一道高考壓軸題的創新解法——2019年全國高考理綜Ⅱ卷第25題解法賞析

陳顯盈 謝秀鋒 陳一翔

(溫州中學,浙江 溫州 325014)

1 試題再現

(2019年全國Ⅱ卷第25題)一質量為m=2000 kg的汽車以某一速度在平直公路上勻速行駛．行駛過程中,司機忽然發現前方100 m處有一警示牌．立即剎車．剎車過程中,汽車所受阻力大小隨時間變化可簡化為圖1(a)中的圖線．圖1(a)中,0-t1時間段為從司機發現警示牌到采取措施的反應時間(這段時間內汽車所受阻力已忽略,汽車仍保持勻速行駛),t1=0.8 s;t1-t2時間段為剎車系統的啟動時間,t2=1.3 s;從t2時刻開始汽車的剎車系統穩定工作,直至汽車停止,已知從t2時刻開始,汽車第1 s內的位移為24 m,第4 s內的位移為1 m．(1) 在圖1(b)中定性畫出從司機發現警示牌到剎車系統穩定工作后汽車運動的v-t圖像; (2) 求t2時刻汽車的速度大小及此后的加速度大小;(3) 求剎車前汽車勻速行駛時的速度大小及t1-t2時間內汽車克服阻力做的功;司機發現警示牌到汽車停止,汽車行駛的距離約為多少(以t1-t2時間段始末速度的算術平均值替代這段時間內汽車的平均速度)?

圖1

點評:該高考題作為壓軸計算題,以實際生活中的汽車剎車問題作為情境,考查單個物體的多過程運動:開始做勻速直線運動,接著做變減速運動,再做勻減速直線運動,最后靜止．該題信息量比較大,需要學生細心審題、分析過程,從題干和圖像中獲得信息,突出了圖像的呈現方式,重點考查運動學、牛頓第二定律、F-t圖像面積的意義、動量定理、動能定理等重要知識和規律．

2 試題來源

該高考題第2問主要考查勻減速直線運動的規律,主要題干如下:t2開始汽車第1 s內的位移24 m和第4 s內的位移1 m,求t2時刻汽車的速度大小及此后的加速度大小．該問題實際源自一道常見的汽車剎車試題,如安徽師大附中2017屆高三上期中卷第7題等等,其試題具體如下.

(原常規題)某人駕駛一輛汽車甲正在平直的公路以某一速度勻速運動,突然發現前方50 m處停著一輛乙車,立即剎車,剎車后做勻減速直線運動．已知該車剎車后第1個2 s內的位移是24 m,第4個2 s內的位移是1 m.則下列說法正確的是

(A) 汽車甲剎車后做勻減速直線運動的加速度大小為23/12 m/s2.

(B) 汽車甲剎車后做勻減速直線運動的加速度大小為2 m/s2.

(C) 汽車甲剎車后停止前,可能撞上乙車.

(D) 汽車甲剎車前的速度為14 m/s.

點評:很顯然,第2問改編自一些常規物理題,除了文字表述高度一致,連試題數據也大致相同,無非將“第1個2 s內的位移是24 m,第4個2 s內的位移是1 m.改編為“第1 s內的位移為24 m,第4 s內的位移為1 m”,兩題問題設置也相同,分別求剎車前速度、加速度及剎車距離．

3 試題解析

官方公布的參考答案及解析過程極其繁瑣,具體解法如下.

圖2 定性繪制v-t圖像

第1問:v-t圖像如圖2所示(t1-t2段做加速度大小越來越大的減速直線運動,t2后做勻減速直線運動)．

第2問: 求t2時刻汽車的速度大小及此后的加速度大小．

(1) 定義字母含義．設剎車前汽車勻速行駛時的速度大小為v1,則t1時刻的速度也為v1,t2時刻的速度為v2,在t2時刻后汽車做勻減速運動,設其加速度大小為a,取Δt=1 s,設汽車在t2+(n-1)Δt內的位移為sn,n=1,2,3,…．若汽車在t2+3Δt-t2+4Δt時間內未停止,設它在t2+3Δt時刻的速度為v3,在t2+4Δt時刻的速度為v4．

(2) 通過速度v2判斷停止時間范圍.

