小衛星非常規動力學分析與控制

航天東方紅衛星有限公司，北京 100094

為了保證小衛星及其組件的承載能力與正確試驗考核，需要對小衛星開展各種動力學的分析與驗證工作，主要包括有限元建模、模態分析、正弦振動分析與驗證、隨機振動分析與驗證、沖擊分析與驗證、剛柔動力學分析、微振動分析、減振分析等。目前，大部分小衛星動力學分析與驗證有常規的解決辦法和成熟的技術處理流程，但在沖擊分析評估、隨機振動下的強度設計、減振平臺的頻率確定方法等方面還存在一些常規方法解決不好的問題。

對于小衛星組件的沖擊評估與驗證，常規方法是采用沖擊試驗規范譜方法[1-2]對組件進行考核驗證。然而一些組件實際的最大沖擊響應譜量級可能大大超出沖擊試驗規范譜，對于這類沖擊需要研究分析對組件的影響與驗證方法。對于隨機振動的強度設計載荷，一般依據隨機振動準靜態載荷計算方法[3-4]把隨機振動強度設計轉化為靜態載荷設計。基于隨機振動輸入功率譜計算準靜態載荷的方法一般適用于均勻全頻段隨機振動環境，然而當針對窄帶隨機環境(或隨機振動輸入下凹)時，它會產生較大誤差，不能完全適用。另外，小衛星及其組件的減振一般要考慮安裝減振后的剛度(頻率)是否滿足要求，目前對于單一載荷減振平臺的頻率可以計算設計，但復合載荷下減振平臺的頻率計算設計還有待研究。本文對上述常規方法難于處理的小衛星動力學問題開展研究，介紹相關解決方法。

1 高量級沖擊評估問題

1.1 當前的沖擊處理方法與問題

衛星組件沖擊試驗一般按沖擊試驗規范譜[1-2]進行，如圖1所示。規范中低頻段f1～f2一般為100～600 Hz，中高頻段f2～f3一般為600～4 000 Hz。對于鑒定級沖擊試驗，很多衛星規定沖擊試驗規范的量級Φ2=1 000gn。衛星研制中，一般以此沖擊試驗規范譜覆蓋組件實際沖擊響應譜來達到對組件的沖擊考核驗證。

圖1 衛星組件沖擊試驗規范譜Fig.1 Shock test standard specification for satellite units

然而，衛星沖擊響應測試表明一些組件的沖擊響應譜量級很高，可到達4 000gn～10 000gn的高量級，遠高于衛星組件的常規沖擊試驗規范譜條件。如此高量級沖擊不僅地面試驗設備能力難以達到,而且以沖擊試驗規范譜包絡如此高量級的實際響應譜也往往超出組件的實際沖擊環境影響，造成不必要的損傷。當前，還沒有很有效的方法分析評估高量級沖擊對組件的影響。

Garcia等[5]認為沖擊加速度譜量級小于0.8f(f為頻率)一般不對電子設備造成損傷。美軍標1540C[6]以及美國國防部手冊MIL-HDBK-340A[7]則建議2 000 Hz以上最大加速度沖擊譜不超出0.8倍頻率(即2 000 Hz時為1 600gn)可以評估不進行航天器組件的鑒定試驗，這說明2 000 Hz以上高頻沖擊影響某種程度上可以忽略。俞佳江等[8]開展沖擊下最大位移研究，提出沖擊最大位移作為評估單機所受沖擊響應的程度，位移估算方法表明星上沖擊譜峰值對應的沖擊位移沒有那么大,以地面沖擊試驗規范譜覆蓋星上最大沖擊量級可能帶來超出實際的過考核。Gaberson[9]提出用偽速度沖擊譜(pseudo velocity shock spectrum)去評估沖擊環境的嚴酷性，認為沖擊加速度譜除以2πf一般可作為偽速度沖擊譜(低頻有差異)，建議254 cm/s(100英寸/s)為嚴酷沖擊門檻值。Guthrie[10]構建峰值模態應變能函數去描述沖擊環境下結構可靠性，以沖擊環境下結構損壞時的應變能去評估設備能力。Hwang[11]則不是直接評估各頻段的沖擊加速度譜的影響，而是針對批量的沖擊測試數據，在各頻段應用隨機過程理論，通過峰值加速度比、能量比、相位差等參數構造與沖擊加速度譜相匹配的由系列正弦函數組成的時域沖擊函數，從而以確定的時域沖擊輸入代替頻域的沖擊響應譜進行試驗與評估。

1.2 高量級沖擊的評估方法

通過沖擊應變和沖擊加速度測試數據研究分析，發現隨著頻率的增加，高頻的沖擊對應變貢獻逐漸減少，沖擊應變譜大致按頻率倒數的平方的規律衰減，因此認為衛星組件實際沖擊響應譜可以按產生的累計轉化位移相等來等效，相當于沖擊中傳遞的力等效。那么，與實際沖擊響應譜等效后的沖擊試驗規范的量級為：

(1)

