基于狀態反饋控制的磁懸浮球系統

劉翊馨,鐘志賢,祁雁英,王家園,段一戩

(桂林理工大學 機械與控制工程學院,廣西 桂林 541006)

0 引 言

磁懸浮技術在很多領域有著廣泛的應用。磁懸浮球控制系統是研究磁懸浮技術的一個基本平臺,已有眾多學者對磁懸浮球的控制方法進行了研究[1-4]。張井崗等[5]對磁懸浮球系統進行了分數階滑膜控制,仿真與實驗結果表明該方法有效地解決了滑膜控制方法中易于出現的抖振問題,并且在跟蹤性能、魯棒性等方面優于滑膜控制方法。邵雪卷等[6]提出了一種模糊自適應預測函數的控制方法,結果表明該方法能使小球實現穩定懸浮,且有更好的性能指標。李群明等[7]對磁懸浮球系統進行了H∞控制,設計了一個魯棒控制器,對磁懸浮球的攝動及外界擾動具有較好的魯棒性。朱堅民等[8]設計了一種基于神經網絡反饋補償的控制器,極大地提高了對系統的控制精度。陳亞棟等[9]對磁懸浮球系統的二自由度PID控制進行了研究,設計了2-DOF PID控制器,分析表明該控制器能使系統具有較好的抗干擾性。

現代控制理論中的狀態反饋控制法不需要全面了解系統的內部構造,僅是通過狀態變量就能展現出系統的品質指標和內部特性,相比輸出反饋控制方法,狀態反饋控制法具有更好的操作性和優越性,因而在電力電子、機械、化工等領域得到廣泛應用[10-13]。湯潔等[14]對系統引入誤差積分的控制,結果表明系統能達到穩態無靜差的預期設定要求。陳亮亮等[15]在研究對電磁軸承的高速飛輪轉子系統控制算法時,在其中應用了一個狀態反饋模塊,仿真和實驗結果表明該控制方法能夠使飛輪轉子系統穩定懸浮，并具有很好的魯棒性。白龍等[16]設計了一種混合整流全狀態反饋控制器,來穩定直流供電輸出,與傳統方法相比,不僅穩定了電壓，還更節省能源。徐和飛等[17]對網絡控制系統引入了一個γ-次優H∞靜態狀態反饋控制器,仿真結果表明使用該控制器的閉環系統是穩定的。李賓等[18]在研究三階LCL濾波器中引入狀態變量反饋,改進觀測器極點配置,使整個系統獲得最好的性能,并在一臺試驗樣機上驗證了該方法的有效性。

鑒于此， 本文將磁懸浮球控制系統作為研究對象, 結合固高GML2001磁懸浮球實驗臺，運用極點配置法設計出一種基于跟蹤的狀態反饋控制器。

1 磁懸浮球系統的組成及數學模型

磁懸浮球控制系統由電磁鐵繞組、激光位移傳感器、功率放大器、控制器及一個小鋼球組成。系統結構如圖1所示。

圖1 磁懸浮系統結構圖Fig.1 Structure of magnetic system

在理想狀態下,小球豎直方向的運動方程描述為

(1)

式中:x—鋼球質心與電磁鐵磁極之間的氣隙長度(以磁極面為零點),m;m—鋼球的質量,kg;F(i,x)—電磁吸力,N;i—電磁鐵繞組電流，A；g—重力加速度, m/s2。

當鋼球受到向上的電磁力與自身的重力相等時,鋼球處于平衡狀態，表示為

mg+F(i0,x0)=0，

(2)

用微分方程來描述系統,則有

(3)

將式(3)進行拉普拉斯變換,有

(4)

把邊界方程mg=-K(i0/x0)2代入式(4)得到系統的開環傳遞函數

(5)

定義系統對象輸出量x反映出的輸出電壓為Uout, 其同時也是傳感器后處理電路的輸出電壓,則該系統的控制對象模型可表示為

(6)

式中: 系數A=i0/2g, 系數B=i0/x0。將表1中的部分參數值代入式(6),有

(7)

表1 磁懸浮球主要物理參數值Table 1 Main physical parameters of the maglev ball

2 狀態反饋控制器設計

將狀態反饋增益矩陣K引入該系統,閉環系統狀態空間模型為

(8)

其傳遞函數為

Gk(s)=C[sI-(A-BK)]-1B。

(9)

根據預期性能, 引入合適的超調量和調節時間, 采用Matlab仿真得到系統的階躍響應曲線, 如圖2所示。 系統出現了較大的穩態誤差, 且不能及時跟蹤階躍輸入。 為改善控制器的跟蹤性能, 選擇采用偏差積分來抑制或消除單輸入單輸出系統的穩態誤差。 向原系統引入一個偏差向量積分q(t),有：

