一種基于離散模塊的浮體水彈性響應預報方法

位 巍 ， 付世曉 ， 宋春輝

（1.上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240；2.高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240）

0 引 言

近三十年來，超大型浮體在海上資源開發、海洋空間利用以及海上軍事基地建設等方面發揮了重大的作用。最早進行超大型浮體研究的是日本和美國，日本在90年代提出了箱式超大型浮體，主要用于海上機場、離岸集裝箱碼頭等作用[1]；美國為了滿足其軍事需求，建造了移動式海上基地[2]；挪威正在發展水下浮橋，用于連接和跨越該國的多個海灣[3]；我國在島礁附近布置超大型浮體作為物流基地和保障[4-5]。與常規的海洋浮式結構物或海洋船舶相比，超大型浮體由于其尺寸巨大，相對剛度較低，因此在其動力響應和結構分析時必須采用水彈性的方法。

目前，對于其響應和受力的分析主要基于水彈性理論[6-8]。吳有生和杜雙興[9]采用三維線性水彈性理論對彈性連接的多剛體系統的模型的結構運動和連接件的應力響應進行了分析，為此類結構連接器的設計提供參考。Fu和Moan[10]采用三維水彈性方法求解了帶有復雜連接的結構的水彈性響應，并對連接件的位移響應進行了研究。宋晧和崔維成[11]采用多重尺度法和常規的有限水深格林函數法對置于非均勻海底上的超大型浮體的響應進行了分析，并與試驗結果進行了對比，證明非均勻海底對超大型浮體有一定影響。雖然基于模態疊加的水彈性方法已經經過了長足的發展并且已被廣泛地應用于超大型浮體的水彈性響應的計算中[8，12]，但是對于工程中關心的連接器的受力，該方法研究較少；另一方面，超大型浮體面臨的非均勻海洋環境問題并沒有得到很好的解決。

本文基于多體動力學和有限元方法，建立了一種求解浮體水彈性響應的數值方法[13-14]。此方法中，將連續的浮體離散為若干個剛體子模塊，基于三維勢流理論并考慮各模塊之間的水動力干擾，求得作用在各模塊上的波浪激勵力以及附加質量和阻尼系數；各模塊之間通過等效梁的剛度陣連接，從而保證浮體變形的連續性；將各模塊的水動力系數以及波浪激勵力和子模塊之間的剛度陣耦合，從而建立了多模塊系統的運動方程。進一步，通過模態疊加方法，將本文提出的數值計算方法與傳統的水彈性方法建立聯系。本文的方法不僅可以求解位移響應和結構內力，也可以求得主坐標響應和廣義波浪激勵力，而后兩者原先只能通過傳統的水彈性方法得到。通過兩種方法的對比，驗證了本文的數值方法在求解水彈性響應中的正確性。本文的方法基于多模塊的思想，有利于對非均勻海洋環境和連接件的受力進行分析。

1 理論背景

1.1 坐標系的定義

為了描述N個浮體組成的多浮體系統在波浪作用下的運動響應，采用三套右手坐標系，分別為大地坐標系OXYZ、隨體坐標系omxmymzm以及參考坐標規定波浪入射角方向與X軸平行且指向X軸正向時，θ=0°，逆時針方向為正。

圖1 多體系統的坐標系定義Fig.1 Coordinate system of multiple floating body system

1.2 波浪激勵力以及附加質量和阻尼系數

基于多體動力學理論和線性化的伯努利方程，可以得到作用在各浮體上的波浪激勵力，附加質量和阻尼系數：

其中：S（）m為浮體m靜置于靜水中時的濕表面積；μ和c分別表示附加質量和阻尼系數，當m=n時，表示由于浮體m本身的運動引起的附加質量和阻尼系數；m≠n時表示由于浮體n的運動引起的浮體m的附加質量和阻尼系數。

1.3 頻域內運動方程

對于連續的超大型浮體，將其離散為有限個剛體模塊后，單獨的剛體模塊不僅受相鄰模塊的水動力干擾，而且還受到相鄰模塊運動位移的限制，即必須要保證整個浮體的變形是連續的。相鄰的模塊之間通過在其等效中心設置伯努利——歐拉梁進行連接。因此，基于多體動力學以及有限元的思想，可以建立浮體在波浪作用下的浮體的動力學方程：

