用高中知識正確理解開普勒第二定律

2019-02-10 05:51:48林棉璇

物理教師 2019年12期

林棉璇

(廣寧縣廣寧中學,肇慶廣寧 526300)

在高考考試大綱里,萬有引力定律及其應用屬于二級要求,但是考綱并沒有明確開普勒第二定律屬于哪一級要求.統計以往高考出卷情況,幾乎沒有涉及開普勒第二定律的考查,而在平常測試中,開普勒第二定律的最大應用就是比較行星在遠日點和近日點的速度大小.按照以往的教學經驗,很多教師是直接將開普勒第二定律告訴學生,導致很多學生對此不夠重視,不能準確把握開普勒第二定律.受教學深度的限制,學生不能準確理解開普勒第二定律情有可原,但市面上一些教輔資料出現對開普勒第二定律的錯誤理解和拓展,是誤人子弟的大過錯.

粵教版高中物理必修2對開普勒第二定律的描述是:“行星和太陽之間的連線,在相等的時間內掃過相同的面積”;人教版高中物理必修2的描述是:“對任意一個行星來說,它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積”.比較而言,人教版的描述比粵教版的更明確更到位,而教輔資料對開普勒第二定律的常見錯誤解讀是,[1]認為不同行星與太陽的連線在相同的時間內掃過的面積都是相等的,如圖1所示.由此可見,正確理解開普勒第二定律關鍵在于明確面積是由同一顆行星還是不同行星掃出來的.筆者掌握的文獻資料[2]-[4],都是根據角動量守恒、微積分、叉乘等大學知識來推導開普勒第二定律,推導過程即使詳盡,推導方法卻不適用于高中生,本文避開大學知識,完全利用高中知識,先論證同一顆行星與太陽的連線掃出來的面積關系,再論證不同行星與太陽的連線掃出來的面積關系,從面積關系入手,深入分析開普勒第二定律,以期大家能正確理解開普勒第二定律.

圖2

太陽系中的兩顆行星(例如地球和海王星)的運動近似看作勻速圓周運動，它們的軌道半徑分別為R1和R2，如圖2所示.由開普勒第二定律可知，在相同的時間內，地球與太陽的連線掃過的面積S1跟海王星與太陽掃過的面積S2相等，即S1=S2.

圖1

1 同一行星與太陽的連線掃過的面積關系

圖2

如圖2所示,t時刻行星與太陽的連線為r(t),經Δt時間,行星與太陽的連線為r(t+Δt),行星走過的軌跡為曲邊Δr=vΔt.t時刻行星速度v與r(t)的夾角為α,當Δt→0,曲邊Δr近似為與v共線的直邊,則曲邊三角形的面積為

(1)

圖3

初中學過杠桿定理,接觸過力臂和力矩的概念.如圖3所示,繞定點O轉動的點A所受的力為F,力臂為定點O到力F的垂直距離d=rsinφ,則力矩

M=Fd=Frsinφ.

(2)

整理(2)式,

M=r·Fsinφ=rFy.

(3)

根據牛頓第二定律(或者動量定理),

(4)

聯立(3)(4)式

(5)

記ΔL=rmΔvsinα,即L=rmvsinα，則

(6)

根據(5)式,力矩M可以理解為物理量L對時間t的導數,即力矩M等于物理量L的變化率.事實上,物理量L被命名為角動量.

L=rmvsinα=C(C為常數).

(7)

聯立(1)(7)式

(8)

在以上證明過程中,將太陽換成地球,將行星換成繞地球旋轉的衛星,同理可得,在相等Δt時間內,地球與同一衛星的連線掃過的面積ΔS相等.太陽相對于環繞其運動的行星而言,叫做中心天體,而環繞太陽運動的行星叫做環繞天體.同理,地球相對于環繞其運動的衛星而言,叫做中心天體,而環繞地球運動的衛星叫做環繞天體.因此,開普勒第二定律可以這么表述:同一環繞天體與其所繞的中心天體的連線在相等時間內掃過的面積相等.