如何說題之我見*

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(學(xué)軍中學(xué)，浙江 杭州 310012)

2018年11月8日，為期半天的教師說題團(tuán)體賽在浙江省杭州第十四中學(xué)舉行.本次比賽共有23支隊(duì)伍參加角逐，一共分為6個(gè)小組.本次團(tuán)體賽說題題目自擬，人數(shù)不多于3人，說題的時(shí)間在19～21分鐘為有效.筆者有幸擔(dān)任了本次比賽A小組的評(píng)委，該小組共有4支比賽隊(duì)伍，這4支隊(duì)伍的說題展示方式也各有不同.筆者就本次比賽中這4支隊(duì)伍的表現(xiàn)，談?wù)勔淮纬晒Φ恼f題要注意哪些事項(xiàng).

1 什么是說題

說題的形式一般可分為個(gè)人說題和團(tuán)體說題.個(gè)人說題是指由一位教師獨(dú)立完成說題的過程；而團(tuán)體說題，筆者認(rèn)為，應(yīng)該由團(tuán)隊(duì)中所有的成員一起來完成說題，也就是說團(tuán)隊(duì)中的每個(gè)成員都要參與說題.另外從準(zhǔn)備階段的時(shí)間長(zhǎng)短上來看，筆者認(rèn)為可分為限時(shí)說題和不限時(shí)說題.限時(shí)說題是指說題準(zhǔn)備的時(shí)間較短，比如題目事先不知道，通過抽簽來決定要說的題目；不限時(shí)說題是指說題準(zhǔn)備的時(shí)間較長(zhǎng)，比如題目自選，然后通過一段時(shí)間的準(zhǔn)備參加說題.本次比賽屬于不限時(shí)的團(tuán)體說題.

那什么是說題？說題不同于解題，解題只需要把解決問題的思路找出來，把解決問題的過程講清楚，說題還需要說這個(gè)題目的其他很多方面，例如來源、解法、拓展等等[1]，也就是說，說題要盡可能把跟這個(gè)題目有關(guān)的其他方面都說清楚.

解題是說題的前提，只有順利解決了這個(gè)問題，才能順利地進(jìn)行說題.說題是解題的升華，需要說題者把握住問題所考查的數(shù)學(xué)本質(zhì)，以及所用的數(shù)學(xué)思想方法，要求說題者能夠站在一個(gè)較高的角度來審視這個(gè)問題.說題還考查了說題者改編、拓展問題的能力，從多個(gè)角度考查了教師的基本功，因此通過說題來鍛煉教師是一條很好的途徑.由于說題活動(dòng)最終還是要服務(wù)于教學(xué)[2]，因此說題不僅能夠幫助教師提高自身的基本功，還能幫助教師改進(jìn)習(xí)題課、作業(yè)講評(píng)等解題教學(xué)，這也是最近幾年各地說題比賽舉辦越來越多的原因之一.

2 說題的內(nèi)容

那么說題要說些什么呢？筆者認(rèn)為，應(yīng)該包括下面幾個(gè)環(huán)節(jié).

1)說出處：即說明題目是哪里來的，是原創(chuàng)還是改編，又或者是哪一次考試的原題.

2)說背景：筆者認(rèn)為題目的背景有4種，即教材背景、高等數(shù)學(xué)背景、模型背景、生活背景.教材背景指的是該問題和教材中的哪一塊有聯(lián)系或由此改編而成.高等數(shù)學(xué)背景指的是該問題蘊(yùn)含了什么樣的高等數(shù)學(xué)結(jié)果.模型背景指的是此問題和哪個(gè)模型有聯(lián)系.生活背景指的是該問題可以和什么樣的生活經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生聯(lián)系，或者是什么樣的生活經(jīng)驗(yàn)可以抽象出這樣的問題.

3)說題目：即說清題目的已知、所求.