其中：[M]，[A]，[C]分別為各子模塊組成的質量矩陣、附加質量矩陣以及阻尼矩陣；[c]為結構的阻尼矩陣；[K]為子模塊靜水恢復力矩陣；[k]為模塊之間連接處的總剛度陣；｛x｝為各模塊的位移值；｛Fw｝為各子模塊受到的波浪激勵力。

1.4 與傳統水彈性方程的關系

方程（3）也可以看作是有N個節點的結構的有限元方程，每個節點有六個自由度。解此運動方程一般有兩種方法，一類是直接積分法，就是按時間歷程對上述微分方程直接進行數值積分，常用的方法有Newmark法、Wilson-θ法；另一類是模態疊加法（Mode Superposition Method），這里介紹模態疊加法。

對于連續結構的系統，在外力的作用下通常只被激起較低一部分的振型，而大部分高階振型被激起的分量很小，一般可忽略不計，因此假若對運動方程（3）起主要作用的是其前m階振型，則浮體的位移響應可以由m階振型線性疊加得到，可以表示為

其中：pr（t）為系統的第r階主坐標響應，｛p｝為主坐標響應列陣，為m×1的列陣；｛Dr｝為第r階振型向量，[D]為振型矩陣，[D]= [｛D1｝，｛D2｝，…，｛Dm｝]，為 6N×m的矩陣；當r=1，…，6 時，｛Dr｝表示結構的前6階剛體運動模態列向量，可以寫為：

其中： （xG，yG，zG）為連續浮體的重心的位置， （xj，yj，zj）為連續浮體上第j個節點在隨體坐標系中的坐標值。

將（5）式代入到方程（3）中，得

將上述方程左右兩邊同時乘以[D]T，得到

由振型關于質量陣和剛度陣的正交性可知，

其中：[m]，[b]，]分別為浮體的廣義質量陣、廣義阻尼和廣義剛度陣；[a]，[B]，]分別為流體的廣義附加質量、廣義阻尼和廣義流體恢復力系數矩陣；｝為廣義波浪激勵力列陣，這些參數的表達式為：

上式即為廣義線性水彈性運動方程式，本文的數值計算方法最后可以回歸到傳統的水彈性方程中。

方程（9）中的各個變量，既與空間坐標有關又與時間變化有關，對于以穩定頻率作周期變化的變量可以寫為：，以便于分離空間和時間。 將方程（9）中的時間變量從其方程中分離出去，方程（9）的頻域表達式為：

其中：｛u｝為連續浮體的主坐標響應。

上式即為連續浮體的三維水彈性時域方程，根據上述推導，可以根據本文的數值計算方法求解作用在連續浮體上的廣義波浪激勵力、廣義附加質量、廣義阻尼以及主坐標響應。

2 數值計算結果

2.1 模型介紹

為了驗證本文數值計算方法的正確性，選取Fu論文中的超大型浮體作為本文的數值計算模型，并將其吃水改為5 m，其參數見表1。

表1 超大型浮體的主尺度Tab.1 Main particulars of VLFS and substructures

2.2 垂向位移、彎矩、剪力和扭矩驗證

由于本文的數值模型采用了新的吃水和新的彎曲剛度，為了驗證其可靠性和與傳統的三維水彈性的關系，首先對此模型在頻域內的垂向位移和彎矩與三維水彈性程序的結果進行對比驗證，并在此基礎上進一步給出浮體在各個彈性模態下的主坐標響應以及廣義力。本文仍將整個模型離散為8個模塊，對其垂向位移、垂向彎矩以及剪力進行求解，如圖2所示。

圖2 模型的水動力網格的俯視圖以及等效梁模型Fig.2 Schematic plane view of grid model of VLFS and equivalent beam model

圖3給出了在45°浪向角時采用本文的數值計算方法和三維水彈性方法得到的垂向位移、彎矩、剪力和扭矩的對比結果圖，可以看出兩種數值方法的結果吻合良好，證明本文在頻域內建立的數值方法對于此模型有同樣的適用性。

