最速降線及其等時性

鄭 琦

(浙江省蕭山中學，浙江 杭州 311201)

擺線在物理和數學中的應用非常廣泛，文[1]、文[2]中給出了擺線的許多有趣的性質，文[3]則對這些性質做出了物理上的解釋，擺線問題最早來自于伽利略(Galilei)在1630年提出的最速降線問題。

如圖1所示，小球從A點靜止釋放，沿光滑軌道AB滑下到達B點，要求用時t最短，試確定軌道AB的方程。

圖1

1696年約翰·伯努利(Johann Bernouli)就此問題向全歐洲提出挑戰。牛頓(Newton)、萊布尼茲(Leibniz)、雅克比·伯努利(Jakob Bernouli)、洛必達(L’Hpital)等人都給出了答案，他們得出了相同的結論：最速降線就是擺線(也叫圓滾線、旋輪線)。惠更斯(Huggens)則從等時性上研究，發現等時降落的解也是擺線。Johann和Jakob的解法略有不同，Johann利用費馬原理來快速求解，Jakob的解法較為復雜但更具一般性，兄弟兩人為此爭執了許多年，后來Johann的學生Leonhard Euler吸收了背后的思想和精華，創立了泛函分析中極為重要的變分法。

本文嘗試從一般的折射定律出發給出軌跡方程，然后討論該軌跡方程的物理意義，最后通過軌跡方程的數學處理來證明等時性。

1 軌跡方程的求解

如圖2所示，當小球下降y時的速度為

(1)

圖2

將小球的運動類比成光的連續折射現象。將豎直平面分割成無數個水平的小區域，每個區域內的折射率n相同。在y處的折射率為

(2)

如圖3所示，在任意某個分界面由光的折射定律可得：

(3)

圖3

又由于

(4)

聯立式(5)、式(6)，可得：

y(1+y′2)=A

(5)

其中A為某個待定常數，其解為

式(6.1)和式(6.2)正是所求的軌跡方程。

2 物理意義

式(6.1)和式(6.2)所描繪的曲線就是一條擺線，它對應的物理過程如圖4所示，半徑為R的圓環以速度v0向右做純滾動，輪上一點P的軌跡剛好就是這條擺線。

圖4

圖5

如圖5所示，取t=0時刻，P剛好位于圓環中心的正下方，經過時間t，圓心的水平坐標為：xC=v0t=Rφ。此時P與豎直線成φ角，P的位置坐標為：

3 等時性的證明

擺線等時性的證明往往采用將其與簡諧運動等價從而證明等時性，本文試圖采用更加數學的辦法來同樣證明此結論。

圖6

3.1 A點的速度

將式(6.1)和式(6.2)對時間求導，可得A點速度為

(7)

比較式(1)和式(7)可知：代入B點可得：

(8)

(9)

3.2 弧長ds

(10)

由式(6.1)和式(6.2)可得：

(11)

3.3 時間t

(12)

積分：

(13)

由于A為拋出點，所以φA=0，即

(14)

這與文[3]、文[4]利用簡諧運動證明等時性的結論是一致的。