平面磁場的磁感應線

盧軍強 翟 峰

(浙江師范大學物理系,浙江 金華 321004)

在數學物理方法的教材[1,2]中，解析函數的一個典型應用是平面(靜)電場。借助復位勢可以方便地畫出平面電場的電場線和等勢線。作為平面電場的對偶，平面磁場的討論卻不多見。無限長的通電圓筒 (電流均勻分布)、通電直導線產生的磁場都是平面磁場。一根無限長的磁鐵，當磁化強度均勻分布時，產生的磁場也是平面磁場。本文擬討論平面磁場的基本性質，通過與平面電場的比較，發現平面磁場的磁感應線與相應特定平面電場的等勢線重合。

1 平面磁場和平面電場形式對應關系

為方便起見，考慮平行于xOy平面的平面磁場和平面電場，它們具有形式

由磁場的高斯定理和安培環路定律可導出

產生平面磁場式(1)的電流密度場j只有z分量jz，它是傳導電流密度和磁化電流密度之和。

由靜電場的高斯定理和環路定理可導出

其中ρ(x,y)是產生平面電場式(2)的帶電體的電荷密度分布。

不難驗證，若作替換μ0jz→ρ/ε0，(Bx,By)→(-Ey,Ex)，則式(3) 變為式(6)，式(4)變為式(5)。這表明：由電流密度是jz(x,y)ez的電流場產生的平面磁場式(1)，與由電荷密度是ρ=jz/c的帶電體產生的平面電場式(2)存在聯系：

Bx=-Ey/c,By=Ex/c

(7)

我們知道[1,2]，平面電場在無源區可由解析函數描述。由對應關系式(7)可知，在電流密度為零的區域D，平面磁場式(1)也可由解析函數描述，它對應解析函數fB(x+iy)=By(x,y)+iBx(x,y)，式(3)和式(4)則給出柯西-黎曼條件。若區域D是單連通的，則fB存在原函數wB=U+iV。由w′B=By+iBx可知wB虛部V的等值線是磁感應線。wB的實部U代表什么物理量？一個答案與式(1)的某種磁矢勢A=Az(x,y)ez有關。由B=×A得出因此，Az與-U只相差一個常數。

我們基于對應關系式(7)討論平面磁場的磁感應線。磁場式(1)的磁感應線滿足微分方程組

(8)

其中，s為磁感應線相對于某個點的弧長?？紤]與此平面磁場對應的平面電場，它的等勢線在直角坐標為 (x,y,z) 的點處的切線與Exex+Eyey垂直，即與-Eyex+Exey平行。固定切線沿-Eyex+Exey方向，可得等勢線滿足的微分方程組

(9)

由對應關系式(7)，微分方程組式(8)和式(9)完全相同。因此平面磁場的磁感應線和與之對應的平面電場的等勢線重合。這里沒有考慮磁感應線的走向。后者可由磁感應線與電流線套鏈的右手法則來確定。

2 例： 3根彼此平行的通電直導線共同產生的磁場

目前有很多軟件(Matlab、Mathematica等) 能輕而易舉地繪制等勢線。因此，我們的結論對繪制平面磁場的磁感應線是很有意義的。作為一個簡單的例子，考慮3根彼此平行的通電直導線共同產生的磁場B3l。這3根導線和xOy平面的交點分別是(x1,y1)=(-1,0),(x2,y2)=(1,0),(x3,y3)=(0,1)，載荷的電流是I1=I,I2=-2I,I3=I(I>0,采用國際單位制)。對應的平面電場由三根均勻帶電直線產生，電荷線密度分別為λk=Ik/c,1≤k≤3，產生的電勢是U(x,y)=

圖1 3根分別載流I, -2I，I的直導線產生的磁場

圖2 3根都載流I的直導線產生的磁場

3 結語

本文通過討論平面磁場與平面電場的基本性質以及它們之間的形式上的對應關系，發現平面磁場的磁感應線與相應特定平面電場的等勢線重合；我們的發現為繪制平面磁場的磁感應線提供了一種簡易方法。