4)說解法：筆者認(rèn)為說題應(yīng)該要有一題多解，但是不能太過糾結(jié)于一題多解，畢竟這只是說題的一部分內(nèi)容.因此，筆者認(rèn)為有3種解法就可以了，不宜過多，最好不要超過5種解法.而且問題的各種解法應(yīng)該是要反映不同思路的，而不是在處理某一步的時(shí)候，把不同的處理方法當(dāng)作兩種解法.

5)說思想方法和考查的知識(shí)點(diǎn)：即該問題考查了什么內(nèi)容，解決問題時(shí)用到了什么數(shù)學(xué)思想方法.

6)說拓展、變式和聯(lián)系：即該問題和之前哪些問題有聯(lián)系、和哪些問題類似.另外該問題可以推廣到什么樣的問題，即為拓展(拓展可以是結(jié)果在維度上的拓展，也可以是推導(dǎo)出更為一般的性質(zhì)或結(jié)論);還能變成什么樣的問題，即為變式.

7)說教法：即這個(gè)問題怎么跟學(xué)生說清楚，使用什么樣的教學(xué)方法，需要向?qū)W生展示哪些重要的解法和思想方法.

8)說編題：即根據(jù)此問題的本質(zhì)，編擬一道試題，筆者認(rèn)為該環(huán)節(jié)應(yīng)該是一個(gè)加分環(huán)節(jié)，而不應(yīng)該是一個(gè)必要環(huán)節(jié).

3 說題的評(píng)價(jià)

比賽開始后，筆者統(tǒng)計(jì)了每支隊(duì)伍在10個(gè)環(huán)節(jié)中的得分，總分為100.將4支參賽隊(duì)伍分別記為1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)，其中1號(hào)隊(duì)伍選擇的是一道不等式最大值問題，2號(hào)隊(duì)伍選擇的是2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題，3號(hào)隊(duì)伍選擇的是2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第9題，4號(hào)隊(duì)伍選擇的是2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題.

1)說出處(5分)：由于題目是自選的，因此該環(huán)節(jié)4支隊(duì)伍都完成得較好，均為5分.

2)說背景(5分)：2號(hào)隊(duì)伍說出了該問題的教材背景，4號(hào)隊(duì)伍說出了該問題的生活背景，1號(hào)和3號(hào)隊(duì)伍沒有對(duì)此說明，故4支隊(duì)伍得分依次為：3，5，3，5.

3)說題目(10分)：這一環(huán)節(jié)只有3號(hào)和4號(hào)隊(duì)伍進(jìn)行了闡述，1號(hào)和2號(hào)隊(duì)伍沒有進(jìn)行闡述.在這一環(huán)節(jié)中，3號(hào)隊(duì)伍的闡述很明確，4號(hào)隊(duì)伍感覺并不清楚要，但在說題的其他環(huán)節(jié)中有順帶的闡述.故此環(huán)節(jié)4支隊(duì)伍得分依次為：7，7，10，8.

4)說解法(35分)：此環(huán)節(jié)各個(gè)隊(duì)伍都表現(xiàn)得很不錯(cuò)，解法很多.1號(hào)隊(duì)伍給出了10種解法，2號(hào)隊(duì)伍給出了4種解法，3號(hào)隊(duì)伍給出了8種解法，4號(hào)隊(duì)伍也給出了3種解法.但是1號(hào)隊(duì)伍自始至終沒有說明等號(hào)成立的條件，即什么時(shí)候取到最大值，扣2分.此外1號(hào)和3號(hào)隊(duì)伍，解法過多，扣1分.故4支隊(duì)伍得分依次為32，35，34，35.

5)說思想方法和考查的知識(shí)點(diǎn)(10分)：此環(huán)節(jié)1號(hào)和4號(hào)隊(duì)伍沒有闡述，2號(hào)和3號(hào)隊(duì)伍都進(jìn)行了闡述，故4支隊(duì)伍得分依次為：7，10，10，7.

