調性能不受多普勒頻偏的影響。

該路徑的相位偏轉補償了多普勒頻偏引起的相位誤差，與多普勒頻偏信號最為契合，解調性能最優，此時該路徑下的接收信號的似然函數值最大，通過似然函數值的比較即可將該條路徑選取出來，觀察數N的值越大，系統通過比較似然函數值選擇復雜網格中的路徑越準確，系統的解調性能越優[16-17]；同時觀察數N越大，系統解調碼元所需的時間越長，系統解調的延時越大。當觀察數N→∞，復合網格的差分解調性能近似等于沒有頻率偏移時的解調性能P= 0 .5e-r。

推論 1若接收機每個碼元周期內采樣點數目為1，則

3.2 算法復雜度分析

差分復合網格解調算法通過增加 MSK差分解調路徑實現了對多普勒頻偏下信號的有效檢測，增加的復雜度取決于增加的路徑。已知基本路徑是2條，每個碼元周期內采樣點數目為1，設需要判決的碼元數目為PN，可得通過基本路徑解調需要的計算量為O(PN)。經過相位偏轉后形成的復合網格路徑數目為2M，根據2.2節差分復合網格解調步驟可得該方案需要的計算量為O(PNM)。差分復合路徑解調算法通過額外的路徑運算，提高了一定的復雜度，以換取多普勒頻率偏移條件下解調性能的提高。

4 仿真實驗

4.1 抗多普勒頻偏性能仿真

文獻[11]將非相干解調的基本網格圖和相位旋轉網格結合，實現了對信號初始相位和頻率偏移的有效跟蹤，算法性能接近相干解調，是現有抗多普勒頻移最優的算法之一。因此，本文選擇在多普勒頻偏較大時與其進行對比。仿真實驗中，碼元數目PN= 1 06，觀察數N=PN， Δθ = 0 .06π ，M=5，即x= 0 ,±1 ,±2。在不同多普勒頻偏條件下進行解調仿真，多普勒頻偏引起的相位誤差fT由 0.03遞增至0.09，步長為0.03，利用Matlab仿真計算文獻[11]、1符號差分相干解調和本文算法在加性高斯信道下的誤碼率，同時將MSK相干、非相干解調理論限繪制出來作為參考線。

如圖3所示，相比之下，fT= 0 .09時，1符號差分相干解調算法會出現2 dB左右的性能下降，而采用文獻[11]的算法在fT= 0 .03時就已基本失去解調的能力，常規相干解調在相對頻偏大于 1 0-4量級時也將失效。此時，即在多普勒頻偏引起的相位誤差Δθe= 2 πfT為 1 0-1rad數量級時，本文算法仍保持較好的解調性能?？傮w上看，本文所述基于差分復合網格的 MSK非相干解調算法誤碼率性能優于文獻[11]算法和1符號差分相干解調方法。隨著相位誤差fT的增大，3種算法性能都出現下降。本文解調算法性能接近MSK非相干解調理論限，具有較好的抗頻偏性能，這是因為實驗中選取的M為5，算法構造的復合路徑能夠較好地補償接收信號中的頻偏，同時也印證了定理2的證明過程。下面則通過改變參數M的取值，分析復合路徑數將對解調性能產生的影響。

圖3 算法抗多普勒頻偏的性能

4.2 復合網格路徑數的影響

為了考察復合網格路徑數對解調性能的影響，令多普勒頻偏引起的相位誤差fT=0.11，碼元數目PN= 1 06，觀察數N=PN， Δθ = 0 .06π ，分別取M= 1 ,3,5,7,9，利用Matlab仿真本文算法和1符號差分相干解調算法在加性高斯信道下的誤碼率，同時將MSK相干、非相干解調理論限繪制出來作為參考線。結果如圖4所示，隨著M的增大，本文算法的性能逐漸提升，直至M=9時，算法解調性能接近非相干解調理論限。復合網格的相位偏移為xΔθ，x=0,±1,±2，…，M是x的取值數目，M越大復合網格的路徑數目越多，所構造的復合網格能覆蓋的總相位偏移范圍越大。

當M=3時，所構造的復合路徑能覆蓋的最大相移為不足以覆蓋接收信號的多普勒頻偏造成的相移2πfT= 0 .22π，因此，算法性能退化至與1符號差分相干解調一致。而當M=9時，所構造的復合路徑能覆蓋的最大相移為xΔθmax= 0 .24π，顯然，大于接收信號的多普勒頻偏造成的相移0.22π ，且|xΔθ - 2πfT|＜ 0 .03π，依據定理 2，此時，本文算法能夠達到非相干解調理論限，仿真結果與理論預期吻合。當然，如果進一步增大M，性能將受限于非相干解調理論限，且由4.4節實驗知道，復雜度和M成正比，所以實際應用中需要權衡每條路徑的Δθ參數和M的選取以滿足定理2的要求。

圖4 復雜網格路徑數的影響

4.3 觀測區間的影響

為了考察觀測區間長度對解調性能的影響，令多普勒頻偏引起的相位誤差fT=0.1，Δθ = 0 .06π，M= 9 ，即x= 0 ,± 1 ,±2 ,±3 ,±4，碼元數目為PN= 1 06，觀測區間分別取N= 1 ,5,10,20,50,106，利用Matlab仿真本文算法和 1符號差分相干解調算法在加性高斯信道下的誤碼率，同時將MSK相干、非相干解調理論限繪制出來作為參考線。結果如圖 5所示，相同信噪比條件下，隨著觀察區間N越大，本文算法解調誤碼率呈現降低的趨勢，當N≥20時，解調性能接近非相干解調理論限。從整體上看，本文算法性能優于1符號差分相干解調算法，但是觀察數N越大，系統解調碼元所需的時間越長，系統解調的延時越大，因此需要權衡算法的解調性能和延時，因此可取N=20。

4.4 復雜度分析

為了考察算法的時間復雜度，利用Matlab仿真環境實現本文算法、傳統相干解調、1符號差分相干解調和文獻[11]算法，統計解調消耗的時間。

碼元總數PN設置為510，本文算法與文獻[11]算法的相位偏轉數目M分別設置為從1至9遞增，觀測區間取N=20，進行1 000次蒙特卡洛解調實驗，求取各自平均值。傳統相干解調、1符號差分相干解調耗時作為參照，由于復雜度與M無關，因此在圖6中呈現水平線的趨勢。

圖5 觀測區間的影響

圖6 各算法運算時間比較

由圖6可見，當M=1時本文算法解調時間近似等于1符號差分解調算法的解調時間，隨著相位偏轉數目M的增大，仿真實驗的解調時間呈線性增大的趨勢。但本文算法解調時間遠小于文獻[11]的所用時間，這是因為本文算法需要的采樣率遠低于文獻[11]采樣率，且本文算法的路徑數目為2M，文獻[11]MSK解調算法的路徑總數為16M。由此可得本文算法在復雜度和判決時間上優于同類算法，略高于1符號差分算法對應值。

5 結束語

提出了一種基于差分復合網格的MSK解調方案，在多普勒頻偏引起的相位誤差為 1 0-1rad數量級的情況下仍能接近MSK非相干解調誤碼率的理論限，且在復雜度和判決時間上優于同類算法，略高于1符號差分算法對應值，對于解調時載波恢復困難等情況或盲解調具有實用意義。本文僅是針對MSK信號的復合網格差分解調，下一步可以將復合網格差分解調算的法擴展到 CPM 等信號解調上，進一步增強算法的適用性。