基于二分法的自動(dòng)駕駛儀參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

謝金龍 吳 璋 文世珍 胡 洲

（四川航天系統(tǒng)工程研究所，成都 610100）

導(dǎo)彈的自動(dòng)駕駛儀即導(dǎo)彈的姿態(tài)控制系統(tǒng)，根據(jù)制導(dǎo)系統(tǒng)給出的指令信號(hào)控制導(dǎo)彈的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，保證其在飛行中具有足夠的機(jī)動(dòng)性和穩(wěn)定性，從而確保導(dǎo)彈飛行的安全。自動(dòng)駕駛儀的主要作用包括保證彈體的穩(wěn)定性、優(yōu)化彈體的阻尼特性、提高彈體的機(jī)動(dòng)性能，以及提高彈體的抗干擾能力。

自動(dòng)駕駛儀的設(shè)計(jì)方法主要分為經(jīng)典控制和現(xiàn)代控制。經(jīng)典的設(shè)計(jì)方法以經(jīng)典控制理論為基礎(chǔ)，將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為單輸入單輸出結(jié)構(gòu)。在簡(jiǎn)化模型的基礎(chǔ)上，利用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)特性，結(jié)合時(shí)域響應(yīng)法、頻域響應(yīng)法等方法保證系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性和快速性。現(xiàn)代控制理論成果主要包含動(dòng)態(tài)逆、滑模變結(jié)構(gòu)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、狀態(tài)Ricatti方程等。

Nesline等人在1979年提出了一種最優(yōu)/經(jīng)典綜合設(shè)計(jì)法，他的主要想法是通過(guò)對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的頻率特性提供約束，限制目標(biāo)函數(shù)中增益系數(shù)的取值范圍，從而達(dá)到最優(yōu)的控制效果。Mracek等人則系統(tǒng)地提出了應(yīng)用最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)自動(dòng)駕駛儀的方法原理。

經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)的自動(dòng)駕駛儀能夠直觀(guān)地了解所選特征點(diǎn)的時(shí)域及頻域特性，因此它在工程實(shí)踐中是戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)的主要方法。但是這種方法需要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力調(diào)試，設(shè)計(jì)過(guò)程繁瑣，所以找到一種快速的參數(shù)設(shè)計(jì)方法很有必要。

自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)過(guò)程中涉及許多新興的方法，如保護(hù)映射、極點(diǎn)配置等。當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)階次較低時(shí)，極點(diǎn)配置可以較好地實(shí)現(xiàn)頻域設(shè)計(jì)。當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)階次大于二階時(shí)，往往需要用到一些經(jīng)驗(yàn)公式，但是這些經(jīng)驗(yàn)公式反解得到的增益往往不能很好地穩(wěn)定系統(tǒng)。

當(dāng)系統(tǒng)模型比較復(fù)雜時(shí)，將傳遞函數(shù)的某項(xiàng)頻域指標(biāo)（如幅值裕度）作為性能指標(biāo)函數(shù)再得到性能指標(biāo)函數(shù)關(guān)于增益參數(shù)的變化曲線(xiàn)，通過(guò)選取合適的增益邊界范圍，就可以應(yīng)用二分法逼近得到相應(yīng)的參數(shù)。對(duì)得到的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，就可以得到滿(mǎn)足其他約束條件的最優(yōu)解。二分法可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)代替人為調(diào)參，有效提高了設(shè)計(jì)人員的工作效率。

1 二分法

定理1（介值定理）設(shè)f (x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a) f (b)＜0，則至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ∈(a,b)使得f (ξ)=0，即ξ是f (x)=0的根。

為了便于分析，設(shè)f (x)在[a,b]上是單調(diào)的，則f(x)=0在[a,b]內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根ξ。

1.1 基本思想

二分法是一種通用的數(shù)值近似計(jì)算方法，它的基本思想是判斷區(qū)間中間值的函數(shù)值f ((a+b)/2)的正負(fù)號(hào)，逐步對(duì)半縮小有根區(qū)間，直到區(qū)間縮小到允許誤差范圍之內(nèi)，然后取區(qū)間的中點(diǎn)為ξ的近似值。

1.2 具體方法

不妨設(shè)f (a)＜0, f (b)＞0；記a1=a，b1=b，區(qū)間[a,b]的中點(diǎn) ξ1=(a+b)/2，再計(jì)算函數(shù)值 f (ξ1)。如果 f (ξ1)=0，則表示待求的根為 ξ1，否則判斷 f (ξ1) f (a)＜0 還是f (ξ1) f (b)＜0。