6)說拓展、變式和聯(lián)系(10分)：此環(huán)節(jié)4支隊(duì)伍都有闡述，但是各有側(cè)重.1號(hào)隊(duì)伍對(duì)變式進(jìn)行了闡述；2號(hào)隊(duì)伍說明了和其他試題的聯(lián)系，沒有進(jìn)行拓展和變式，只是給出了幾個(gè)歷年的高考試題作為練習(xí)；3號(hào)隊(duì)伍闡述了變式和拓展；4號(hào)隊(duì)伍只作了有關(guān)拓展的闡述.因此相比較之下，此環(huán)節(jié)3號(hào)隊(duì)伍是表現(xiàn)最好的.最后4支隊(duì)伍得分情況為：7，7，9，7.

7)說教法(5分)：2號(hào)和4號(hào)隊(duì)伍沒有闡述這一環(huán)節(jié)，只有1號(hào)和3號(hào)隊(duì)伍作了闡述.故此環(huán)節(jié)得分為：5，3，5，3.

8)教態(tài)和語言(10分)：1號(hào)隊(duì)伍選手說題時(shí)，語速較快，感覺太激動(dòng)；2號(hào)隊(duì)伍有一位選手，似乎只專注說題，跟評(píng)委的目光交流很少；3號(hào)隊(duì)伍的選手教態(tài)自然，說題過程流暢；4號(hào)隊(duì)伍的選手說題過程也比較自然.故此環(huán)節(jié)得分為：8，8，10，9.

9)時(shí)間(10分)：1號(hào)隊(duì)伍說題時(shí)間明顯不夠，只有15分鐘；另外3支隊(duì)伍的說題時(shí)間都在規(guī)定范圍內(nèi)，故此環(huán)節(jié)得分為：7，10，10，10.

10)編題：此環(huán)節(jié)沒有一支隊(duì)伍作闡述，故沒有隊(duì)伍得分.

4 說題舉例

下面筆者以本次比賽中的一道題目為例，圍繞說題的8個(gè)環(huán)節(jié)來闡述應(yīng)該如何說題，給讀者一個(gè)參照，也希望借此拋磚引玉，若有不當(dāng)之處，還請(qǐng)各位同行批評(píng)指正.

例1已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx，若f(x)≥0，求a的值.

1)說出處：本題是2017年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅲ理科試題第21題的第1)小題.

2)說題目：已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx，這是一個(gè)含參數(shù)的函數(shù)，若對(duì)于定義域R+上任意一個(gè)x，都有f(x)≥0成立，求參數(shù)a的值;也就是當(dāng)函數(shù)f(x)的最小值非負(fù)時(shí)，求a的范圍.

3)說思想方法和考查的知識(shí)點(diǎn)：該題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，其中包括導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.另外該題還考查了求函數(shù)最小值的方法或者對(duì)恒成立問題的處理方法.在求解過程中，還需要一定的解不等式功底.該題的解答運(yùn)用了分類討論、轉(zhuǎn)化和化歸等數(shù)學(xué)思想.

4)說解法：

若a≤0，則f(x)在R+上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(1)=0，所以在(0,1)上函數(shù)值為負(fù)，矛盾.

若a>0，則f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,a)上單調(diào)遞減，從而f(a)是f(x)的最小值，即只需

f(a)=a-1-alna≥0.

(1)

lnt≥t-1.

(2)

由重要不等式t-1≥lnt，知式(2)的等號(hào)成立，即a=1.

解法2原問題等價(jià)于當(dāng)x∈R+時(shí)，不等式x-1-alnx≥0恒成立，求參數(shù)a的值.由此可以考慮參數(shù)分離,要分離參數(shù)a，需要討論x和1的大小.

若x=1，則原不等式恒成立，即a∈R.

由重要不等式t-1≥lnt，知

則

g′(x)≥0，

于是a≤1.

綜上所述，a=1.

上述解法1和解法2屬于比較基本的想法，學(xué)生都能想到.由于解法2使用了高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則，因此解法2的后半段并不能被大部分學(xué)生所接受.根據(jù)波利亞解題原理，解完題之后，要考慮有沒有其他更好的解法.由解法1可知f(1)=0恒成立，因此從這個(gè)條件入手，經(jīng)思考得到如下解法3.

