基于菲涅耳原理的小孔衍射

胡志剛，李佳迅，蘇開齊，胡清雨，朱昨磊，鄭琳麗，鄧邦林

(成都理工大學 地球物理學院，四川 成都 610059)

2018年國際青年物理學家錦標賽(IYPT)和2018年中國大學生物理學術競賽(CUPT)中有題目為“Radiant lantern”(燈光四射)，描述了以下問題：在晚上給點燃的提燈拍照，會有大量從提燈中心發出的光線顯示在照片上. 試解釋并探究這一現象. 在運用相機拍攝點亮的提燈時，得到了相應的射線的現象. 光線在經過相機鏡頭時，傳播方向發生偏離，這種光線偏離初始傳播方向的現象與光學中的衍射現象[1]是相同的. 本文從衍射的角度出發，引入光的衍射公式，嘗試解釋照片中點亮的提燈中心發出大量射線的原因，并通過Mathematica計算仿真[2]，探究相關物理量對實驗現象的影響，并設計實驗定性驗證仿真結果.

1 理論分析與模擬仿真

1.1 射線現象成因

單反相機成像示意圖[3]如圖1所示. 外部景物的光線依次通過鏡頭組、光圈、反光鏡，最后通過五棱鏡的2次反射穿過取景器. 拍攝時按下快門鍵，反射鏡抬起，光圈預縮到設定的大小和形狀，光線入射到膠片上. 光線在經過照相機后發生了衍射，實際過程對應著按下快門，光圈縮小，光在經過較小的障礙物光圈后發生了衍射.

圖1 單反照相機成像示意圖

照相機的簡化光路如圖2所示，惠更斯-菲涅耳原理[1]為

(1)

其中，C為比例系數；K(θ)為傾斜因子，其值隨著θ增大而減小；A(Q)為分布函數，即光強振幅通過光圈以后在Σ小孔上的分布；r為光圈上的點到屏衍射點的距離，k為波數.

圖2 照相機簡化光路圖

運用格林公式求解出基爾霍夫衍射公式，對比例系數和傾斜因子[4]描述為

(2)

A(ξ,η)=B(ξ,η)T(ξ,η).

(3)

(3)式表示光強振幅在通過光圈以后的分布，B(ξ,η)為光強振幅在透過光圈以前在孔上的分布情況，T(ξ,η)為光圈的透射系數，如果是空氣，此時值為1.

相機中的膠片是個很小的區域，近似認為θ不變，傾斜因子是定值，即為1，(2)式簡化得到

(4)

根據波動光學[5]，薄透鏡是相位變化元件，相位變化因子表達式為

(5)

式中EL0是透過透鏡的光強復振幅.

考慮衍射和相位變化后，透過光圈的光強振幅分布為

A(ξ,η)=B(ξ,η)T(ξ,η)TL(ξ,η).

(6)

根據傅里葉光學[6]，點光源發出的光線的光強振幅在光圈上的分布函數為

(7)

(4)式中r是光圈上點到衍射屏上點的距離，為

(8)

將(8)式二項式展開，并忽略高階小量，將得到結果和(6)式代入(4)式，得：

(9)

根據高斯公式，

為了更好地描述各點衍射強度的關系，計算衍射光照強度的大小. 光照強度的計算公式為L=|E|2，由于

故光照強度為

(10)

1.2 數值模擬

用Mathematica計算上述方程，并對計算結果可視化. 計算過程中，取光的波長為500 nm，定義r0為孔徑，即是孔的幾何中心到孔的頂點的距離，且計算過程中孔為正多邊形.

