扁平體空間非合作目標多指外包絡抓捕構型設計

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1. 西北工業大學 航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072 2. 西北工業大學 航天學院，西安 710072 3. 西北工業大學 深圳研究院 深圳智能操控實驗室，深圳 518060

空間非合作目標主要包括太空中殘留的火箭末級、失效衛星、航天器任務拋棄物、航天器解體及碰撞衍生物等[1-2]?？臻g非合作目標的質量參數、質心位置參數、幾何形狀尺寸、轉動慣量、轉動角速度等信息均未知，運動規律較為復雜。在抓捕過程中，抓捕機構和抓捕對象之間存在高動態相對運動，難以確定固定抓捕點，因此空間非合作目標在軌抓捕難度很大[3-4]。

針對空間非合作目標抓捕問題，國內外研究人員提出了包括機械臂固定點抓捕、繩系機器人抓捕、柔性機構抓捕等方法。機械臂固定點抓捕是通過機械臂末端執行器直接對目標的固定點進行抓捕。采用機械臂抓捕一般需要有固定抓捕對接結構。ESA、NASA、JAXA、DLR、DARPA等機構提出了包括Deorbit[5]、TAKO[6]、EPOS[7]、OctArm[8]、Canadarm2[9]等系列任務，均采用機械臂抓捕方式實現對空間碎片、故障衛星等空間非合作目標的抓捕。機械臂固定點式抓捕方法成本較高，對測量系統、導航系統以及控制系統要求更高。然而，針對具有外形幾何不確定性以及運動學、動力學參數不確定的空間非合作目標抓捕問題，由于抓捕對象本身不具有固定抓捕點，因此機械臂固定抓捕方法很難適用。文獻[10]提出一種柔性抓捕概念，該抓捕機構采用3個或4個多關節手爪組成，可通過張開閉合抓捕手爪實現對故障衛星的“擁抱式”抓捕。文獻[11]提出了一種仿象鼻抓捕機構，通過可變形抓捕機構本身的彎曲纏繞抓捕對象，以實現對形狀不規則故障衛星的抓捕。該抓捕機構可以實現對翻滾角速度較小的故障衛星的抓捕，然而不適用于翻滾角速度較大的抓捕目標。文獻[12]提出一種基于繩系空間機器人的翻滾非合作目標直接抓捕方法，通過系繩拉力及抓捕機器人協同的方式穩定目標姿態，但在抓捕過程中，仍需要抓捕機器人抓捕目標的固定點或者固定對接機構。由上述分析可知，空間非合作目標具有外形不規則、運動參數未知等特點，上述抓捕方法很難適應。針對該問題文獻[13]提出了一種外包絡抓捕方法，在考慮抓捕目標參數不確定的情況下，根據目標運動包絡設計抓捕外包絡，并有效約束空間非合作目標運動范圍，進而通過主動控制實施抓捕。外包絡抓捕最大特點是包絡僅僅由位置控制機器人完成而不用考慮諸如接觸和力等力學特性，這大大簡化了操作過程中的控制[18]。

外包絡抓捕是由Kuperberg在1990年提出的，將包絡問題描述為尋找包絡點構型多邊形目標，不能任意遠離其初始位置[19]。外包絡抓捕的核心是在給定抓捕目標和抓捕機構的情況下，尋找可包絡住目標的抓捕構型集合。Rimon和Blake將外包絡抓捕引入到機器人領域，并率先提出了光滑平面物體的兩指包絡算法[20-21]。隨后，針對平面目標的兩指/三指包絡算法被相繼提出[22-25]。基于兩指外包絡抓捕是最簡單的外包絡抓捕形式，適用于凹目標抓捕。Vahedi和Stappen在兩指機構的四維構型空間中描述包絡問題并構建四維細胞來表示包絡集[26]。Pipattanasomporn和Sudsang提出了接觸式空間抓捕方案，通過計算二維接觸空間的多邊形物體設計兩指外包絡構型[27]。然而針對凸目標抓捕，兩指抓捕機構無法提供封閉的抓捕包絡，因此無法實施抓捕。而三指外包絡抓捕機構，由于其存在冗余自由度，可適用于凸目標抓捕，但是抓捕構型設計相較于雙指抓捕更為復雜，相關研究人員通常固定某些自由度來簡化三指外包絡抓捕問題。Ponce等將三指抓捕簡化為兩個固定手指和一個移動手指，研究防止任意凸物體逃走的兩指機構抓捕區域[28]。Davidson等利用單一參數描述三指機構方法研究平面目標外包絡抓捕問題[29]，由于計算量較大，超過三指的多指外包絡抓捕很少研究[18]。綜上所述，對于平面凹物體，兩個點手指一般可以實現抓捕；對于一般的平面物體，三指可以實現抓捕；但對于諸如四邊形等平面物體，則需要更多的手指[30]。Pattanasomporn等在研究多指包絡時考慮手指間的位置約束并提出了計算點手指包絡集合的方法[31]。Trinckle等提出了多指外包絡抓捕方法，利用冗余手指或關節來包絡目標[32]，其計算量很大，難以使用實時在軌抓捕。