式(1)可以把組件實際經歷的沖擊響應譜S進行應力等效處理，而不再是用常規沖擊試驗規范譜去覆蓋實際沖擊響應譜。一般等效處理后，高量級沖擊可以等價于一個沖擊效應相等的較低量級的沖擊試驗規范譜條件。

1.3 驗證

為了驗證式(1)的正確性，利用試驗件進行了6次的沖擊試驗測試，獲得了沖擊加速度和沖擊應變。6次沖擊的沖擊響應譜如圖2所示。工況d400曲線拐點約在600 Hz，譜型平直，可以代表沖擊量級488gn的沖擊試驗規范譜。其他工況則在某些頻點出現較大峰值，可以歸為高量級沖擊響應譜。以工況d400為基準，通過比較其他工況的應變與工況d400的應變，則可以得到基于應變的各工況沖擊規范量級。例如，某一工況測得的沖擊應變是工況d400的沖擊應變的2倍，則認為此工況的沖擊規范量級為工況d400沖擊量級的2倍，即976gn。基于應變的各沖擊工況的沖擊規范量級及基于式(1)計算得到的各沖擊工況的沖擊規范量級見表1。

表1 基于式(1)的沖擊量級與基于應變的沖擊量級的比較

圖2 6次沖擊的沖擊響應譜Fig.2 Shock response spectrums for 6 shock test cases

從表1可以看到，由式(1)計算得到的各沖擊工況的沖擊規范量級與基于測試應變的沖擊規范量級相接近，規律一致。在沖擊試驗規范中，允差規定為6 dB，式(1)計算的結果誤差最大為2.2 dB，誤差較小，驗證了本文方法的合理可行性。目前，多個型號使用此方法進行了衛星組件的高量級沖擊評估和試驗。

2 隨機振動下強度設計問題

2.1 隨機振動下強度載荷計算方法簡介

隨機振動環境是小衛星的重要動力學環境，小衛星及其組件都要開展隨機振動環境下的設計和試驗。小衛星及組件結構強度設計以及承載評估一般依據隨機振動下準靜態載荷作為力學載荷輸入。目前，基于隨機振動輸入譜計算準靜態載荷的方法主要有3個方法：試驗規范法、Miles方法和模態質量參與法。試驗規范法[3]使用隨機振動輸入加速度功率譜的總均方根乘以3.0作為準靜態加速度，此方法理論上適用于剛體，對于一般結構其計算結果十分保守。Miles方法[4,12]針對單一模態結構或單自由度振動系統，在全頻段均勻加速度功率譜作用下，由加速度輸入功率譜量級、結構的固有頻率及阻尼3個參數計算出隨機振動等效準靜態加速度。Miles方法對于一般結構其計算結果也較為保守。模態質量參與法[4,13]基于Miles方法擴展到多模態結構或者多自由度系統，它把每個模態的Miles方法的計算結果按模態質量參與的比例求和。多數航天結構或設備屬于多模態結構，因此一般航天結構的隨機振動準靜態載荷的計算使用模態質量參與法。然而經研究發現，模態質量參與法并不完全正確，在某些情況計算準靜態載荷會產生很大誤差。

2.2 問題分析及修正方法

為分析模態質量參與法的誤差產生原因及其影響大小，需從基礎的Miles公式分析開始。

對于單模態結構或單自由度系統，隨機振動環境的等效準靜態加速度載荷計算按Miles公式，即：

(2)

(3)

多自由度系統的隨機振動準靜態載荷計算是基于單自由度系統發展起來的，一般稱之為模態質量參與法：

(4)

模態質量參與法實際是每個模態的Miles算法的結果按模態質量參與的比例求和。然而，此方法忽略了模態質量耦合等的影響，在一些情況下計算準靜態載荷將產生較大誤差，下面具體分析。

(5)

式中:i=1,2,…,n;ωi為系統各階固有頻率;q為模態坐標變量;Φ為正交模態矩陣。振動系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣分別為M,C,K，λ=[1 2 …n]T，n為系統自由度。

(6)

對式(6)兩邊進行傅里葉變換可得到:

(7)

其共軛形式為:

(8)

系統中與基礎相連的單元剛度定義為kn，相對于基礎的位移定義為zn。顯然，knzn為系統作用于基礎的力。可以驗證，knzn為矩陣Kz的各行相加之結果，因此作用于基礎的力可以表示為：

f=knzn=λTKz

(9)

實際坐標位移與模態坐標的關系為z=Φq，則式(9)可用模態坐標表示為：

f=λTKΦq

(10)

根據模態理論，式(10)可寫為:

f=λTMΦΩq

(11)

由于eT=λTMΦ，則式(11)變為:

(12)

根據隨機譜理論，力f的功率譜為:

(13)

把式(8)代入式(13)，得到：

(14)

力f的總均方和則為：

(15)

Gf除以系統總質量Mg的平方即為準靜態加速度均方和：

(16)

式(15)中第1項即模態質量參與法的結果，可以寫為：

(17)