1.2.1 孔的形狀的數值模擬

首先對不同形狀的孔[7-8]進行模擬計算，得到部分衍射的理論圖樣如圖3所示.λ=500 nm，r0=0.5 mm，q=0.1 m. 從仿真結果可以看到衍射射線數目呈現的規律為：當孔的邊數為奇數時，射線數目為邊數的2倍；當孔的邊數為偶數時，射線數目與邊數一致. 對衍射射線數目的定性解釋：光在經過孔的過程中，孔的每條邊都會發生衍射，每條邊都會衍射出2條方向相反的射線條紋，當孔的邊數為奇數時，任意2條邊都是交錯的，所以得到的衍射射線條紋方向也一定是交錯著的，即不會存在完全重合在一起的2條條紋，所以衍射射線條紋數目是孔邊數的2倍. 當孔的邊數為偶數時，由于存在對邊相互平行，這2條平行邊的衍射結果也重合，所以最終在衍射屏上得到的射線數目也和孔的邊數一致.

(a)三角形

(b)四邊形

(c)五邊形

(d)六邊形

(e)七邊形圖3 不同形狀孔的計算結果

1.2.2 孔徑的數值模擬

用Mathmatica計算七邊形孔的孔徑，λ與q控制不變，仿真結果如圖4所示. 其中I為x軸方向的衍射強度，I0為中央零級亮紋的衍射強度[9-10]. 可見隨著孔徑不斷增大，各級亮紋的寬度變窄，這意味衍射減弱，說明實驗中改變光圈大小，照片上的提燈中心發出的射線強度發生變化.

(a)r0=0.1 mm

(b)r0=0.2 mm

(c)r0=0.3 mm

(d)r0=0.4 mm圖4 不同孔徑的計算結果

2 實驗研究

實驗裝置側視示意圖如5圖所示，相機型號為NIKON(D3200)的單反照相機(其光圈形狀為七邊形)，光源用點亮的手機后置電筒替代提燈. 為了探究小孔形狀對射線形狀邊數的影響，準備了尼龍絲襪(拉伸仔細觀察，其形狀為三角形小孔)，達到改變小孔形狀的目的.

圖5 實驗裝置側視示意圖

圖6(a)是用尼龍絲襪小孔的實驗結果，可以看見照片上射線條紋數目是6條. 圖6(b)是對鏡頭不做處理得到的實驗結果，鏡頭的光圈形狀是七邊形，可以看見照片上的射線條紋數目是14條. 與理論分析中關于射線條紋數目的計算是吻合的，但是實驗中的現象與理論有差別，理論算出來的射線條紋隨著距離增加是越來越細的，而實驗結果中，射線條紋卻是越來越寬. 仔細觀察光圈的形狀，并且查閱相關資料，發現光圈的形狀并不是很規則的正多邊形，而是曲邊多邊形.

(a)尼龍絲襪小孔(三角形)

(b)光圈小孔(七邊形)圖6 尼龍絲襪小孔和鏡頭的光圈實驗結果

圖7 曲邊多邊形理論仿真圖

對更符合實際情況的光圈形狀進行模擬仿真，得到如圖7所示的仿真圖. 可以看到，光圈形狀設置成曲邊多邊形后，仿真結果和實驗結果[圖6(b)]吻合程度很好. 在衍射條紋條數的定性討論中，提到了衍射條紋方向與光圈的邊垂直,這解釋了實際實驗中的條紋會隨著距離的增加越來越寬：曲邊可以看成是很多短小直邊拼接而成的，每條直邊都會產生2條與之垂直的條紋，1條曲邊產生的條紋會呈現發散狀態，出現條紋越來越寬的情況.

3 結束語

從理論和實驗兩方面研究了2018年IYPT和CUPT賽題提到的燈光四射現象. 運用菲涅耳原理解釋了照片中提燈中心發出大量射線現象，對相機進行了模型簡化，由于光線在小孔處發生衍射從而產生了射線，運用衍射公式，對現象進行了數學描述. 對孔形狀與孔徑大小進行了模擬計算仿真，發現當孔的邊數是奇數時，衍射射線條紋數目是孔邊數的2倍；當孔的邊數是偶數時，衍射射線條紋數目與孔的邊數一致. 通過在鏡頭使用尼龍絲襪小孔及不對鏡頭做處理2組實驗，得到的衍射射線條紋數目實驗結果與仿真結果一致. 對孔徑大小做數值模擬仿真，發現隨著孔徑的增大，衍射光照強度減弱.