上述研究主要針對靜態目標的外包絡抓捕，運動目標的外包絡抓捕研究較少。在已有的文獻中，Wang等研究了多機器人對運動目標的外包絡圍捕，并提出了動態目標包絡的概念用于實現在給定時間間隔的目標包絡任務[33-34]。Magariyama等引入了動態包絡區域的估計方法，并將其作為滿足目標運輸要求的機器人自由運動區域范圍[35]。上述研究中，均采用隨機策略得到外包絡構型，該方法計算量較大，難以滿足在軌服務的實時性要求。本文在此基礎上，針對運動的扁平型空間非合作目標外包絡抓捕構型設計問題，提出了一種主從模式外包絡構型優化方法。扁平體空間目標是指目標本身兩個維度尺度遠遠大于另外一個維度尺度，例如廢棄太陽翼面板、失效扁平體故障維修等。由于其幾何結構特征，設計外包絡抓捕機構構型，可以將扁平體空間非合作目標運動描述為平面目標運動。進一步，通過設計抓捕機構主從模式，大大減小外包絡抓捕構型優化計算量。同時，為盡量避免在外包絡構型形成前抓捕機構與抓捕目標之間的碰撞， 本文引入了抓捕安全裕度的概念。在設計抓捕機構外包絡構型時，將抓捕安全裕度作為優化目標，給出了多指外包絡構型優化算法。提出的算法包括如下3個主要步驟：1)選擇抓捕機構主手指并控制它的跟蹤包絡點；2)根據多指機構內在關系計算從手指可能構型；3)利用包絡條件以及碰撞檢測約束條件，篩選出有效包絡構型；4)計算抓捕安全裕度最大的最優抓捕構型。

1 運動目標多指外包絡抓捕描述

運動目標多指外包絡抓捕包括兩種典型情況：第一，多指抓捕機構接近并直接包絡抓捕運動目標，如圖1 (a)所示；第二，多指抓捕機構和運動目標間在當前時刻不滿足包絡條件，但是從當前構型開始，多指抓捕機構總可以在預定時間內形成運動目標的包絡抓捕，如圖1 (b)所示。在此運動目標多指外包絡定義如下：

定義1(運動目標多指外包絡)：至少存在一組路徑使得多指抓捕機構可獲得對運動目標的包絡構型，此時目標被約束在多指抓捕機構形成的區域中。

圖1 運動目標外包絡抓捕的兩種典型情況Fig.1 Two typical cases for the caging of planar moving objects

顯然，僅僅討論當前時刻運動目標和多指機構構型是不夠的。設S?R1表示包絡過程持續時間。為方便描述運動目標包絡，定義一個由構型空間G和時間空間S組成的狀態空間Γ=G×S。如圖2所示，在Γ中，運動目標被表示成障礙Zmb，抓捕手指被表示成目標周圍的連續路徑Zsz_i(i=1,2,…,n)。對于特定時刻t∈S，Zmb(t)和Zsz_i(t)用于檢測當前時刻是否滿足包絡條件。

圖2 四指機構包絡平面目標Fig.2 Caging of a planar moving object by a four-fingered mechanism

設Fi(i=1,2,…,n)代表第i個手指。gsz_i和gmb分別是第i個手指和運動目標的構型，包括位置和姿態。顯然，目標構型gmb是隨時間變化的。第i個手指形成的障礙Gz_i可以表示為：

Gz_i=

{gmb∈G|Zmb(gmb)∩Fi(gsz_i)≠?}

(1)

那么，整個多指機構形成的障礙Gz可以表示為：

(2)

假定目標可自由運動而不會與多指機構發生碰撞的自由空間Gfree是Gz的補集。Gfree可分為兩部分：Gfree_mb和Gfree_inf。其中，gmb∈Gfree_mb,ginf∈Gfree_inf。這里Gfree_inf表示距離目標無限遠的廣義點的集合。

定義2(包絡條件)：設gmb是目標當前構型。當且僅當下式成立時，目標和多指機構間滿足包絡條件：

(3)

