基于面元法的船舶螺旋槳附連水質(zhì)量與阻尼計(jì)算方法研究

鄒冬林 ， 張建波 ， 塔 娜 ， 饒柱石 ，3

（1.上海交通大學(xué) 振動(dòng)、沖擊、噪聲研究所，上海 200240；2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；3.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240）

0 引 言

船舶推進(jìn)軸系是船舶水中航行的動(dòng)力系統(tǒng)，也是船舶組件中非常重要的部件。其由螺旋槳、軸及軸承等組成。由于螺旋槳通常工作在不均勻的流場中，且其總是存在質(zhì)量偏心，所以推進(jìn)軸系既受到流體的隨機(jī)激勵(lì)又受到不平衡載荷的周期性激勵(lì)。當(dāng)激勵(lì)頻率與軸系某階固有頻率接近時(shí)，會(huì)引起軸系強(qiáng)烈的共振，導(dǎo)致船舶振動(dòng)異常并可能引發(fā)安全事故。因此對推進(jìn)軸系的動(dòng)力學(xué)特性分析一直以來都是國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)[1-5]，而準(zhǔn)確預(yù)測軸系的固有頻率和模態(tài)振型是軸系動(dòng)力學(xué)分析中的很重要的工作，同時(shí)也是難點(diǎn)。這是因?yàn)槠溆绊懸蛩囟喽覐?fù)雜，比如支承特性、聯(lián)軸器特性及螺旋槳質(zhì)量等等。目前在大多數(shù)推進(jìn)軸系動(dòng)力學(xué)分析中，常常把螺旋槳簡化為集中質(zhì)量。文獻(xiàn)[6]指出對推進(jìn)軸系固有頻率及模態(tài)振型計(jì)算不夠準(zhǔn)確有部分原因是無法準(zhǔn)確估計(jì)螺旋槳的“質(zhì)量”。這里所指的質(zhì)量除了螺旋槳本身的金屬質(zhì)量外還包含了螺旋槳與流體間相互作用的“虛擬質(zhì)量”。這是因?yàn)槁菪龢ぷ髟谒橘|(zhì)中，水對螺旋槳產(chǎn)生復(fù)雜的流體反作用力。研究表明有部分流體反作用力和螺旋槳的振動(dòng)加速度成比例，工程上稱之為“流體附加質(zhì)量”或“附連水質(zhì)量”。有資料顯示，部分螺旋槳縱向流體附加質(zhì)量接近螺旋槳的金屬質(zhì)量，因而不能忽略[7]。因此對螺旋槳質(zhì)量的準(zhǔn)確估計(jì)關(guān)鍵取決于附連水質(zhì)量的計(jì)算，因?yàn)閷τ诮饘儋|(zhì)量而言，螺旋槳一旦被設(shè)計(jì)好后，基本就確定下來。而要正確預(yù)測螺旋槳的附連水質(zhì)量，需要掌握流體與螺旋槳之間相互作用方式及壓力生成機(jī)理。目前準(zhǔn)確計(jì)算螺旋槳附連水質(zhì)量仍是一個(gè)難點(diǎn)。類似地，流體作用力中與速度成比例的部分稱之為“流體附加阻尼”。附加阻尼在軸系動(dòng)力學(xué)分析中也是很關(guān)鍵的參數(shù)，因?yàn)槠淇梢砸种戚S系的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，尤其在共振區(qū)時(shí)。

綜上所述，對于推進(jìn)軸系設(shè)計(jì)工作者而言，要想準(zhǔn)確預(yù)測軸系的固有頻率和模態(tài)振型，當(dāng)務(wù)之急是如何準(zhǔn)確且快速計(jì)算螺旋槳附加質(zhì)量與附加阻尼。這是一項(xiàng)非常有必要和意義的工作，也是一項(xiàng)挑戰(zhàn)。而本文的工作正是從這一問題出發(fā)的。

