一道圓錐曲線試題探究非線性目標函數

邱鵬

[摘? ? ? ? ? ?要]? 線性規劃是高考的一個重要考點.學生往往受“線性”二字的影響，遇到非線性目標函數就不知所措.通過一道試題解法引出非線性目標函數.總結出非線性目標函數的類型，歸納出解題方法.在高考新形勢下，對線性目標函數的教學引起反思.

[關? ? 鍵? ?詞]? 非線性;目標函數;方法

[中圖分類號]? G634.6? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）35-0232-02

一、背景解讀

題目 橢圓M：+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點，且·的最大值的取值范圍是[c2，3c2]，其中c=，則橢圓M的離心率e的取值范圍是（B）

A.[，]????????????????????????????? B.[，]

C.（，1）????????????????????????????? D.[，1）

分析：橢圓M：+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點，所有橢圓的焦點坐標可以假設為F1（-c，0），F2（c，0）.則·=x2+y2-c2，因此可以通過非線性目標函數解題，得出a、b、c的不等關系，進一步解得離心率e=的范圍.

解：由題意橢圓M：+=1（a>b>0）為焦點在x軸的橢圓，又橢圓的焦點為F1、F2，P為橢圓M上任一點.

設P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），所以=（-c-x，-y），=（c-x，-y），

·=x2+y2-c2.可將·=x2+y2-c2看作一個非線性目標函數.

因為x2+y2=（x-0）2+（y-0）2可看作P（x，y）到原點（0，0）的距離的平方，P（x，y）為橢圓上任意一點，由橢圓的性質可知：橢圓長軸上的端點到原點的距離為最大值.

所以（x2+y2）max=a2，又因為a2-c2=b2.所以·=x2+y2-c2=a2-c2=b2，由題意c2≤b2=a2-c2≤3c2，e=.解得≤e≤.

故答案選B.

二、解后反思

此題是一道圓錐曲線為背景，考察橢圓性質和非線性目標函數的題目.線性規劃是高考必考點，尤其是對目標函數的解讀至關重要.在約束條件下，目標函數常見代數式的幾何意義往往會有三種.

第一種：z=ax+by（ab≠0）此類型目標函數為線性目標函數;解法：將函數z=ax+by轉化為直線的斜截式：y=-x+，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值.最優解在頂點或邊界取得，在此筆者不作為研究重點.

第二種：z=表示點（x，y）與點（a，b）連線的斜率.此類型目標函數為非線性目標函數

第三種：z=表示點（x，y）與點（a，b）之間的距離;此類型目標函數為非線性目標函數

高考考察非目標函數，往往會結合考察其他知識板塊的交匯.要求學生在掌握知識的基礎上，會識別目標函數特別是非線性目標函數類型.根據目標函數的類型解題.

三、試題鏈接

例1.已知平面向量=（1，），-=1，則的取值范圍（? ）

A.[0，1]? B.[1，3]? C.[2，4]? D.[3，4]

分析：根據題目可以設=（x，y），-==1，得出（x-1）2+（y-）2=1.則=（x，y）表示圓上的點;=為目標函數表示點（x，y）與原點（0，0）之間的距離，可與數形結合得出答.

解：設=（x，y），則-==，又因為-=1.所以（x-1）2+（y-）2=1.則=（x，y）表示圓心（1，），半徑r=1的圓上的點;

又因為=為目標函數，表示點（x，y）與原點（0，0）之間的距離.根據圓的性質：max=+r=3;max=-r=1.

所以∈[1，3]

故答案選B.

例2.（2015新課標1理15）若x、y滿足約束條件x-1≥0x-y≤0x+y-4≤0.則的最大值為 ??.

分析：根據不等式組在平面直角坐標系中做出可行域.非線性目標函數表示（x，y）與點（0，0）連線的斜率.數形結合可以解出此題.

解：根據不等式組在平面直角坐標系中做出如圖可行域（陰影部分ABC）.

非線性目標函數表示可行域內的點（x，y）與點（0，0）連線的斜率.

由圖像可知直線OA的斜率最大.

又因為x=1x+y-4=0，得到x=1y=3，即A（1，3）.

所以KOA==3.

故答案填3.

四、教學啟示

線性規劃往往會與其他知識結合，形成綜合題，難度會變得很大.學生學習的時候，往往受“線性”二字限制，所以我們在教學和學生的復習時需要掙脫“線性”二字，題目有可能是非線性目標函數題.然后識別目標函數的類型，數形結合解題.

參考文獻：

[1]陳星春.線性規劃知識解決高考數學有關綜合問題尋蹤[J].中學數學雜志，2008（1）：56-59.

[2]韓美麗.突破高考數學之線性規劃[J].亞太教育，2019（1）：81-83.

[3]趙靜.兩道“線性規劃”高考題引發的思考[J].江蘇第二師范學院學報，2014，30（2）：76-79.

[4]丁利民，李袆.2011年高考數學線性規劃試題評析和思考[J].數學學習與研究，2012（5）：75-76.

◎編輯 曾彥慧