基于實值矩陣的寬帶信號DOA估計方法

(西安電子科技大學電子信息攻防對抗與仿真技術教育部重點實驗室， 陜西西安 710071)

0 引言

陣列處理中信號的波達方向估計是雷達等探測系統的主要任務之一，在信源為窄帶信號的基礎上，過去幾十年對DOA估計研究的過程中產生了經典的Capon方法[1-2]和子空間算法[3-6]等。由于寬帶信號攜帶更多的信息量和更強的抗干擾能力[7]，因此對于寬帶信號的研究更具有意義。對于寬帶信號的測向方法主要分為兩大類：非相干信號子空間法[8](Incoherent Signal-subspace Method，ISM)和相干信號子空間法[9-10](Coherent Signal-subspace Method，CSM)。ISM算法是將寬帶信號在頻域上分解成不重疊的窄帶分量，在每一個窄帶上使用子空間高分辨測向算法，然后對所有的子帶空間譜進行幾何平均，得到寬帶信號的DOA估計。這種算法不能發揮相干數據積累作用，抵抗噪聲能力較弱。CSM算法通過構造聚焦矩陣，將不同頻點上的數據聚焦到參考頻率上，然后通過子空間分解算法進行寬帶信號的空間譜估計。這種算法的缺點是需要構造聚焦矩陣，在構造過程中需要預估計角度且需要選擇合適的聚焦頻率。文獻[11-12]使用Khatri-Rao子空間進行聚焦，這種算法雖然提高了估計性能，但仍需DOA預估計，由此帶來的計算量依然較大。文獻[13]提出了基于網格失配迭代最小化稀疏學習的寬帶DOA估計方法，雖然在低信噪比條件下具有良好的DOA估計精度和分辨率，可以不依賴信源數等先驗信息，但由于網格失配等導致計算量較大。

為解決CSM算法計算量大的問題，本文對聚焦類算法RSS(Rational Signal-Subspace)進行了改進。首先對頻域數據聚焦后計算得到的協方差矩陣，取其虛部構造實值矩陣[14]，根據實值矩陣噪聲子空間的特點，在搜索譜峰時中可以僅搜索一半的角度，對于搜索時出現的角度模糊問題，可通過MUSIC算法去模糊，從而達到正確估計效果。

1 寬帶信號數學模型

寬帶信號不同于窄帶信號，其包絡的變化與信號的瞬時頻率有關，同一時刻不同陣元上的信號相位和包絡均有差異，且信號包絡的差異不能忽略不計。假設空間遠場存在P個寬帶信號，信號帶寬B∈[fl,fh]，以角度θ1,θ2,…,θP入射到由M個陣元組成的均勻線陣上，陣元間距d為最高頻率fh對應波長的一半，以第一個陣元為參考陣元，則第m個陣元接收到的信號xm(t)為

(1)

X(fj)=Aθ(fj)S(fj)+N(fj)

(2)

式中:X(fj)=[X1(fj),X2(fj),…,XM(fj)]T為第j個子頻帶的頻域數據，j=1,2，…，J,其中[·]T表示對矩陣的轉置；Aθ(fj)為頻率fj處的陣列流型矩陣，可表示為Aθ(fj)=[a(fj,θ1),a(fj,θ2),…,a(fj,θP)]，其中a(fj,θp)為在頻率fj處對應θp的導向矢量，可表示為

a(fj,θp)=[1,e-j2πfjdsinθp/c,…,e-j2πfj(M-1)dsinθp/c]T

(3)

從式(3)可以看出在陣元結構確定的條件下，寬帶下的導向矢量不僅與來波方向有關，還與子頻帶頻率有關。

2 基于實值矩陣的寬帶信號DOA估計算法

聚焦類算法RSS是通過聚焦矩陣將頻域數據聚焦到同一參考頻率上，再使用子空間算法進行寬帶信號的空間譜估計。由于RSS算法是采用低分辨的波束形成作預估計，因此會不可避免地帶來較大的初值誤差，當需要提高估計精度時，需要根據譜峰搜索結果利用RSS算法進行多次迭代求解，逐漸逼近真實信號來向。這種迭代會導致估計DOA計算復雜度較高，針對每次迭代過程中的計算量大這種問題采用實值矩陣算法對RSS算法進行改進。