目前，對于結(jié)構(gòu)體或螺旋槳在流場中附加質(zhì)量與附加阻尼的處理上，國內(nèi)外都有不少文獻(xiàn)。概括起來主要分為三類：第一類是經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法[8-10]。此類方法用一個(gè)系數(shù)乘以螺旋槳金屬質(zhì)量來估計(jì)附加質(zhì)量，比如文獻(xiàn)[8]中規(guī)定縱向振動(dòng)附加質(zhì)量為金屬質(zhì)量的60%至100%。文獻(xiàn)[9]中規(guī)定回旋振動(dòng)附加質(zhì)量為金屬質(zhì)量的10%到30%。這類方法操作簡單，所以目前仍被廣泛采用。但是由于其沒有考慮螺旋槳幾何形狀的影響，也沒有考慮不同自由度間的質(zhì)量耦合影響，因而精度很差，而且不能估計(jì)附加阻尼的影響。第二類是實(shí)驗(yàn)法。該方法通過測試軸系在空氣中與水中固有頻率的變化，從而反求出螺旋槳附加質(zhì)量。如Burrill[11]對大量螺旋槳進(jìn)行扭轉(zhuǎn)和軸向固有頻率測試，從而反求出了扭轉(zhuǎn)與縱向方向的附加質(zhì)量。Wereldsma[12]和Wijk[13]也做了類似實(shí)驗(yàn)。此類方法通常難以考慮不同自由度間的質(zhì)量耦合效應(yīng)，同時(shí)受結(jié)構(gòu)阻尼影響，因而難以正確估計(jì)流體的附加阻尼。第三類是數(shù)值計(jì)算法，其中又可以分為兩種思路。第一種思路是通過力反求的方法。假設(shè)螺旋槳為一個(gè)單自由度系統(tǒng)，在水中以某一確定頻率做簡諧運(yùn)動(dòng)，通過數(shù)值方法計(jì)算出作用在螺旋槳上合力隨時(shí)間的變化規(guī)律，再經(jīng)過FFT變換到頻域，找到對應(yīng)頻率下的力的幅值與相位，由單自由度理論知識反求出附加質(zhì)量與附加阻尼。而在計(jì)算水動(dòng)力時(shí)通常采用基于勢流體的升力線理論、升力面理論、面元法或更為復(fù)雜的基于粘流體的CFD方法。如Hylaride[14]采用升力面理論研究了螺旋槳的附加質(zhì)量與附加阻尼，其中螺旋槳水動(dòng)載荷通過升力面理論計(jì)算得到。類似地，Schwanecke[15]和Vassilopoulos[16]也采用升力面理論計(jì)算了螺旋槳的附連水質(zhì)量與阻尼。Salehyar[17]分別采用葉元體理論和面元法求解風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片的縱向附加質(zhì)量與附加阻尼，也是通過力來反求。Gaschler[18]采用面元法對空化螺旋槳進(jìn)行了附加質(zhì)量與附加阻尼的近似計(jì)算，其中水動(dòng)載荷通過面元法計(jì)算得到。Esch[19]求解了螺旋槳縱向與扭轉(zhuǎn)方向附加質(zhì)量與阻尼，考慮尾渦影響，研究表明尾渦對附加質(zhì)量阻尼有影響，其中螺旋槳水動(dòng)力通過CFD方法求解。此類方法原理上都屬于頻域法，即使規(guī)定螺旋槳按某一確定頻率簡諧振動(dòng)，載荷中也會(huì)存在倍頻分量，而計(jì)算時(shí)忽略了載荷的高階倍頻分量，因而帶來一定誤差。因此當(dāng)假設(shè)不同的簡諧頻率運(yùn)動(dòng)時(shí)，得到附加質(zhì)量與附加阻尼均不同，附加質(zhì)量與附加阻尼隨頻率變化。Blevins[20]在其專著指出當(dāng)不考慮流場壓縮性及粘度時(shí)（勢流體），附加質(zhì)量僅與結(jié)構(gòu)的形狀有關(guān)。因此該結(jié)論與上述方法的結(jié)果有出入，這是由于忽略載荷中的高階倍頻分量導(dǎo)致的。數(shù)值方法第二種思路是通過計(jì)算流體動(dòng)能的方法，該方法是計(jì)算附加質(zhì)量的經(jīng)典方法，在很多教科書中均有提及。該方法基于勢流理論，定義附加質(zhì)量是由于結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致流體動(dòng)能變化引起的，從而通過計(jì)算出流體動(dòng)能后求出附加質(zhì)量。如Ghassemi[21]利用面元法，在槳葉表面分布源與渦，計(jì)算了其附加質(zhì)量矩陣。其中忽略了尾渦影響。類似地，Hutchison[22]利用面元法法研究了導(dǎo)管螺旋槳的附加質(zhì)量，也沒有考慮尾渦的影響。一方面對于螺旋槳葉片這種升力體結(jié)構(gòu)，如果不考慮尾渦的影響，會(huì)造成一定的誤差[19]。另一方面這種基于動(dòng)能的經(jīng)典方法不能計(jì)算水動(dòng)力引起的附加阻尼。目前，國內(nèi)研究螺旋槳附連水質(zhì)量的公開文獻(xiàn)非常少。郭益民[23]利用Parsons提出的近似公式計(jì)算了螺旋槳縱向與扭轉(zhuǎn)方向附加質(zhì)量，屬于上文分類方法中第一類經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法。李泓運(yùn)等[24]利用有限元軟件中的聲單元計(jì)算了螺旋槳葉片彈性變形下的附連水質(zhì)量，忽略軸的存在，沒有考慮尾渦影響。屬于數(shù)值方法中的基于動(dòng)能的方法。另外還有不少針對其它結(jié)構(gòu)附連水質(zhì)量的研究文獻(xiàn)。文獻(xiàn)[25-27]用的是第三類方法第二種思路中基于動(dòng)能的經(jīng)典方法，而文獻(xiàn)[28]是第三類方法第一種思路中基于力反求的方法。