圖3 浮體的垂向位移、垂向彎矩、剪力以及扭矩在45°浪向下的兩種數值方法的對比Fig.3 Comparison of the vertical displacement，vertical bending moment，vertical shear force and torsional moment between the 3D hydroelasticity and the present method in wave heading of 45°

2.3 主坐標響應驗證

基于本文的數值方法得到的上述的水彈性的結果，垂向位移、彎矩等參數都是與劃分的模塊個數相等的離散點，為了得到浮體的變形的連續結果，可以根據第二章提到的逆模態疊加的方法，根據已知點上的垂向位移、扭轉角等信息求取浮體各模態上的主坐標響應。在模態疊加法中，根據浮體的垂蕩、縱搖以及各階垂向彎曲模態的主坐標響應求取浮體的垂向位移。因此，在已知8點的垂向位移時，可以求得浮體的垂蕩響應、縱搖響應以及前6階垂向彎曲模態的主坐標響應幅值。

圖4 兩種數值方法下浮體的垂蕩響應幅值、縱搖響應幅值以及第7、8階主坐標響應幅值的對比Fig.4 Comparison of the heave，pitch RAO and the principal coordinate of the vertical bending modes between the 3D hydroelasticity and the present method

圖5 兩種數值方法下浮體的橫搖響應幅值以及第11階主坐標響應幅值（扭轉模態）的對比Fig.5 Comparison of the roll RAO and the principle coordinate of the torsional modes between the 3D hydroelasticity and the present method

圖4給出了反推得到的結構的垂蕩、縱搖以及前兩階垂向彎曲模態的主坐標響應隨入射波浪頻率的變化趨勢，并與三維水彈性的結果進行對比。從圖中可以看出，本文得到的結果與三維水彈性的結果吻合良好，證明了本文的方法在求解結構的水彈性主坐標響應的正確性。進一步，根據得到的浮體的主坐標響應，可以采用模態疊加的方法，得到結構連續的垂向位移、垂向彎矩和剪力。

與垂向位移的求解相似，對結構模態分析后，得到浮體的扭轉模態。同樣根據離散點上的扭轉角，利用逆模態疊加的思想，可以得到浮體的橫搖角以及各扭轉模態下的主坐標響應。圖5給出了使用本文的方法計算得到的橫搖RAO以及第一階扭轉模態的主坐標響應與水彈性方法的對比結果。從圖中可以看出，本文方法得到的扭轉模態的主坐標響應與水彈性方法得到的結果吻合良好。根據得到的主坐標響應可以進一步通過模態疊加的方法，得到作用在浮體上的連續的扭矩。

2.4 波浪激勵力驗證

根據第二章的理論，各個子模塊上的波浪激勵力乘以振型的轉置即為浮體受到的波浪激勵力，將其與三維水彈性方法得到的廣義波浪激勵力進行對比，圖6主要給出了與垂向彎矩和扭轉相關的模態上的波浪激勵力。從圖中可以看出，本文數值計算方法得到的廣義波浪激勵力與三維水彈性的結果吻合較好，但在某些較高的頻率下（波長較小時），在其位置不會出現峰值，這可能是因為劃分的子模塊個數的限制，不能體現高頻特性。因此，如果要對浮體高頻下的響應特性進行研究，可以將浮體劃分更多的模塊。

圖6 兩種數值方法下浮體的波浪激勵力的對比Fig.6 Comparison of the wave exciting forces between the 3D hydroelasticity and the present method

3 結 論

本文基于傳統的水動力學和有限元法，通過將連續的模型離散，提出了一種新的水彈性響應的分析方法。采用提出的方法對一超大型浮體的水彈性響應進行研究，將得到的垂向位移、彎矩、剪力、扭矩、主坐標響應以及波浪激勵力與傳統的水彈性得到的結果進行對比，吻合良好，證明了本文提出方法的正確性和可靠性。此外，本文的數值方法是基于離散模塊的思想，可以為以后連接件受力分析以及非均勻海洋環境的分析提供依據。