一道經典力學題的解析探討

葛水兵

(蘇州大學物理科學與技術學院,江蘇 蘇州 215006)

物理教學中,精選例題,一題多解,可以加深學生對基本概念、基本原理的理解和應用.本文精選了一道力學例題,采用 “微元法”、“微積分法”和“函數圖像法”3種方法進行解題.并通過問題的拓展,探求解決問題的思路,旨在培養學生創造性思維能力.

1 一道經典題目

圖1

例題.在光滑水平圓桌面的圓心處立著一根半徑為R的豎直圓柱子,如圖1所示,一根不可伸長的柔軟細輕繩,一端固定在立柱下部一點上,另一端系一質量為m的小球.將小球放在桌面上并把繩拉直,繩伸直部分的長度為L.現給小球一個方向與繩垂直、大小為v0的初速度.小球在桌面上運動時,繩將纏繞在立柱上,忽略摩擦.已知當繩的張力為T0時,細繩即斷開.設初始時,繩中的張力為T

2 多種解題方法

(1) 計算經過多少時間細繩斷開,首先要計算細繩斷開瞬間,細繩伸直部分的長度.

要求細繩伸直部分的長度,需要分析小球的運動過程.有些學生分析后得出結論:小球作螺旋線運動,因為細繩伸直部分的長度逐漸減小,繩的拉力做正功,小球的速度增大.這個結論正確嗎?不正確.為什么呢?這些學生只看到了小球運動的表面現象,并沒有發現本質問題．例題已知條件表明:桌面是光滑的,小球初速度方向與繩垂直,細輕繩不可伸長,且在斷開前細繩一直是繃緊的.所以在繩斷開前,小球在沿桌面運動的過程中,其速度方向始終與繩垂直.假設不垂直,那么在沿繩方向必然存在速度分量,因為細繩一端固定在圓柱上,所以細繩不可能一直被拉緊,與題中的情形相矛盾.

基于以上分析可知:在繩斷開前,小球在沿桌面運動的過程中,其速度方向始終與繩垂直,繩子的張力對小球不做功,小球速度大小保持不變.[1,2]任意時刻,小球的運動可看作以細繩與圓柱的切點為瞬時圓心,以未纏繞的細繩為半徑的圓周運動.

設在細繩斷開瞬間伸直部分的長度為L′,細繩的拉力只提供小球的法向加速度,有

(1)

所以

(2)

(2) 計算細繩伸直部分的長度從L縮短至L′所經歷的時間.

① 解法1(微元法).

因為細繩斷開瞬間伸直部分的長度為L′,則纏繞在圓柱上的長度為L-L′.令

(3)

設細繩依次纏繞Δx所需的時間分別為Δt1,Δt2,…,Δtn,有

(4)

(5)

(6)

類推可得

(7)

聯立(4)-(7)式,得

(8)

將(3)式代入(8)式,整理可得

(9)

當n→∞時,(9)式變為

(10)

② 解法2(微積分法).

設經過一定時間后,繩與圓柱的切點繞圓柱的圓心轉過了θ角,即有Rθ長的繩繞在柱子上了,此時小球做圓周運動的半徑變為L-Rθ,則小球運動的角速度為

(11)

(12)

聯立(11)和(12)式,有

(13)

(13)式變形,有

(14)

(14)式兩邊積分,得

(15)

圖2

③ 解法3(函數圖像法).

分析小球的運動過程(同解法2)可知,細繩斷開前的任意瞬間,小球運動的角速度為

(16)

(16)式兩邊取倒數,得

(17)

(18)

綜合上述3種解題方法可知: (1) 微元法是從部分到整體的思維方法,把一些復雜物理過程簡單化.微元法處理問題時,將整個過程分解為許多微小的“元過程”,先通過分析一個“元過程”,再將“元過程”進行必要的數學方法處理,從而解決整個過程問題.微元法是微積分法的萌芽,是高中階段用來分析、解決類似物理問題的常用方法.(2) 微積分是高等數學中研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支.微積分使函數可用一套通用的符號進行討論,為定義和、求和提供了一套通用的方法,從而簡化繁瑣的數學運算,是大學階段解決物理問題的常規方法.(3) 函數圖像法簡單明了,具有一定的技巧性.該方法解題時,必須熟悉坐標橫軸、縱軸代表的物理量及其函數關系;熟悉函數圖像的規律,預判函數圖像形狀的規則性;熟悉函數圖線與坐標橫軸、縱軸所圍面積的物理含義.圖像法提供了更加快捷的解題思路,將數學和物理有機地結合起來,是一種行之有效的解題方法.全面理解物理圖像的意義,熟練應用圖像處理物理問題,是物理教學中必備的基本技能.

3 拓展

(1) 細繩全部纏繞.

由(10)、(15)、(18)式可知,細繩全部纏繞在立柱上的時間,只需代入L′=0即可求出一致的結果.[2]然而細繩全部纏繞需要進一步探討,根據(2)式可知,要L′=0,細繩承受的張力必須無窮大.顯然這與現實生活中的情形相悖,難以理解.因為細繩或細線承受的張力有限,所以全部纏繞問題是本文例題的一個理想化特例.因而本文精選的例題更具典型性和代表性,在教學中更具說服力.

(2) “一題多解” 可以培養學生的創造性思維能力;“一題多變”也可以培養學生的發散思維能力.

例題中如果已知圓桌面的半徑及高度,則可以計算細繩斷開后,小球在地面的落點與桌面圓心的水平距離.此題的拓展將涉及到平拋運動,由于解題思路比較清晰,過程也比較簡單,在此不再詳述,讀者可自行解題.