綜上所述，目前國內(nèi)外針對螺旋槳附連水質(zhì)量的計(jì)算分為經(jīng)驗(yàn)估計(jì)、實(shí)驗(yàn)測量和數(shù)值研究三大類。經(jīng)驗(yàn)估計(jì)誤差太大，實(shí)驗(yàn)測量成本高，且兩種方法均不能估計(jì)耦合質(zhì)量與附加阻尼。數(shù)值研究中，部分是從頻域上基于力反求附連水質(zhì)量和附加阻尼，此種方法求解精度不夠；部分是從計(jì)算流體動(dòng)能出發(fā)，此種基于動(dòng)能的經(jīng)典方法不能計(jì)算附加阻尼，而且大部分都沒考慮尾渦影響。針對這些不足，本文基于勢流理論，利用面元法構(gòu)建一種新的求解螺旋槳附連水質(zhì)量的方法，該方法不僅可以求解附連水質(zhì)量，還可以求解附加阻尼，同時(shí)也考慮了尾渦的影響。在求解附連水質(zhì)量上，本文證明了該方法與基于動(dòng)能的經(jīng)典方法是等價(jià)的。文中最后給出幾個(gè)算例，證明本文方法的合理性。

1 面元法簡介

目前已有多種成熟方法預(yù)報(bào)螺旋槳水動(dòng)力，如升力線理論、升力面理論、面元法（又稱邊界元方法BEM）、CFD法等。升力線理論含有大量假設(shè)，因而只適用于輕載螺旋槳。升力面理論雖然可以較為準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)總推力和總扭矩，但由于沒有考慮螺旋槳葉片的厚度，因而其預(yù)報(bào)的槳葉面壓力分布不夠準(zhǔn)確。面元法考慮了葉片厚度的影響，因此不僅可以準(zhǔn)確計(jì)算總推力與總扭矩，而且可以較準(zhǔn)確地計(jì)算槳葉表面的壓力分布。同時(shí)相比于早期的面元法，目前又有了不少改進(jìn)，應(yīng)用范圍也越來越廣泛[29-32]。CFD方法盡管也能準(zhǔn)確計(jì)算槳葉表面壓力分布，但是由于其計(jì)算量大，耗費(fèi)時(shí)間長，因而應(yīng)用并不廣泛。因此本文基于面元法相關(guān)理論來構(gòu)建螺旋槳附連水質(zhì)量及附加阻尼的計(jì)算方法。

面元法分為基于速度和基于速度勢的。本文采用較為簡捷的基于擾動(dòng)速度勢的面元法。由于篇幅限制，本文對面元法的描述從簡，詳細(xì)請見文獻(xiàn)[33-34]。圖1是螺旋槳軸變形前后示意圖。建立兩套坐標(biāo)系：OXYZ為慣性靜止坐標(biāo)系，oxyz為隨體坐標(biāo)系，附在葉片上。假設(shè)軸末端位移表示為：相應(yīng)的速度可以表示為：