當滿足包絡條件時，gmb被Gfree_mb包圍，即完全處于Gz內部。反之，當Gfree_mb和Gfree_inf之間存在連通路徑時包絡條件不成立。然而，對于構型隨時間變化的運動目標，當前時刻滿足包絡條件并不能保證下一時刻還滿足，如圖3所示。在此運動目標包絡條件定義如下：

定義3(運動目標包絡條件)：從當前時刻td開始，運動目標在給定時間間隔Δtd∈S內實現包絡條件，當且僅當對于所有的t≥td+Δtd下式成立：

(4)

圖3 隨目標運動包絡條件失效Fig.3 The case of caging condition broken as the object moves

定義3表明，包絡構型設計可以轉化成檢查包絡條件在一定時間間隔后是否仍然滿足。為了簡化問題，假設如下：

1)運動目標在給定的時間間隔Δtd內的運動可測；

2)所有的抓捕手指都是相同的并簡化為點手指，此外多指機構參數已知；

3)多指抓捕機構具有保持包絡構型的能力。

在此說明，第1個假設意味著td+Δtd時刻目標構型是可預測。利用第1個和第2個假設每根手指可能構型可計算出來。第3個假設表明在設計外包絡構型時只需關心td+Δtd時刻的包絡抓捕構型。

運動目標狀態是由其動力學方程和所受外力/力矩決定的。為了清楚方便地描述目標的運動，定義如下兩個坐標系：1)參考坐標系(慣性坐標系)定義為：坐標原點oi是目標初始時刻的質心位置、xi軸和yi軸位于目標物體的運動平面內相互垂直、zi軸垂直于目標物體的運動平面并滿足右手定則；2)目標固連坐標系：坐標原點ot是目標質心，xt軸、yt軸和zt軸分別跟目標物體的慣性主軸重合。將目標簡化成連續剛體，則其運動可以分解為轉動和平動，在參考坐標系下目標的運動方程為：

(5)

(6)

(7)

式中:α，β和γ分別為目標偏航角、俯仰角和滾轉角；ωx，ωy和ωz分別為目標角速度ωmb的分量。

因此，基于方程(5)～(7)，任意時刻目標位置和姿態角可以計算出來。多指機構的運動，可以通過目標構型、多指機構內在聯系以及碰撞避免條件規劃出來。在此需說明，與固定的抓捕不同，外包絡是一種松散的構型，它允許包絡構型在一定裕度內變化[36]。因此，不同包絡構型對應著不同目標局部自由度，如圖4所示。這里引入抓捕安全裕度概念，用于描述不同外包絡構型對應的目標局部自由度并進行定量描述。

圖4 抓捕裕度說明Fig.4 Illustration of the safe capture margin

定義4(抓捕安全裕度)：抓捕安全裕度是定量描述運動目標被抓捕機構構型包絡住后，在其內部空間可以自由運動的空間區域的指標。

由定義可知，抓捕安全裕度的值越大，目標局部自由度就越大。如圖4所示，抓捕安全裕度可定量描述為：

(8)

其中，λ是權重系數，當空間非合作目標做平動運動時λ=1，當空間非合作目標做轉動時λ=0，當空間非合作目標做一般性運動時λ=0.5；δp和δz分別是與目標平動和轉動相關的抓捕安全裕度；δpi和δzi分別是抓捕機構第i根手指對應的與目標平動和轉動相關的抓捕安全裕度。具體而言，δpi定義為：

δpi=D(gsh_i,bi)

(9)

式中：D(gsh_i,bi)為距離函數，用于計算從gsh_i到對應邊bi的距離，在此采用D(gsh_i,bi)量化gsh_i和bi之間的空間。δzi定義為：

(10)

其中，‖?‖代表歐幾里得距離。采用上述方式定義δzi目的是式(10)可用來描述抓捕包絡構型的松散程度。包絡構型越松散，目標局部自由度就越大。

2 運動物體包絡算法

包絡算法旨在尋找出多指抓捕機構在給定時間間隔內可成功包絡住運動目標的構型集合。對于運動目標包絡問題，根據定義3，必須檢查在td+Δtd時刻多指機構的區域內是否存在有效包絡構型。在外包絡形成過程中，抓捕機構手指和抓捕目標一起運動，因此抓捕機構手指和抓捕目標間必須滿足碰撞避免的安全性條件。此外，抓捕機構手指的運動還要滿足構成多指機構整體的結構約束。本文利用手指間內在聯系可得到在td+Δtd時刻包絡構型。運動目標主-從模式包絡算法包含3部分：包絡前階段、包絡構型設計階段和包絡構型優化階段。下面具體分析。