2.1 基本原理

RSS算法對寬帶信號的處理是構造一個隨頻率變化的矩陣T(fj)，將不同頻率段的方向矩陣聚焦到同一參考頻率段f0下的矩陣，即

T(fj)Aθ(fj)=Aθ(f0)

(4)

式中，T(fj)為聚焦矩陣，f0為參考頻率，即聚焦頻率。聚焦矩陣T(fj)將信號帶寬內不同頻率的陣列流型或信號子空間變換映射到同一參考頻率f0上，使得寬帶目標信號具有同一信號子空間。對寬帶信號X(fj)進行聚焦變換，由式(2)可得到聚焦后的陣列輸出為

T(fj)X(fj)=T(fj)Aθ(fj)S(fj)+

T(fj)N(fj)=

Aθ(f0)S(fj)+T(fj)N(fj)

(5)

由式(5)可得經過聚焦變換后，陣列流型矩陣聚焦到了參考頻率f0上，設聚焦之后陣列的輸出信號為Y(fj)，則

Y(fj)=T(fj)X(fj)

(6)

則由式(6)可知，聚焦后陣列各頻率點下的協方差矩陣求和平均得到

(7)

式中，RY為聚焦后的協方差矩陣，(·)H為矩陣的共軛轉置。對其進行分析，將其分為由實部和虛部組成的兩部分：

[ReT(Y(fj))-iImT(Y(fj))]}=

Im(Y(fj))·ImT(Y(fj))}+

Re(Y(fj))·ImT(Y(fj))}

(8)

式中，Re(·)表示矩陣的實部，Im(·)表示矩陣的虛部。因此，協方差矩陣的實部和虛部可以表示為

Im(Y(fj))·ImT(Y(fj))}

(9)

Re(Y(fj))·ImT(Y(fj))}

(10)

對RY，Re(RY)，Im(RY)觀察可以發現在 Re(RY)中只存在二階項Re(Y(fj))ReT(Y(fj))，Im(Y(fj))ImT(Y(fj))，而在Im(RY)中則相反，只包含交叉項Im(Y(fj))ReT(Y(fj))， Re(Y(fj))ImT(Y(fj))。由式(8)可以看出，傳統MUSIC一類的DOA估計算法是對實部和虛部都存在的協方差矩陣數據進行處理，而在Re(RY)和 Im(RY)中同樣包含了數據的虛部和實部信息，因此可以單獨使用協方差矩陣的實部或者虛部來進行DOA估計，以減小運算復雜度。

2.2 對于協方差矩陣虛部的子空間分解

由上述分析可知，僅使用協方差矩陣的實部或虛部就能完成DOA估計，這里選取協方差矩陣虛部進行子空間分解求解噪聲子空間Z，對 Im(RY)進行特征值分解，則有

(11)

式中：Us為由大特征值對應的特征矢量張成的子空間，即信號子空間；Z為由小特征值對應的特征矢量張成的子空間，即噪聲子空間。由于Im(RY)為實值矩陣，則特征值分解產生的Us，Z均為實值矩陣。此外，對于任意的線性陣列可以得到A*(θ)=A(-θ)，根據導向矢量張成的子空間和噪聲子空間相互正交，因此有

(12)

由上述理論可得使用實值矩陣計算得到噪聲子空間的搜索原理為

(13)

(14)