假設(shè)：（1）流體無粘、無旋且不可壓縮；（2）螺旋槳浸水足夠深，即不考慮自由液面影響，同時(shí)流體域延伸到無限遠(yuǎn)；（3）不考慮空化影響；（4）尾渦形狀預(yù)先假設(shè)，即為線性尾渦。取一足夠大的外部控制面將其封閉在內(nèi)。如圖2所示。

圖2 螺旋槳及周圍流場示意圖Fig.2 Propeller and fluid around it

流域的邊界面由物面SB，尾渦面SW和外邊界面S∞組成。在該流場中可用擾動(dòng)速度勢Φ來表示螺旋槳的擾動(dòng)，在oxyz坐標(biāo)系中，Φ滿足Laplace方程：

同時(shí)擾動(dòng)速度勢在邊界面S的每一部分上，還要滿足以下邊界條件：

（1）當(dāng)外控制面距螺旋槳表面極遠(yuǎn)時(shí)，其上的擾動(dòng)速度趨于零，即

（2）假設(shè)尾渦面厚度為零，兩邊沒有速度跳躍和壓力跳躍，即

式中：Q1是尾渦面上的點(diǎn)；“+”和“-”分別代表尾渦面上、下表面。

（3）在物面上滿足法向速度為零的運(yùn)動(dòng)邊界條件，即

式中：Vin=V0+ω×r為不考慮軸振動(dòng)時(shí)的進(jìn)流速度，V0表示來流速度，ω表示螺旋槳旋轉(zhuǎn)速度；Vb表示由軸系振動(dòng)引起的葉片速度；nQ是邊界面上的單位法向量。

在oxyz坐標(biāo)系中，非定常Bernoulli方程可表示為：

式中：P0為參考點(diǎn)處流體壓力；ρ為流體密度；V=Vin+▽Φ，為總擾動(dòng)速度。

由于擾動(dòng)勢Φ滿足線性疊加原理，由（4）式可知，擾動(dòng)勢可以分成兩部分，即

式中：φ由Vin進(jìn)流速度產(chǎn)生；φ由Vb產(chǎn)生。因此相應(yīng)地可以分解成兩個(gè)問題：

由于▽φ?Vin、▽φ?Vin且Vb?Vin，忽略高階小量，則相應(yīng)的非定常Bernoulli方程可分解為

式中：V1=Vin+▽φ。

對于（7）式和（9）式，可以理解為求解剛性螺旋槳在非均勻流場中的水動(dòng)力，屬于常規(guī)問題，很多文獻(xiàn)[33-34]詳細(xì)說明了其求解過程。由于本文采用線性假設(shè)，因此對進(jìn)流速度引起的擾動(dòng)勢φ與軸系振動(dòng)速度引起的擾動(dòng)勢φ的求解是兩個(gè)相互獨(dú)立的過程。換句話說擾動(dòng)勢φ對附加質(zhì)量及附加阻尼不會(huì)產(chǎn)生直接影響，不需要考慮（本文只針對Vin引起葉片變形很小的情況，在Vin導(dǎo)致葉片變形很大時(shí)，此時(shí)葉片的幾何形狀發(fā)生改變，從而會(huì)導(dǎo)致附加質(zhì)量與附加阻尼產(chǎn)生相應(yīng)變化，此種情況超出本文研究范圍。）。因此，接下來本文只討論求解由（8）式和（10）式所構(gòu)成的問題，因?yàn)楦郊淤|(zhì)量與附加阻尼只與這兩式有關(guān)。

因?yàn)椋?）式滿足 Laplace 方程，根據(jù) Green 定理，當(dāng)場點(diǎn)P（x，y， ）z在物面上時(shí)，擾動(dòng)速度勢可以表示為（結(jié)合邊界條件）：

式中：Δφ（Q1）為通過尾渦面的速度勢跳躍，可以記為

對于復(fù)雜形狀結(jié)構(gòu)，（11）式很難求解析解，因此采用數(shù)值面元法求解。假設(shè)將螺旋槳一個(gè)葉片及相應(yīng)輪轂劃分成N個(gè)四邊形面元，將該葉片泄出的尾渦劃分成NW個(gè)面元。如圖3所示。