圖3 非耦合項占比與頻帶帶寬的關系Fig.3 Relationship between percentage of non-coupling item and frequency band width

從圖3可以看到，fz較低時，第1項之占比只有76%左右，第2項占比24%，那么忽略第2項耦合項會帶來較大誤差，這時計算0～fz窄帶隨機振動的準靜態載荷須要采用式(16)。激勵頻段變寬，第1項之占比增大，第2項占比隨之減少，在fz大于系統第2階頻率之后，第1項之占比基本達到97%，這時計算0～fz窄帶隨機振動的準靜態載荷采用模態質量參與法足以滿足要求。

不同的模態質量比也影響窄帶隨機振動的準靜態載荷的大小，式(16)計算中第1項的占比隨兩階模態質量比之比的變化見圖4。從圖4可見，兩階模態質量接近時，第2項影響增大，第2項占比最大可達30%，此時第1項占比只有約70%。隨著兩階模態質量之比變大，相同的窄帶，第2項影響相對減小，而第1項占比增加，如兩階模態質量之比為0.9/0.1時，第1項占比達到90%以上，第2項最大影響則小于10%。

圖4 不同模態質量比的非耦合項占比Fig.4 Percentage of non-coupling item with different modal mass ratios

在全頻段均勻輸入譜下，式(16)可進一步簡化為：

(18)

式中：

r=fi/fj, (r≤1)

3 減振設計問題

3.1 整星減振研究

針對一些衛星與組件的較大的振動響應，航天東方紅衛星有限公司著手開展了整星與組件的減振研究。通過調研分析，選用擬橡膠金屬材料作為減振實施手段。擬橡膠金屬材料是由金屬絲經過螺旋成型拉長，相互纏繞模壓而成。這種材料不老化，可工作在高溫、低溫、腐蝕性介質等空間環境；可以制備成各種結構形狀，具有不同的承載能力和方向； 同時具有良好的阻尼特性，阻尼比系數一般能達到0.2～0.3。

在整星上開展減振設計及試驗。由擬橡膠金屬材料研制而成的減振器安裝在衛星對接環上，均布48個減振器。減振器設計為兩類，即M6-2和M6-3。M6-2金屬絲減振器：質量10.5 g，單個承重8.3 kg的頻率為105 Hz；M6-3金屬絲減振器：質量8.5 g，單個承重8.3 kg的頻率為50 Hz。

整星減振試驗測試衛星質量330 kg，依據某衛星改造而成，其基本頻率為：橫向39 Hz，縱向85 Hz。

正弦減振的典型曲線見圖5，隨機減振的典型曲線見圖6。對整星測試數據綜合分析后認為整星減振對衛星上較大響應的都起到了減振作用，最大響應點的正弦減振約30%(M6-2號)和55%(M6-3號)，最大響應點的隨機減振約50%(M6-2號)和75%(M6-3號)。

圖5 減振Z向0.6gn正弦振動曲線對比Fig.5 Sine vibration curve comparisons for direction Z

圖6 減振Z向5.84gn隨機振動曲線對比Fig.6 Random vibration curve comparisons for direction Z

3.2 減振系統頻率設計

減振設計中，一個重要的參數是設計減振后結構的頻率。對于承受載荷比較單一的組件，根據組件的頻率以及減振器的剛度可以方便地計算得到減振后頻率，如組件或衛星的縱向減振的頻率設計。然而，當承受復合載荷時，減振后結構的頻率則不太易于計算，如衛星與組件的橫向受載的減振頻率設計，此時衛星不僅受橫向力，還受到彎矩作用。本文通過研究分析，對于減振器對稱安裝的結構(本研究為8個減振器均布安裝)，給出承受彎矩作用下的減振器等效橫向剛度為：

(19)

式中：kjh為減振器本身剛度；b為振動方向組件寬度的1/2；hc為組件質心高度。

安裝減振器后的系統基本頻率為：

(20)

式中：m為組件質量；ωz為組件主頻率。

以減振器M5-2在前述組件A和組件B上進行試驗驗證,單個減振器M5-2的橫向剛度約為699 446.5 N/m,共8個減振器在組件根部均布安裝，減振后組件的頻率計算結果與實測頻率對比見表2，可以看到計算結果與實測結果符合很好。

表2 M5-2減振系統主頻率計算結果與實驗結果對比

4 結束語

本文按沖擊應變/應力等效的原則提出一個復雜沖擊響應譜轉化為沖擊試驗規范譜的方法。該方法可以有效降低某些頻點具有較大量級的沖擊響應譜，使高量級的沖擊響應具有在沖擊臺合理驗證的可能。

對于多自由度系統的隨機振動，當前的模態質量參與法計算窄帶隨機振動下的準靜態載荷會帶來誤差。文中推導給出了考慮模態質量的耦合以及主頻率的耦合的隨機振動準靜態載荷計算公式，可以消除計算誤差。對于減振器對稱安裝的結構，提出了復合載荷下減振系統主頻率計算公式。