多摩擦點平衡系統何處先達最大靜摩擦狀態的判定3法

李衛平 李興春 劉 麗 羅強生

(西華師范大學物理與空間科學學院,四川 南充 637009)

在力學系統平衡的題目中,涉及到靜摩擦力的力學系統平衡的題目一般是較難的,而當力學系統中的摩擦點不止一個時,題目便會顯得更難. 這類題目之所以難,不僅是因為存在多個摩擦點,使大小、方向均可隨條件變化的靜摩擦力個數增多,而更主要的是,題目往往將系統直接或間接置于平衡狀態即將打破的臨界狀態——多摩擦點中的某些或全部處于靜摩擦力達到最大的狀態. 正因為如此,有關多摩擦點系統平衡的題目便頻頻在歷年的全國高中物理奧賽中出現.

解決上述涉及多摩擦點系統平衡的題目,通常采用的方法是:不事先判斷何處先達最大靜摩擦狀態,而是根據一般剛體的合外力為0、合外力矩為0的平衡條件列出系統的各個部分及整體的一般平衡方程,并列出各個摩擦點不出現相對滑動時靜摩擦力滿足的特殊平衡方程——fi≤μiNi. 再通過聯立求解這些平衡方程,并輔之以根據題目特殊結構的一些分析、判斷和計算,從而最終求得題目要求的結果. 這種方法的好處在于其普適性,這也正是其被通常采用的原因. 但這種方法也存在一些不足: (1) 各摩擦點靜摩擦力的變化的物理過程不明晰,甚至題目雖然解出來了,但卻不知道各個摩擦點究竟哪些達到最大靜摩擦狀態哪些未達到最大靜摩擦狀態. 從教學的角度看,這不利于培養學生的物理才能.(2) 由于各摩擦點均需列出靜摩擦力滿足的式子,所以式子數量較多,且這些式子均是不等式形式的,對其進行分析、判斷一般往往較為繁瑣.

其實,在這類涉及多摩擦點系統平衡的題目中,很多時候各摩擦點何處先達到最大靜摩擦是可以事先判斷的,先行判斷之后,再完成題目所要求的解答就變得較為明確和容易了.本文所要探討和概括的就是在3種特定情況下多摩擦點系統何處先達最大靜摩擦狀態的判定方法.

1 各摩擦點靜摩擦因數相同、摩擦力始終相等時的判斷

圖1

當各摩擦點靜摩擦因數相同時,壓力較大處的最大靜摩擦力便也較大.如果系統的結構又決定了各摩擦點處的靜摩擦力始終相等的話,那么當壓力較小的摩擦點處的靜摩擦力已達最大時,壓力較大的摩擦點處的靜摩擦力顯然尚未達到最大.于是,當各摩擦點處靜摩擦因數相同、摩擦力始終相等時便可根據各處的壓力大小進行判斷:壓力較小處必先達到最大靜摩擦狀態.當然,如果壓力較小處的靜摩擦因數也較小的話,那么更可以斷定壓力較小處將先達到最大靜摩擦狀態.

例1.如圖1所示,質量為m=10 kg的勻質圓柱體放在傾角為5°的楔和豎直墻壁之間,所有接觸處的靜摩擦因數均是μ,μ=0.25.不計楔的重量,求水平推力F為多大時才能推動楔?

圖2

解析:圓柱體的受力如圖2所示,圖2中,f1、N1及f2、N2分別為墻壁及楔對原柱體的摩擦力和壓力. 先確定圓柱體和墻壁的接觸處A與圓柱體和地面的接觸處B何處先達最大靜摩擦狀態.

對圓柱體,由∑MO=f2r-f1r=0,即知

f1=f2.

(1)

(2)

由(2)式可知

N2>N1.

(3)

由(1)、(3)兩式以及A、B兩處的靜摩擦因數相等的條件,便可得知A處先于B處達到最大靜摩擦狀態. 在A處達到最大靜摩擦狀態時

f1=μN1.

(4)

對圓柱體,由

(5)

由(1)、(2)、(4)、(5) 4式解得

N2=103.8 N,f2=3.0 N.

圖3

楔受力如圖3所示. 要推動楔子,所需的水平推力至少為

Fmin=f3+f2cos5°+N2sin5°=μN2cos5°+f2cos5°+N2sin5°.

將已得到的N2、f2之值代入,最終可計算出

Fmin=37.8 N.