（11）式可離散成：

圖3 螺旋槳的面元分布Fig.3 Panel arrangement of propeller and wake

式中：δij為 Kronecker函數(shù)；Cij，Wil和Bij為影響系數(shù)。定義如下：

式中：Z表示葉片數(shù)。（12）式寫成矩陣形式：

使用Morrino Kutta條件，因此Aij值定義如下：

式中：“±”表示隨邊處上下面元。

（14）式進(jìn)一步可以表示為：

2 附連水質(zhì)量與阻尼求解

以第i個(gè)面元為例推導(dǎo)附連水質(zhì)量與阻尼。設(shè)第i個(gè)面元中心坐標(biāo)為 （xi，yi，zi），則其由軸末端的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)引起的合速度為：

則有

由（16）式和（18）式可得：

同時(shí)有：

式中：Hij為影響系數(shù)，為速度影響系數(shù)，文獻(xiàn)[33]均給出了其解析公式。

將（20）式、（21）式代入（10）式得：

所有面元產(chǎn)生的合力與合力矩為：

由（24）式可得附連水質(zhì)量與阻尼矩陣分別為：

由此可見，[m]和[c]是一個(gè)6階方正，代表了6個(gè)自由度。非對角線上不為零的數(shù)表示不同自由度間質(zhì)量與阻尼具有耦合效應(yīng)。以質(zhì)量矩陣為例，文獻(xiàn)[7]給出其一般形式為：

由此可見，附連水質(zhì)量矩陣是對稱的。其中m32與-m32等中的負(fù)號是由于右手坐標(biāo)系下角度正負(fù)差異引起的[7]。

3 等價(jià)性證明

前文提及過計(jì)算附連水質(zhì)量矩陣的經(jīng)典方法（第二類思路）是從動(dòng)能角度出發(fā)。此類方法無法求解附加阻尼矩陣。本文以文獻(xiàn)[21，35-36]中的算法為例，闡述通過計(jì)算流體動(dòng)能而求解附連水質(zhì)量矩陣的經(jīng)典方法。最后證明在求解流體附加質(zhì)量矩陣上，本文所構(gòu)建的方法與基于動(dòng)能的經(jīng)典方法是等價(jià)的。

設(shè)由于物體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的流體動(dòng)能為：

上式變換中應(yīng)用了Green定理。因?yàn)閯傮w空間運(yùn)動(dòng)有6個(gè)自由度，因此將速度擾動(dòng)勢φ線性分解為6個(gè)分量，對應(yīng)這6個(gè)自由度。設(shè)第i個(gè)面元φ可分解為：

由（8）式、（18）式和（28）式可知：

將（28）式和（29）式代入（27）式，經(jīng)化簡（詳見文獻(xiàn)[19]），得到質(zhì)量矩陣[m1]為：

（30）式與（25）式第一式對比可知，兩者完全等價(jià)。 因?yàn)橛桑?0）式和（28）式可知｝恒成立。

因此本文所提方法與基于動(dòng)能的經(jīng)典方法在求解附連水質(zhì)量矩陣時(shí)完全等效。而本文所提方法的一個(gè)優(yōu)勢是可以計(jì)算流體引起的附加阻尼。

4 數(shù)值結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文方法正確性，以幾種結(jié)構(gòu)為分析對象，與理論結(jié)果或其它文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果作對比，證明本文方法的有效性。

算例1：球體。半徑為0.1 m的球浸潤在無限流場中，由于球的幾何形狀很規(guī)則，因此附連水質(zhì)量有解析解。將球表面劃分成1 200個(gè)四邊形面元，由于其為非升力體，因此可以不考慮尾渦的影響，面元分布如圖4所示。計(jì)算結(jié)果如（31）式所示。

圖4 球面元分布Fig.4 Panel arrangement of sphere

由于其對稱形狀，只有m11、m22和m33有值且相等，其余均為零，這與理論解結(jié)果一致，文獻(xiàn)[35]給出其理論解：

為了驗(yàn)證網(wǎng)格收斂性，將球表面分別劃分成三種不同數(shù)目面元（1 200，2 400，4 800），結(jié)果如表1所示。

表1 面元法與理論解結(jié)果比較Tab.1 Comparison of the results between the panel method and analytical results