5)說背景：本題的背景是不等式x-1≥lnx，這可以由“函數(shù)y=lnx在x=1處的泰勒展開式”或“上凸函數(shù)y=lnx的圖像不高于其在x=1處的切線”得到.

6)說拓展、變式和聯(lián)系：首先說題目的變式，本題可以改變?cè)瘮?shù)的定義域，使得在解法2中可以避免使用洛必達(dá)法則，從而讓題目更有訓(xùn)練價(jià)值.

得變式1：

變式1已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx,其中x∈(e,e2),若f(x)≥0,求a的范圍.

由于原函數(shù)的定義域?yàn)镽+，因此可得到變式2：

變式2已知函數(shù)f(x)=x2-x-axlnx,若f(x)≥0,求a的范圍.

再說背景的引申拓展，即重要不等式的變形，這里反復(fù)使用的不等式“x-1≥lnx”有著很多重要的變形，如：

1) ex≥x+1；

3)x≥ln(x+1).

然后說題目的聯(lián)系如下：

例2已知數(shù)列{xn}，滿足x1=1,xn=xn+1+ln(xn+1+1)(其中n∈N*),證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，

1),3)略；

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

分析易知原命題即證

例1和例2用的工具都是不等式x-1≥lnx及其變形，另外它們與以下例3在解法上也有相通之處.

例3已知f(x)=ex-ln(x+m)，若m≤2，求證：f(x)≥0.

(2013年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第21題)

分析因?yàn)閑x≥x+1≥ln(x+2)，又f(x)≥ex-ln(x+2)，所以結(jié)論得證.

例4已知函數(shù)f(x)=sinx-kx，若在[0,+∞)上，f(x)≥0恒成立，求k的最小值.

7)說教法：首先讓學(xué)生讀題，明白已知什么、求什么，給學(xué)生思考的時(shí)間，并通過適時(shí)地引導(dǎo)讓學(xué)生學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，從而解決問題.本題的難點(diǎn)在于解不等式a-1-alna≥0以及解法2中的洛必達(dá)法則.

筆者認(rèn)為解題教學(xué)應(yīng)該是讓學(xué)生提出想法，然后順著學(xué)生的想法給出解決方案的過程.因本題總體難度不大，故只要進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，學(xué)生既可以用解法1也可使用解法2.若學(xué)生使用解法2則應(yīng)給予肯定，由于解法2要使用洛必達(dá)法則，因此最后可以由教師給出解決方案.解題之后要進(jìn)行反思，提醒學(xué)生考慮有沒有其他更優(yōu)的解法，如發(fā)現(xiàn)f(1)=0，從而得到解法3或者其他解法.

8)說編題:由重要不等式的變形x≥ln(x+1)，可得以下例5：

例5若ex=1+xey，試比較x,y的大小.

例6已知函數(shù)f(x)=ex-x，若在[0,+∞)上，f(x)≥ax2+1恒成立，求a的最大值.

5 感想

在本次比賽中，有些隊(duì)伍選的題目太難，比如4號(hào)隊(duì)伍的選題是2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科卷的壓軸題，得分率很低，因此筆者認(rèn)為將此題作為說題的題目不是很妥.選題是說題的關(guān)鍵，不宜選得太難，否則會(huì)影響到說題的效果.賽后筆者和參賽選手們也作了交流，有部分參賽選手在選題時(shí)，過于注重解法的多樣性，而忽視了說題的其他環(huán)節(jié).為了追求解法的多樣性，有不少隊(duì)伍都選擇了向量或者不等式作為說題的主題.

在說解法這個(gè)環(huán)節(jié)，筆者認(rèn)為應(yīng)該要注重通性通法，注重學(xué)生能接受、能掌握的方法，讓它們成為說解法這一環(huán)節(jié)的主角，同時(shí)自動(dòng)忽略一些不常規(guī)的解法，對(duì)秒殺法這樣的奇思妙想下“禁令”，或者作為說解法的一種點(diǎn)綴.最后，我們應(yīng)該對(duì)題目的變式和拓展多做些思考和題組訓(xùn)練，讓學(xué)生逐漸熟悉通性通法，內(nèi)化方法.