2.1 包絡前階段

在該階段，首先選取抓捕機構主手指。由于所有的手指都相同，因此主手指i的選取是隨機的。抓捕機構主手指對應的目標包絡邊bi根據手指數量和目標外形選擇。在bi附近隨機產生N個包絡點Pb={Pbi}，作為抓捕機構主手指需要追蹤的包絡點，此外這些包絡點相對于抓捕目標是靜止的。圖5具體說明了包絡點產生過程，其中，紅點和紅線分別代表主手指和相應的包絡邊。

圖5 可能包絡點生成(四指機構包絡矩形目標)Fig.5 Illustration of generating possible caging points(the caging of a rectangular object by a four-fingered mechanism)

2.2 包絡構型設計階段

包絡構型設計的目標是尋找有效包絡構型，包括3步：1)控制抓捕機構主手指跟蹤包絡點；2)根據多指抓捕機構手指之間內在關系計算從手指的可能構型；3)利用包絡條件以及碰撞約束條件，篩選出有效包絡構型。

(1)抓捕機構主手指追蹤包絡點

首先，從Pb={Pbi}中選擇一個點Pbi作為主手指需要追蹤的包絡點。Pbi軌跡Tbi是由抓捕目標運動決定的，可以表示成：

Tbi=Pbi(t)=rmb(t)+pi

(11)

(12)

抓捕機構主手指路徑Tsz_i根據Tbi可以規劃出來，跟蹤目標需要滿足下式所示邊界條件：

(13)

(14)

(15)

在此需要說明，在追蹤過程中抓捕機構與目標之間必選滿足無碰撞條件，可以描述為：

gsz_i(t)?Zmb[gmb(t)]

(16)

本文利用幾何條件進行實時碰撞檢測，當且僅當抓捕手指與待抓捕目標不相交，即手指所處的幾何區域與目標所處的機構區域無交集，才滿足無碰撞條件。

圖6 包絡矩形目標時的追蹤結果Fig.6 Tracking results of the lead finger when caging a rectangular object

(2)包絡構型設計

從手指的構型集Psz_j={gsz_j(t)} (j≠i)是根據多指抓捕機構內在結構約束計算出來的。抓捕機構手指間距離為：

i,j∈{1,2,…,n},i≠j

(17)

對于特定的多指抓捕機構，任意兩個手指間的距離是由它自身特性決定的:

(18)

那么，任意從手指j(j≠i)的構型可表示為：

(19)

如圖7所示，對于四指抓捕機構，設d1j_min=0.6 m(j=2,3,4)和d1j_max=2.2 m(j=2,3,4)。圖8說明了抓捕機構從手指可能構型的生成，同樣紅點和紅線分別代表主手指和相應的包絡邊。

圖7 手指間的內在約束說明(四指機構為例)Fig.7 Illustration of the interconnections of a specific multi-fingered mechanism (four-fingered mechanism)

圖8 從手指可能構型(四指機構包絡四邊為例)Fig.8 Illustration of possible configuration of different multi-fingered mechanisms (four-fingered mechanism caging a rectangle)

進一步，考慮無碰撞約束，可以得到多指抓捕機構的可行構型集合Psz={Psz_1,Psz_2,…,Psz_n}。在本算法中，碰撞檢測可通過式(17)實時檢查抓捕機構手指是否碰撞到抓捕目標。

(3)有效包絡構型設計

利用定義2所示的包絡條件來選擇有效包絡構型集合Hsz={Psz_1,Psz_2,…,Psz_n}。在此說明，在給定約束的條件下，很可能出現有效包絡構型不存在的情況。因此，需要給出足夠數量的隨機種子，避免產生有效構型不存在現象。

2.3 包絡構型優化

如果有效包絡構型集合Hsz≠?，則有可能存在多個有效包絡構型。根據定義4中的抓捕安全裕度，選擇抓捕安全裕度最大的構型作為最優包絡構型。最優包絡構型保證了對目標局部運動自由度和狀態不確定性具有最大的容忍度。根據式(8)，最優包絡構型對應的包絡裕度值可以表示為：

(20)

本文設計的抓捕機構有效包絡構型集合的“主從模式運動目標外包絡構型優化算法”具有任務模式簡單以及計算負擔小的優點。進一步，通過優化算法，可以尋找出對目標局部運動自由度和狀態不確定性具有最大容忍度的最優包絡構型。

