運用導數和積分數學方法正確解讀運動圖像問題

郭清鵬

(山東省青島第九中學,山東 青島 266000)

目前,高考物理重點考查的5大能力包括:理解能力、推理能力、分析綜合能力、應用數學處理物理問題的能力、實驗能力．關于“應用數學處理物理問題的能力”《考試說明》是這樣敘述的:能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式,進行推導和求解,并根據結果得出物理結論;能運用幾何圖形、函數圖像進行表達、分析.可見,學生能運用數學知識解決物理圖像問題,是一項必備能力．

物理圖像是物理規律的一種數學呈現方式,只有準確解讀物理圖像中的信息才能正確分析和把握物理規律,高中數學的微積分知識為正確解讀高中物理圖像問題提供了工具．物理學與數學有著密切的關系,諾貝爾獎得主、著名華裔物理學家楊振寧先生將數學與物理的關系比做“雙葉”,他認為數學和物理學像一對“對生”的樹葉,他們只在基部有很小的公共部分,多數則是相互分離的．他這樣解釋 “物理與數學,有各自不同的目標和價值判斷準則,也有不同的傳統,在它們的基礎概念部分令人吃驚地分享著若干共同的概念”．正是數學和物理相交叉的公共部分,為物理學的發展提供了強有力的工具,其中數學中的導數和積分概念就自帶“數理結合”的基因．導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近,在運動學中物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度,物體的速度對于時間的導數就是物體的加速度．在數學上,對任意一個函數求其在某一可積分區間內與x軸所圍成的面積的操作就是積分,積分應用于物理學則是求解一個物理量對另一個物理量的累積效果．運動圖像中“面積”就可以表示縱坐標對應物理量在橫軸對應物理量上的積累,譬如,(瞬時)速度-時間圖像中的“面積”表示位移．

高中物理運動圖像中的信息大致可以分為“直接信息”和“間接信息”．“直接信息”是可以通過橫、縱坐標直接判斷物理量之間關系的信息,譬如位移-時間圖中的某時刻的位移,速度-時間圖像中的某時刻的速度等．“間接信息”則是對物理規律的函數解析式進行數學處理后,得到的物理信息,譬如位移-時間圖中的速度信息;速度-時間圖像中加速度、位移等信息;加速度-時間圖像中的速度變化量信息等．這些信息用數學中的“導數”和“積分”可以很方便地得到,使得某些重要物理量以精確的數學量呈現出來,從而提升解題的準確性和便捷性．

圖1

例1.一質點沿直線運動,其速度-位移圖像為一條如圖1所示的直線.下列說法中正確的是

(A) 加速度增大.

(B) 加速度不變.

圖2

解析.此題所給圖像不是常見的速度-時間圖像,單純從物理角度很難與常見的物理情景對應,需要借助導數和積分處理圖像所描述的物理量間的關系.然后,才能進一步分析數學處理結果的物理意義．首先,寫出速度-位移圖像的數學解析式為v=v0+ks,其中k為圖線斜率,將該式兩邊對時間t求導,可得a=kv,可見,加速度與速度成正比,加速度隨速度增加而變大,(A)選項正確．其次,根據加速度、速度都隨時間變大這一事實,定性作出如圖2速度-時間關系圖像,其中甲為勻變速直線運動的速度-時間圖像,乙為本題物體運動的速度-時間圖像．最后,根據速度-時間圖像中圖線所圍成的“面積”對應位移,相同時間內,當曲線與橫軸所圍面積為st時,斜線與橫軸所圍成的面積大于st,所以,勻變速直線運動的平均速度大于加速度逐漸增大的直線運動的平均速度,(C)、(D)選項均錯誤．

圖3

例2.一物體做直線運動的v-t圖像如圖3所示,圖線為1/4圓弧,則下列說法正確的是

(A) 物體做勻減速直線運動.

(B) 物體在10 s末的速度為15 m/s.

(C) 物體在20 s內速度的平均速度為10 m/s.

解析：此題所給出的圖像雖是v-t圖像,但不是直線圖像,由數學知識解讀速度與時間關系,可知速度與時間應滿足圓的標準方程:

v2+t2=202.

(1)

首先,將其變形為

(2)

例3.已知一質點做變加速直線運動,初速度為v0,其加速度隨位移線性減小的關系即加速過程中加速度與位移之間的關系滿足條件a=a0-ks,式中a為任一位置處的加速度,s為同一位置時的位移,a0、k為常量,求當位移為s0時質點的瞬時速度．

圖4

2a0s0-ks02,

由以上例題可見,由運動圖像寫出物體運動規律的函數解析式,并對函數解析式進行求導和積分操作,利用“斜率”、“面積”與相關物理量之間的對應關系,是有效解決運動學的圖像問題的重要方法．

值得注意的是,學生在應用“導數”和“積分”解決運動學圖像問題時,經常會出現“數”“理”兩張皮的情況．

圖5

例4.一個物體做勻變速直線運動的v-t圖像,如圖5所示,試求其加速度.

要解決像這種運用“數理結合”思想解決物理問題中“數”“理”兩張皮的問題,必須堅持3個原則:數學量必須有物理量與之對應,數學操作必須符合物理規律,數學結論必須具備物理意義．涉及到運用導數和積分解決運動圖像問題,就必須首先分析和解決好,數學的“斜率”或“面積”的物理意義問題．

圖6

(B) 物體的初速度大小為b.

圖7

解析： 有學生認為,速度-時間圖像中,位移對應圖像中速度圖線與時間軸所圍成的“面積”,本題中,縱坐標是位移與時間的比值,即平均速度,橫坐標是時間,也屬于“速度-時間”圖像,位移就應該對應平均速度圖線與時間軸所圍成的“面積”,如圖7中陰影部分面積．很明顯,學生的分析過程出現了“面積”與“位移”的錯誤對應．

(1)

同時,關系式對時間t求導后得到

x′(t)=v(t)=v0+at.

(2)

圖8

比較(1)、(2)兩式的可獲得兩個有用信息: ① (2)式中所對應的函數圖線斜率是(1)式對應函數圖線斜率的2倍．② (1)式的圖像中縱軸截距與(2)式圖像中縱軸截距物理意義相同——均表示物體運動的初速度,即v0=a．據此,可以作出v(t)=v0+a′t的圖像,如圖8中實線(虛線為平均速度與時間圖線)．

由以上例題分析可見,導數和積分的數學方法為解決圖像問題提供有力支持,可以揭示運動圖像豐富的物理內涵．在高中物理教學中,教師應當注重培養學生“數理結合”的能力和理解圖像、分析圖像和應用圖像的能力,要求學生能用合理的數學方法分析物理問題,能用數學結果解釋物理現象,物理量與數學量對應關系的準確把握則是解決問題的關鍵,真正將“數理結合”思想融合在物理學習過程中．