若 f (ξ1) f (a)＜0，則記 a2=a，b2=ξ1，則求根區(qū)間變?yōu)?[a,ξ1]；若 f (ξ1) f (b)＜0，則記 a2=ξ1，b2=b，則求根區(qū)間變?yōu)閇ξ1,b]。這樣區(qū)間[a2,b2]是方程新的有根區(qū)間，它被包含在原有根區(qū)間[a,b]之內(nèi)，且長(zhǎng)度僅為原區(qū)間的一半。對(duì)縮小后的區(qū)間[a2,b2]，再計(jì)算其中點(diǎn)ξ2=(a+b)/2，判斷f (ξ2) f (a2)＜0還是f(ξ2) f (b2)＜0。

如此重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程，經(jīng)過(guò)k次這樣的二分以后，求得的有根ξk區(qū)間[ak,bk]的中點(diǎn)ξk=(ak+bk)/2。區(qū)間大小。顯然，如果無(wú)限二分下去，則

因而定義精度ε，當(dāng)k足夠大時(shí)，|ξξk-ak|≤（bk-ak）/2=（b-a）/2k〈ε，則ξk就是方程f (x)=0的一個(gè)滿(mǎn)足給定精度的近似根。

2 自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)

阻尼-姿態(tài)角控制方法是經(jīng)典控制理論中經(jīng)常采用的一種方法。常見(jiàn)的俯仰通道阻尼-姿態(tài)角方案控制框圖如圖1所示。

圖1 俯仰通道方案控制框圖

2.1 傳統(tǒng)自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)

經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)的自動(dòng)駕駛儀是將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為單輸入單輸出結(jié)構(gòu)，用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)特性，通過(guò)根軌跡法、時(shí)域分析法、頻域分析法來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)。這種方法能夠直觀(guān)地了解所選特征點(diǎn)的時(shí)域及頻域特性，因此在工程實(shí)踐中，它是戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)的主要方法。但是這種方法需要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力調(diào)試，設(shè)計(jì)過(guò)程繁瑣，尤其當(dāng)氣動(dòng)模型發(fā)生變化時(shí)，自動(dòng)駕駛儀需要重新設(shè)計(jì)，所以找到一種快速的參數(shù)設(shè)計(jì)方法很有必要。

2.2 變結(jié)構(gòu)控制方法

變結(jié)構(gòu)控制是一種新興的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，其非線(xiàn)性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性。從理論上說(shuō)，由于滑動(dòng)模態(tài)可以按需要設(shè)計(jì)，滑模控制系統(tǒng)的魯棒性能比一般系統(tǒng)好。然而滑模控制中切換函數(shù)在不同滑動(dòng)模態(tài)的切換會(huì)引起系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，為了克服滑模控制的抖振問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了許多不同的探討，其中比較有代表性的是準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)法、趨近律法及濾波法等。

2.2.1 基于變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

以滾轉(zhuǎn)通道為例，設(shè)滾轉(zhuǎn)通道的狀態(tài)方程為：

滾轉(zhuǎn)通道姿態(tài)控制的目的是使?jié)L轉(zhuǎn)角趨向穩(wěn)定，因此定義誤差變量e = γ，定義滑動(dòng)模態(tài)s為：

對(duì)s微分，得到：

定義趨近律為：

則控制律為：

2.2.2 頻域特性分析

將變結(jié)構(gòu)控制的非線(xiàn)性特性進(jìn)行簡(jiǎn)化，可實(shí)現(xiàn)線(xiàn)性控制。以滾轉(zhuǎn)通道為例，令k3＝0則控制律可以簡(jiǎn)化為:

因此，變結(jié)構(gòu)控制在這種特定的情況下等效為1個(gè)PD控制器。

選取k1＝10，k2＝10得到10s時(shí)刻頻域響應(yīng)情況，如圖2所示。

圖2 10s時(shí)刻頻域響應(yīng)情況

2.2.3 總結(jié)分析

k1、k2經(jīng)過(guò)多次調(diào)試，滾動(dòng)通道的幅值裕度在16.1dB左右，相位裕度在75.5°左右。變結(jié)構(gòu)控制存在的不足為：（1）滾動(dòng)通道的響應(yīng)效果與k1、k2的選取有很大關(guān)系，當(dāng)k1、k2較小時(shí)，滾動(dòng)通道的幅值裕度較大，響應(yīng)時(shí)間較慢；（2）對(duì)系統(tǒng)模型的要求較高，當(dāng)模型階次大于二階時(shí)，需要采用降階方法，會(huì)對(duì)模型的精確性產(chǎn)生影響。

2.3 基于二分法自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)

與變結(jié)構(gòu)控制方法相同，基于二分法的自動(dòng)駕駛儀同樣設(shè)置成一個(gè)PD控制器。以阻尼回路為例，阻尼回路的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)與阻尼回路參數(shù)相關(guān)，通過(guò)這個(gè)傳遞函數(shù)可以得到阻尼回路的幅值裕度、相位裕度、調(diào)節(jié)時(shí)間等頻域及時(shí)域指標(biāo)。