3 仿真分析

在此，采用該方法分別設計四邊形目標和正五邊形運動目標包絡設計問題中。設定隨機種子數目N=100以及包絡時間間隔Δtd=30s。其他仿真條件與第2節相同。

3.1 仿真一：四指機構包絡四邊形目標

圖9 包絡過程中目標的運動Fig.9 The centroid of moving object during the whole caging process

圖9顯示了外包絡構型形成過程中目標的運動軌跡。設四邊形目標的參數與第2節中的相同。如圖5所示，紅點，也就是抓捕機構的手指1，被選為主手指。

如圖7所示，紅線代表了抓捕機構的外包絡邊界線。圖6說明了可在給定時間td=30 s內實現抓捕機構和抓捕目標的運動同步，即可以形成對包絡點的追蹤，追蹤其它包絡點的結果基本一樣，在此不再贅述。對于包絡過程中多指抓捕機構構型保持不變情況，包絡結果如圖10和圖11所示。在圖10中，圖10(a)是隨機生成的100個初始包絡構型，圖10(b)是最終得到的有效包絡構型(平均20個有效包絡構型)。圖11顯示了最優包絡結果δmax，其中，圖11(a)說明了最優包絡構型的初始和最終狀態，圖11(b)則描述了抓捕機構每個手指在包絡過程中的路徑。

圖10 四指機構構型固定時包絡矩形物體結果Fig.10 Caging results of a rectangular object by the four-fingered mechanism with fixed configuration

圖11 四指抓捕機構構型固定時最優包絡結果Fig.11 Optimal caging configuration of a rectangular object by the four-fingered mechanism with fixed configuration

對于包絡過程中多指抓捕機構構型變化的情形，也就是手指間的相對位置發生變化，包絡結果如圖12和圖13所示。在圖12中，圖12(a)是隨機生成的100個初始包絡構型；圖12(b)是最終得到的有效包絡構型(僅有1個有效包絡構型)。應當指出，當多指抓捕機構構型發生變化時，會無形增加與抓捕目標的碰撞概率，故有效包絡構型數目會減少。圖13顯示了最優包絡結果δmax，其中，圖13(a)說明了最優包絡構型的初始和最終狀態，圖13(b)則描述了每個手指在包絡過程中的路徑。

圖12 四指機構構型變化時包絡矩形物體結果Fig.12 Caging results of a rectangular object by the four-fingered mechanism with changed configuration

圖13 四指抓捕機構構型變化時最優包絡結果Fig.13 Optimal caging configuration of a rectangular object by the four-fingered mechanism with changed configuration

3.2 仿真二：三指抓捕機構包絡正五邊形目標

設正五邊形的邊長是1 m；對于四指抓捕機構，設d1j_min=1.2 m和d1j_max=1.8 m (j=2,3)。如圖14所示，紅點，也就是手指1，被選為抓捕機構主手指。正五邊形目標在包絡過程中的運動與四邊形目標的運動相同，其追蹤結果與圖6類似，這里不再贅述。如圖14所示，圖14(a)是隨機生成的100個初始包絡構型，圖14(b)是最終得到的有效包絡構型(平均10個有效包絡構型)。圖15顯示了最優包絡結果δmax，其中，圖15(a)說明了最優包絡構型的初始和最終狀態，圖15(b)則描述了每個手指在包絡過程中的路徑。這些例子說明了本文提出的“主動模式運動物體包絡算法”是能夠有效找到包絡構型集合的。此外，算法運動時間均在5 s內，這也說明了計算效率的高效性。

圖14 三指機構構型固定時包絡五邊形物體結果Fig.14 Caging results of a regular pentagonal object by the three-fingered mechanism with fixed configuration

4 結束語

1)提出了一種針對扁平體空間非合作目標的外包絡多指抓捕機構構型設計算法；

2)所提算法的核心思想是先控制抓捕機構主手指的追蹤包絡點，然后利用抓捕機構多指內在關系計算多指機構構型；

圖15 三指抓捕機構構型固定時最優包絡結果Fig.15 Optimal caging configuration of a regular pentagonal object by the three-fingered mechanism with fixed configuration

3)所提算法與已有2n-維構型空間的包絡算法相比，該算法可大大提高計算效率；

4)考慮到外包絡抓捕是一種具有一定裕度的松散構型的抓捕方式，引入抓捕安全裕度的概念用于定量描述運動目標的容許自由運動空間。進一步，對包絡構型進行優化，選擇最大抓捕安全裕度構型作為最優構型；

5)將該算法用于設計四邊形目標和正五邊形目標外包絡構型設計，仿真結果驗證了所提算法的有效性。