埃及齋月十日城鐵路工程獨立坐標系分析與建立

湯 曦

(中鐵二院工程集團有限責任公司，四川成都 610031)

1 概述

埃及齋月十日城鐵路項目若采用埃及通用的ETM(Egyptian Transverse Mercator)坐標系統[1，2]，投影長度變形最大值將達38mm/km，不能滿足工程設計、施工需要。若采用分段計算縮放系數[3]抵消投影長度變形，會造成各段縮放系數不一致，施工放樣較為麻煩，容易出錯。為了解決埃及齋月十日城鐵路投影長度超限的難題，研究了基于工程獨立坐標系的投影方法。從投影方式與投影面高度兩個方面分析了投影長度變形的原因，構建了滿足鐵路設計與施工放樣要求的工程獨立坐標系。選擇最小投影變形值對應的中央經線為工程獨立坐標系的中央經線；在該中央經線下，獲取不同高程投影面的投影變形值，選擇最小投影變形值對應的高程作為工程獨立坐標系的投影面高程。

2 工程獨立坐標系構建方法

為減小高差和投影方式導致的邊長變形對工程建設的影響，通常是在國家坐標系橢球基本參數的基礎上，運用變動中央子午線和抵償投影面的方法來建立工程獨立坐標系[4-8]。首先對投影長度變形產生的原因進行分析，然后提出建立工程獨立坐標系的流程。

2.1 投影長度變形分析

投影長度變形由投影變形和高程歸化變形兩部分組成。

(1)橢球面上的邊長經過某種投影方式投影到相應平面上會引起長度變形，稱為相應投影方式的投影變形[9-12]。針對TM投影，可按照公式(1)近似計算TM投影引起的投影變形值(ΔS)

其中，Ym為測距邊兩端點橫坐標的平均值/m；Rm為測距邊終點的平均曲率半徑/m。TM投影引起的投影變形變化趨勢如圖1所示。

圖1 TM投影變形示意

(2)實測邊長平均高程面的水平距離沿法線方向投影到相應橢球面上會引起長度變形，稱為高程歸化變形[9-12]，可按照公式(2)近似計算高程歸化變形值(ΔD)

其中，Hp為現有坐標系統投影面高程(大地高)/m；Hm為測距邊兩端點的平均高程(大地高)/m；Ra為參考橢球體在測距邊方向法截弧的曲率半徑/m。高程歸化變形隨投影面高度呈線性變化，投影面高度引起的長度變形對角度沒有影響[10]，如圖2所示。

圖2 高程歸化變形變化趨勢

投影方式引起的投影變形與高程歸化變形之和，為投影長度變形Δl，按照公式(3)計算

若測區距所設定坐標系統的中央子午線較遠或平均高程較大時，會導致變形較大，不能滿足測量和工程放樣的需要。應建立合適的工程獨立坐標系，使變形控制在一個微小的范圍內。

國內城市軌道交通工程測量項目要求投影長度變形不超過±25 mm/km[12]。若超過規定要求，可根據工程實際，建立工程獨立坐標系來減小投影長度變形。

2.2 工程獨立坐標系建立流程

以“投影長度變形最大值”最小為原則建立工程獨立坐標系，為了達到該原則，公式(3)可變化為

將公式(4)簡化，可變化為

其中:Ym為測距邊兩端點橫坐標的平均值/m；R為地理橢球長軸/m；Hp為現有坐標系統投影面高程(大地高)/m；Hm為測距邊兩端點的平均高程(大地高)/m。

結合圖1、圖2和公式(5)分析可知:TM投影方式下的投影長度變形中，高程歸化變形影響較大。故在確定工程獨立坐標系時，應首先確定中央經線，然后再確定投影面高程[13-14]。

3 實驗及分析

3.1 工程概況

埃及齋月十日城鐵路項目正線長71.40 km，為雙線電氣化城市軌道交通線，設計速度120 km/h。線路從開羅國際機場附近的Adly Mansour站出發，由西往東，止于Badr站(為線路A段)。之后由Badr站分岔往南北敷設:往南，止于New Administrative Capital站(為線路B段)，A、B段里程貫通；往北，止于Ramadan1站(為線路C段)。線路位于31°24′E至31°48′E、30°01′N至30°14′N范圍內，呈臥“T”字形，東西向長約30 km，南北向長約41 km。測區高程范圍約為60～320 m。線路設計高程最低點64.21 m，最高點296.66 m。測區內高程異常值約16 m(見圖3)。