由運動學公式有

s1-s4=3a(Δt)2.

(1)

(2)

v4=v2-4aΔt.

(3)

(4)

這說明在t2+4Δt時刻前,汽車已經停止．因此,(1)式不成立．

(3) 重新列方程求加速度a和速度v2.

由于在t2+3Δt-t2+4Δt內汽車停止,由運動學公式有

v3=v2-3aΔt.

(5)

2as4=v32.

(6)

聯立(2)、(5)、(6)式,代入已知數據解得

a=8 m/s2,v2=28 m/s,v3=4 m/s.

或

隨著經濟的發展，新的媒體形式層出不窮，加上人們對電視臺的要求越來越高，給電視臺帶來巨大的沖擊和挑戰。電視臺要想在激烈的市場競爭中獲得生存和發展，就必須提高電視臺的節目和服務質量，而電視臺編輯記者的專業素質直接影響著電視臺節目質量。

不合題意,舍去．

點評:第1問考查定性繪制v-t圖像；第2問考查勻減速直線運動的運動學規律,參考答案提供的解法需設3個以上的未知數,用到多種運動學公式,解題過程繁瑣；第3問難點是利用圖像求變力的沖量,還要用近似方法求變加速過程的剎車距離．總之,該題解題難度較大,物理量和公式多,解題過程繁瑣,計算量非常大,對學生的數學運算能力要求較高,側重考查分析推理能力及應用數學知識解決物理問題的能力．

4 試題創新解法

(1) 如何簡便求解加速度a和速度v2(第2問)?

方法1.逆向等效分析法.

① 通過時間t判斷停止時間范圍．假設t2開始第4 s末后汽車還在運動,設(t2+3)s開始的運動時間為t、加速度為a,根據題意和逆向運動過程進行等效分析,可得

(7)

(8)

圖3 逆向等效分析法

② 重新列方程求加速度a和速度v2．如圖3所示,可知t2開始第4 s末前已停止運動,(7)式不成立,但滿足

(9)

方法2.利用二級結論分析法.

① 通過位移之比判斷停止時間范圍．利用物理二級結論:初速度為0的勻加速直線運動,相同時間間隔內的位移分別為1∶3∶5∶7……．該題根據逆向運動進行等效分析:若t2開始第4 s末恰好停止,位移分別為1、3、5、7,則位移之比應該是1/7;若t2開始第3 s末恰好停止,位移分別為0、1、3、5,位移之比應該是0/5;而實際之比為1/24介于0/5、1/7之間,說明停止時間應該在t2開始3-4 s之間．

圖4 二級結論分析法

(2) 如何定量繪制v-t圖像(第1問)？

v=30 (0≤t≤0.8 s)

v=30-8(t-0.8)2(0.8 s≤t≤1.3 s)

v=28-8(t-1.3) (1.3 s≤t≤4.8 s)

(3) 如何準確計算變加速段(t1-t2段)的剎車距離(第3問)？

第3問:司機發現警示牌到汽車停止,汽車行駛的距離約為多少?其中,t1-t2段汽車做加速度均勻增大的減速直線運動,該段的剎車距離s比較難求．

5 試題總結

該高考題在情境創設上運用生活實際情境、構建理想模型,在問題設置上體現了關聯性,呈現層次性,要求學生在分析實際問題的過程中主動構建物理模型,考查學生靈活運用所學物理知識解決實際問題的能力,促進學生學科素養的發展．該題給物理教學帶來以下幾點啟示:要關注物理學科與生活實際的聯系,應用物理知識解決生活實際問題;要注重運用數學方法解決物理問題的能力;要善于運用物理二級結論,不要盲目套用,而要結合題意靈活運用;要多注重科學的思維方法和研究方法．

總之,物理高考題具有權威性、指導性和規范性．該高考壓軸題嚴格遵循考試大綱,以物理觀念、科學思維、科學探究、科學態度與責任的物理學科素養為導向,注重對科學思維的系統性、廣闊性、邏輯性、創新性及靈活性等要求的考查,引領學生在生活中體驗物之理、物之美．