圖2 初定程序的狀態反饋階躍響應曲線Fig.2 State feedback step response curve of initial program

(10)

式中:K1、K2為狀態反饋矩陣；K1x是原系統的狀態反饋；K2q是為了提高系統穩態性能指標而加上的偏差向量積分控制。 這是一個由被控對象的狀態反饋和偏差向量組成的復合控制, 也相當于是一個比例積分控制器。 將q作為附加狀態向量后, 此時整個系統狀態空間模型為式(11), 結構見圖3。

圖3 基于跟蹤的狀態反饋結構圖Fig.3 Tracking-based state feedback structure diagram

(11)

所設計控制器的閉環系統傳遞函數為

f(s)=s[sI-(A-BK1)]

=s3+k1bb21s2+(k1ab21a12-a21a12)s,

(13)

其中,a3=1,a2=k1bb21,a1=k1ab21a12-a21a12,a0=0。

根據Routh判據,若要使系統穩定,則需ai>0(i=1,2,3), 且c13>0。

即

(14)

解得

(15)

3 仿真與實驗分析

圖4 系統狀態反饋控制器的仿真Fig.4 Simulation of system state feedback controller

圖5所示為狀態反饋控制器與PID控制器階躍響應的對比,建立的狀態反饋仿真控制器與PID仿真控制器均能使系統趨于穩定狀態,能跟上階躍輸入,但在應用狀態反饋控制器時,并無明顯穩態誤差。

圖5 狀態反饋控制器與PID程序階躍響應曲線Fig.5 Step response curves of PID controller program and state feedback

在Simulink中建立磁懸浮系統的狀態反饋控制器如圖6所示,鋼球處于穩定懸浮狀態下的輸出波形如圖7所示,鋼球在系統穩定時的工作狀態見圖8。

由圖7可知,位移標定基本穩定在6×10-5mm處,根據該系統電壓、位移和位置標定值的比例關系,有6×10-5/(-0.03/5)=-0.01,與最初的位移標定相等,即小球達到實驗預期目標。

根據Routh判據, 需同時滿足式(15)中2個關系式系統才趨于穩定狀態。k1a的值為356.94>256.66, 同時a1、a2和a3均大于0。綜上所述,此時磁懸浮小球系統符合ts<2 s,δp≤15%, 小球懸浮于10 mm處的預期性能指標。 在實際的操作中, 狀態反饋增益矩陣K值過大反而會影響懸浮的穩態指標。 故在選擇K值的時候, 既要考慮系統的性能問題, 也要綜合考慮系統的現實操作問題。

圖6 狀態反饋控制器的實時控制程序Fig.6 Real-time control program of state feedback controller

圖7 狀態反饋控制程序實時控制輸出波形圖Fig.7 Real-time control of output waveform by state feedback control program

圖8 鋼球在系統穩定時的懸浮圖Fig.8 Maglev ball in suspension

由于狀態反饋控制器與PID控制器的兩種控制方法位置標定值不同而缺乏可比性,為了提高對比實驗的科學性,將兩種方法所得的位移標定比取對數進行比較,結果如圖9所示。PID控制與狀態反饋控制相比,波動幅度相對較大,仿真也表明,PID控制對系統動態性能的改善較為困難,而進行狀態反饋控制時,能在減小了系統穩態誤差及反饋矩陣參數上下改變的同時保持系統趨于穩定。

圖9 狀態反饋控制與PID控制位移標定對數比較Fig.9 Logarithmic diagram comparison between displacement calibration of PID control and state feedback control

4 結 論

本文建立了磁懸浮系統的數學模型,提出了一種基于跟蹤的狀態反饋控制方法, 設計出相應的控制器, 能使系統的動態性能指標達到預期設定, 且穩態誤差小。 實驗表明，對于該系統, 提出的控制方法易于實現。 將設計的狀態反饋控制器與PID控制器進行仿真實驗對比發現, PID控制需要反復整定試湊參數, 直至出現滿意的響應結果, 以此來確定控制的參數, 而狀態反饋控制能夠較為容易地調試出需要的參數, 對系統的適應性相對較好。 但是為了減少狀態反饋控制器的穩態誤差而加入積分器時, 其響應速度變慢。 對于此類問題, 可以在之后的研究中根據閉環系統過渡矩陣過程要求，按極點配置法確定引入積分控制后的狀態反饋增益矩陣進行分析與仿真實驗。