圖3 線路示意

3.2 ETM坐標系統存在的問題

依照埃及法律規定，在開羅地區，工程坐標系需采用埃及國家坐標系統ETM。其具體參數為:Helmert 1906橢球，長半軸為6 378 200.0 m，扁率倒數為298.300 01；Transverse Mercator投影；中央經線31E；緯度原點30N；東偏615 km，北偏810 km。

埃及齋月十日城鐵路項目測量工作依據《鐵路工程測量規范》(TB 10101—2009)[12]實施，要求投影長度變形不超過±25 mm/km。按照ETM坐標系計算設計線位上平曲線特征點(五大樁、橋隧出入端、車站出入端)和縱曲線特征點(變坡點)的投影長度變形值，分別繪制AB段和C段特征點的“里程-投影長度變形值”曲線，如圖4所示。

由圖4可知:

(1)AB段和C段都有部分區域投影長度變形值超過了25 mm/km的限差，最大值達38 mm/km。

(2)AB段特征點投影長度變形值隨線路里程增加而增大，這與線路方案東西走向、離中央經線距離越來越遠有關。投影長度變形值受投影方式引起的投影變形影響較大。

(3)C段各特征點投影長度變形值基本相同，這與線路方案南北走向、各點離中央經線距離較近有關。投影長度變形值受高程歸化變形影響較大。

圖4 “里程-變形值”曲線

3.3 工程獨立坐標系的建立

根據TM投影長度變形的特性，可以通過改變中央經線、增大/減小投影面高的方法建立工程獨立坐標系，降低投影長度的變形值。AB段和C段投影長度變形值分別受投影方式引起的投影變形和高程歸化變形影響較大，故分開建立工程獨立坐標系。

(1)中央經線的確定

為了初步確定工程獨立坐標系中央經線所在的區間，保持投影面高H=0不變，結合測區實際范圍，以6′和15′為間隔，在[31°00′E，32°00′E]區間內選取中央經線，建立工程獨立坐標系。分別計算各特征點在各工程獨立坐標系中的“投影長度變形最大值”和“最大值與最小值之間的差值”，如表1所示。

由表1可知:

(1)中央經線從31°00′E遞增至31°30′E時，AB段各點投影長度變形最大值及最大值與最小值的差值先遞減，后遞增。

(2)C段“里程-投影長度變形值”曲線與橫軸近似平行，即各特征點投影長度變形值近乎一致，幾乎不受中央經線的影響。

(3)當中央經線為31°18′E時，AB段特征點的投影長度變形最大值與最小值的差值最優。

表1 特征點投影長度變形值統計

故確定工程獨立坐標系的中央經線為31°18′E。

(2)投影面高程的確定

在選擇中央經線為31°18′E的情況下，為了優化工程獨立坐標系，可以通過改變投影面高來減小投影長度的變形值，即通過特征點的投影長度變形最大值與最小值的差值近似確定。

由公式(2)推算可知:“高程歸化變形值變化量/投影面高程變化量”為1 mm/6.3 m。故:AB段需要將投影面高程增高≈155 m；C段需要將投影面高程增高

為了進一步優化投影面高，在[0，200]區間內以5 m為間隔選擇投影面高，建立工程獨立坐標系。分別計算各特征點在各工程獨立坐標系中的投影長度變形最大值。繪制“投影面高-投影長度變形最大值的絕對值”曲線，如圖5所示。

經過分析，當中央經線為31°18′E時:

(1)投影面高為155 m時，AB段的投影長度變形最大值最小，為-18.77 mm，最優。當投影面高相對155 m增加或者減少時，投影長度變形最大值變大；C段投影長度變形值為18.03 mm。

(2)投影面高為70 m時，C段的投影長度變形最大值最小，為-5.46 mm，最優。當投影面高相對70 m增加或者減少時，投影長度變形最大值變大；AB段投影長度變形值為32.09 mm。

考慮到設計、施工的便利性，在保證精度的前提下，所選取的工程獨立坐標系應盡量相同，故選擇中央經線為31°18′E、投影面高為155 m建立埃及齋月十日城鐵路項目工程獨立坐標系。

圖5 “投影面高-投影長度變形值最大值”曲線

4 結束語

介紹了TM投影長度變形值產生的原因和控制方法，結合埃及齋月十日城鐵路項目，提出以投影長度變形最大值最小為判斷依據，得到了最優的中央子午線經度31°18′E及投影面高程155 m，全線的投影長度變形值:AB段為-18.77 mm/km～18.26 mm/km，C段為7.86 mm/km～18.03 mm/km，滿足工程設計和施工放樣的需要。