2.3.1 二分法逼近參數(shù)

將頻域指標(biāo)中的幅值裕度作為性能指標(biāo)函數(shù)F，那么F就能寫(xiě)成與阻尼回路參數(shù)K 相關(guān)的函數(shù):F=f(K)。經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)中，對(duì)幅值裕度和相位裕度都有相應(yīng)的指標(biāo)要求,如要求幅值裕度不小于16dB。通過(guò)二分法可以迅速找到相應(yīng)的增益Km，使得特征點(diǎn)的幅值裕度為16dB。

二分法要求目標(biāo)函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)變化。對(duì)于靜穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)增益K ＞0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。隨著增益K的增大，系統(tǒng)的幅值裕度減小，因此幅值裕度函數(shù)f (K)是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)。但是當(dāng)增益K繼續(xù)增大時(shí)，系統(tǒng)有可能出現(xiàn)振蕩及失穩(wěn)現(xiàn)象，因此，應(yīng)用二分法時(shí)需要選擇合適的邊界范圍。

選取10s特征點(diǎn)進(jìn)行頻域設(shè)計(jì)，找到幅值裕度分別為3dB和50dB的增益K2、K3。將[K2,K3]作為邊界范圍，采用二分法逼近得到幅值裕度為16dB的增益Km。

2.3.2 參數(shù)優(yōu)化

二分法逼近得到的增益Km滿(mǎn)足了控制系統(tǒng)對(duì)幅值裕度的要求，但是相位裕度、截止頻率、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間等指標(biāo)未必能滿(mǎn)足要求。因?yàn)榉翟６群瘮?shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，增益K在(0,Km]范圍內(nèi)都能滿(mǎn)足幅值裕度要求。

取精度D=100，將增益Km分成100份，Ki= i/100×Km，i =1，2，…，100。

分別計(jì)算相應(yīng)增益的相位裕度、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間等，剔除相位裕度及超調(diào)量不滿(mǎn)足要求的情況，選出其中調(diào)節(jié)時(shí)間最優(yōu)的增益。

10s時(shí)刻頻域響應(yīng)情況如圖3所示。

2.3.3 數(shù)學(xué)仿真分析

為了驗(yàn)證基于二分法的自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)的有效性，將設(shè)計(jì)的參數(shù)代入數(shù)學(xué)仿真進(jìn)行驗(yàn)證，滾動(dòng)通道初始加入姿態(tài)角和姿態(tài)角速度偏差，全程加入風(fēng)干擾及結(jié)構(gòu)干擾，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖3 10s時(shí)刻頻域響應(yīng)情況

圖4 滾動(dòng)姿態(tài)角偏差

分析圖4可以看出，滾動(dòng)通道在5s左右將初始姿態(tài)角偏差控制到零附近，由于干擾的存在，滾動(dòng)姿態(tài)角在后續(xù)也存在一定程度的變化，這說(shuō)明設(shè)計(jì)的自動(dòng)駕駛儀具有較好的魯棒性。

2.3.4 總結(jié)分析

通過(guò)二分法逼近得到增益Km，使得滾動(dòng)通道的幅值裕度為16dB，對(duì)得到的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到的幅值裕度在16dB左右，相位裕度在70.1°左右。最終的幅值裕度與二分法逼近得到的幅值裕度基本相同，這是因?yàn)槎址ū平玫降脑鲆鏉M(mǎn)足相位裕度、截止頻率、超調(diào)量等指標(biāo)要求，調(diào)節(jié)時(shí)間是最快的。

通過(guò)數(shù)學(xué)仿真分析結(jié)果可以看出，二分法逼近設(shè)計(jì)得到的自動(dòng)駕駛儀能夠讓控制系統(tǒng)穩(wěn)定，具有良好的魯棒性。其優(yōu)點(diǎn)在于：（1）可以根據(jù)不同的頻域、時(shí)域需求，設(shè)計(jì)不同的增益，使人為調(diào)參轉(zhuǎn)換為計(jì)算機(jī)運(yùn)算，極大地降低了系統(tǒng)設(shè)計(jì)的工作量；（2）當(dāng)系統(tǒng)模型階次較高時(shí)，二分法不會(huì)受到影響。

3 結(jié)束語(yǔ)

傳統(tǒng)的自動(dòng)駕駛儀控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)需要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力，本文提出的基于二分法的自動(dòng)駕駛儀參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，將人為調(diào)參轉(zhuǎn)換為計(jì)算機(jī)運(yùn)算，極大地提高了系統(tǒng)設(shè)計(jì)的工作效率。針對(duì)二分法的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，能夠保證控制系統(tǒng)相應(yīng)的頻域和時(shí)域指標(biāo)滿(mǎn)足約束要求。數(shù)學(xué)仿真結(jié)果證明了設(shè)計(jì)得到的自動(dòng)駕駛儀的有效性。