2 各摩擦點靜摩擦因數相同、壓力始終相等時的判斷

當各摩擦點處的靜摩擦因數相同、壓力也始終相等時,各摩擦點處所可能達到的最大靜摩擦力也必定相等.如果系統的力學結構又決定了各摩擦點處的靜摩擦力大小始終不相等的話,那么,靜摩擦力較大處的靜摩擦力已達最大時,靜摩擦力較小處的靜摩擦力顯然尚未達到最大.所以,當各摩擦點處的靜摩擦因數相同、壓力始終相等時便可根據各處靜摩擦力的大小進行判斷:靜摩擦力較大處必先達到最大靜摩擦狀態.當然,如果靜摩擦力較大處的靜摩擦因數較小的話,那么更可以斷定靜摩擦力較大處將先達最大靜摩擦狀態.

圖4

解析:根據靜摩擦因數和斜面傾角的大小容易判斷,即使不加拉力A、B兩物體也不會沿斜面下滑, 所以拉力F的下限Fmin=0. 下面求其上限Fmax.

A物體與斜面間的壓力為

B物體與斜面間的壓力為

A物體與斜面間的靜摩擦力為

B物體與斜面間的靜摩擦力為

由于NA=NB,μA=μB=μ,fA>fB, 所以A物體較B物體先達到最大靜摩擦狀態. 當A物體達到最大靜摩擦狀態時,所加的拉力達到允許的最大值. 此時

3 各摩擦點壓力、靜摩擦力始終相等時的判斷

當各摩擦點的壓力始終相等時,靜摩擦因數較大處可達到的最大靜摩擦力也較大.如果系統的力學結構又決定了各處的靜摩擦力始終相等的話,那么,當靜摩擦因數較小處已達最大靜摩擦狀態時,靜摩擦因數較大處顯然尚未達最大靜摩擦狀態.所以,當各摩擦點處的壓力、靜摩擦力始終相等時,便可根據各摩擦點處的靜摩擦因素大小進行判斷:靜摩擦因數較小處必先達到最大靜摩擦狀態.當然,如果靜摩擦因數較小處的壓力也較小的話,那么更可以斷定靜摩擦因數較小處將先達到最大靜摩擦狀態.

圖5

例3.如圖5所示,質量為m的圓柱體擱置在傾角為45°的斜面與擋板所夾的直角中.圓柱體與斜面、擋板的摩擦因數分別為μ1=0.8、μ2=0.5. 擋板與斜面的摩擦因數為μ3=1.0,擋板的質量為2m. 現用垂直于擋板的力F推著擋板使圓柱體從靜止開始沿斜面緩慢向上運動, 求所需的F為多大.

圖6

解析:圓柱體沿斜面緩慢向上運動時,其受力如圖6所示,N1、f1及N2、f2分別為圓柱與斜面及圓柱與擋板的壓力和摩擦力. 可能圓柱與斜面的接觸處A處于滑動靜摩擦狀態而圓柱和擋板的接觸處B處于靜摩擦狀態,圓柱作平動;也可能B處處于滑動摩擦狀態而A處處于靜摩擦狀態,圓柱沿斜面作純滾動. 究竟是那種情況這需要先進行判斷.

由∑MO=N1R-N2R=0,可得知N1=N2.

由∑MC=f1R-f2R=0,可得知f1=f2.

又因為μ2<μ1,所以在圓柱體從靜止開始運動的過程中,必定是B先達到最大靜摩擦而后B處便開始滑動,圓柱體從而沿斜面向上作純滾動.

下面計算力F的大小為

對圓柱體,由∑MA=0得到

(1)

又有

f2=μ2N2.

(2)

圖7

對擋板,其受力如圖7所示.由沿斜面方向和垂直斜面方向上其所受合外力為0得

(3)

(4)

由(1)～(3)式解得

(N3>0表明擋板與斜面間確實存在壓力作用,不至于因為f2過大導致擋板與斜面間的壓力消失)

將這些結果代入(4)式即得

4 結束語

上述3種方法指出了在3種特殊情況下如何判斷多摩擦點平衡系統何處達到最大靜摩擦.但在解答有關多摩擦點系統平衡題目時,不可機械套用這些方法.需注意以下3點.

(1) 在某些多摩擦點系統平衡題目中,系統的結構明顯決定了各摩擦點處的物體接觸部位將同步開始相對滑動,此時各摩擦點必定同時達到最大靜摩擦狀態.在這樣的情況下,就不必再用上述3種方法進行判斷.

(2) 在某些多摩擦點系統平衡題目中,系統的結構和摩擦點處的靜摩擦因數決定了系統某些處或者處處會處于自鎖狀態.這些處于自鎖狀態的摩擦點處必定不可能達到最大靜摩擦狀態.在這樣的情況下,也同樣不必再用上述3種方法進行判斷.

(3) 多摩擦點系統平衡的題目并不限于上述3種特殊情況,上述3種方法是不可能對任何多摩擦點系統何處達最大靜摩擦狀態均能作出判斷的.在其他情況下,應如何對多摩擦點系統何處達到最大靜摩擦狀態作出判斷,是一個尚需探討的問題.