因此基于實值矩陣的寬帶DOA的估計算法的基本步驟：

2) 粗估計到達角度并構造聚焦矩陣，選定參考頻率，將各個子帶上的數據聚焦到參考頻率上；

3) 對于聚焦后的陣列輸出信號求其自相關矩陣RY，并取其虛部Im(RY)對其進行特征值分解并計算噪聲子空間矩陣Z；

5) 當需要提高估計性能時，可根據搜索的譜峰重新構造聚焦矩陣，將頻域數據聚焦到參考頻率上并對第三到第五步進行迭代；

2.3 計算復雜度分析

對于寬帶信號DOA估計算法，其計算量主要包括對接收數據做的傅里葉變換、粗估計角度、使用子空間算法估計DOA三個方面，前兩部分計算量較小且為兩種算法所共有，本文所提出的改進算法主要減小第三部分的計算量。考慮陣元數為M，信號個數為P，快拍數為N的情況，當使用改進算法時，能夠將搜索范圍減小為原來的一半，且在每一個搜索角度所需使用的時間復雜度為O(2PM+4M2)。使用改進算法會遇到角度模糊的問題，在去模糊時，對于REAL-MUSIC改進算法搜索出的角度，通過比較f1(θi)和f1(-θi)的大小即可達到目的，而這些計算量相對于復數運算和整個頻譜的搜索是可以忽略不計的。而使用傳統算法時，首先是在整個頻域范圍內進行搜索，且在每一個搜索角度使用的時間復雜度為4O(M2P+P2M+M2)，考慮到搜索步徑和精度的問題，改進的算法有效降低了計算量。

由上述分析可知，改進算法不僅能夠減半角度搜索范圍，且在每一次搜索時都能夠減小計算量，在需要迭代估計DOA的情況下，改進算法REAL-MUSIC的計算量小于傳統聚焦類算法RSS。

3 仿真實驗

為了進一步分析本文改進算法的性能，我們采用仿真數據進行分析。假設兩個中心頻率為150 MHz，帶寬為100 MHz的等功率線性調頻信號入射到陣元數為8的均勻線陣中，其中，均勻線陣的陣元間距為信號最高頻率對應波長的一半，在每次實驗中，若估計所得角度與真實角度差的絕對值均小于等于1°，則定義該次實驗為一次正確檢測，否則認為檢測失敗。在上述條件下比較改進算法REAL-MUSIC和聚焦類算法RSS的性能。

(a) 入射信號為非相干信號

(b) 入射信號為相干信號圖1 不同信噪比的空間譜估計圖

由圖1(a)所示，當入射信號為非相干信號時，改進算法搜索到的譜峰為10.2°和19.9°，由上述理論可得備選角度為±10.2°及±19.9°。根據步驟五去模糊可得，于10.2°處的譜峰，其真實角度是-10.2°，譜峰為19.9°的真實角度是19.9°。而傳統RSS算法搜索出的譜峰在-9.9°和20°。同理，由圖1(b)所示，當入射信號為相干信號時，改進算法估計所得DOA角度為-9.8°和20.1°，傳統RSS算法估計所得DOA角度為-9.9°和19.9°。綜上所述，在相同條件下兩種算法均能區分出正確的角度。

(a) 入射信號為非相干信號

(b) 入射信號為相干信號圖2 均方根誤差隨信噪比的變化

從圖2可以看出，兩種算法在都能正確檢測DOA的前提下，聚焦類算法RSS在性能上略微好于改進算法REAL-MUSIC。由于改進算法極大地降低了計算復雜度，綜合考慮改進算法REAL-MUSIC優于傳統類算法RSS。

實驗三： 本實驗主要考察子帶數目對DOA估計的影響，仿真條件與前相同，在不同的子帶數目下分別進行500次獨立的蒙特卡羅實驗，圖3是非相干信號和相干信號入射時RMSE隨子帶數目變化的曲線圖。

(a) 入射信號為非相干信號

(b) 入射信號為相干信號圖3 均方根誤差隨子帶數目的變化

由圖3可以看出，改進算法REAL-MUSIC和聚焦類算法RSS隨子帶數目變化時,RMSE并沒有太大變化，即兩種算法在相同條件下都能達到良好的DOA估計性能。

4 結束語

針對寬帶信號DOA估計算法高計算復雜度問題，本文提出使用實值矩陣改進的算法。改進算法僅使用復數協方差矩陣的虛部構造的實值矩陣，在實值矩陣的基礎上，使用子空間算法進行DOA估計。使用實值矩陣不僅能降低特征值分解過程的復雜度，而且僅需要對一半的角度進行譜峰搜索，同時補充了譜峰搜索過程中角度模糊問題的解決辦法。計算機仿真驗證了改進的有效性。