由表1可知，數(shù)值解與理論解之間的相對誤差均很小；隨著面元數(shù)目的增加，相對誤差越來越小，數(shù)值解收斂于理論解，表明了本文方法的正確性。

算例2：橢球體。設(shè)x軸半徑為1 m，y軸與z軸半徑均為0.2 m。劃分7 000個(gè)面元。如圖5所示。計(jì)算結(jié)果如（33）式所示。

由于其對稱形狀，有m22=m33，m44=0及m55=m66，其余均為零，這與理論解結(jié)果一致，理論解由文獻(xiàn)[35]給出，如表2所示。

表2 面元法與理論解結(jié)果對比Tab.2 Comparison of results between the panel method and analytical results

由表2可知，數(shù)值解與理論解之間的相對誤差均很小，表明了本文算法的正確性。

圖5 橢球體面元分布 Fig.5 Panel arrangement of ellipsoid

圖6 螺旋槳及尾渦面元分布Fig.6 Panel arrangement of propeller and wake

算例3：螺旋槳。以DTRC4119螺旋槳為例，該螺旋槳無側(cè)斜，無縱傾，3葉片，質(zhì)量約為4.1 kg。螺旋槳主要幾何參數(shù)詳見文獻(xiàn)[33]。假設(shè)旋轉(zhuǎn)速度ω=1 rad/s，進(jìn)給速度J=0.833。將槳葉表面及尾渦共劃分成1 065個(gè)面元，如圖6所示。

（34）式和（35）式分別為計(jì)算的附加質(zhì)量矩陣與附加阻尼矩陣（均為國際標(biāo)準(zhǔn)單位）。

由此可以看出，不考慮耦合效應(yīng)，主對角線上縱向附加質(zhì)量約占金屬質(zhì)量的51%，橫向（垂向）附加質(zhì)量約占金屬質(zhì)量的22%，這基本都在文獻(xiàn)[8-9]的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)范圍之內(nèi)。而文獻(xiàn)[8-9]中的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)范圍過于寬廣，實(shí)際選取中完全憑經(jīng)驗(yàn)，難以操作，而本文的方法準(zhǔn)確地給出了數(shù)值。

文獻(xiàn)[22]給出了Parsons和Vorus采用升力面理論計(jì)算螺旋槳附加質(zhì)量矩陣的結(jié)果，如（36）式所示：

比較（34）式和（36）式，可得兩者相對誤差的絕對值如（37）式所示：

由（37）式可知附加質(zhì)量矩陣結(jié)果相差不大，最大相對誤差為11.1%。主要原因有：（1）對槳葉表面進(jìn)行四邊形面元?jiǎng)澐謺r(shí)帶來的離散誤差；（2）Parsons和Vorus用的是升力面理論，前文中指出升力面理論由于沒有考慮螺旋槳葉片的厚度，其預(yù)報(bào)的槳葉面壓力分布不如面元法準(zhǔn)確，因而升力面理論本身存在理論誤差。盡管如此，仍然可以看出，本文方法與Parsons和Vorus的方法誤差均在工程接受范圍之內(nèi)，因此進(jìn)一步證明了本文方法的有效性。由于對螺旋槳附加阻尼的計(jì)算沒有找到相關(guān)參考數(shù)據(jù)，因此本文沒有對其做比較。

5 結(jié) 論

面元法是螺旋槳水動(dòng)力分析中常用的方法。本文利用面元法，構(gòu)建了螺旋槳隨軸系在水中振動(dòng)時(shí)的附連水質(zhì)量與阻尼數(shù)值計(jì)算方法，并且證明了本文所提方法與經(jīng)典的基于動(dòng)能的方法是完全等價(jià)的。基于動(dòng)能的經(jīng)典方法無法求解附加阻尼，而本文的方法可以方便求解附加阻尼。最后以球體、橢球體及螺旋槳為對象給出幾個(gè)算例，并與解析解或其它計(jì)算結(jié)果比較，附加質(zhì)量結(jié)果吻合良好，證明本文方法的有效性。同時(shí)本文方法可以方便擴(kuò)展到船體、水翼、槳舵及導(dǎo)管螺旋槳等結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量與阻尼的計(jì)算，因此該方法在船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)物的流固耦合分析中具有較為廣闊的應(yīng)用前景。