卡爾曼濾波在道路動態響應數據處理中的應用研究

關 偉，單伶燕，肖 倩

（交通運輸部公路科學研究所 基礎創新中心，北京 100088）

近年來，為了更加深入的研究揭示道路結構設計的科學問題，在道路結構內部埋設傳感器已成為道路行業內較為普遍的一種研究方式。尤其是通過在各結構層間埋設應力、應變傳感器，記錄不同環境及荷載下道路結構內部的實際響應數據，將能夠有效地對現有各種道路結構設計模型、方法及原料進行實際驗證，從而有效地解釋研究者所提出的新理論、新方法。然而，在實際應用中由于車輛通過時傳感器所產生的信號較弱以及外界干擾信號較強等問題，使得采集的數據信噪比較低，有效數據往往被外界噪聲淹沒，難以直接應用，大大降低了數據的可靠性。故在此采用卡爾曼濾波算法，對采集的道路動態信號進行濾波，可以有效地提高數據可靠性，并通過對比其它類型的濾波算法說明該方法的有效性。

1 卡爾曼濾波算法的應用研究

濾波器在數字信號領域是一種較為成熟的技術，從其提出到現在已有近百年的歷史。時至今日已廣泛的應用于各個行業，但是由于噪聲來源的差異、應用對象及對于性能指標要求的不同，使得并沒有一個通用的濾波方法能適用于所有的系統。因此，人們針對不同的場合提出了各種濾波理論并設計研制了大量相關的濾波器[1]。目前，應用最為廣泛的就是卡爾曼濾波器。其最為知名的應用就是有效地解決了阿波羅飛船導航系統的信號噪聲問題，同時也使得其逐漸被人們所青睞。

1.1 卡爾曼濾波原理

卡爾曼濾波理論由美籍科學家R.E.Kalman提出。起初該方法只適用于離散隨機系統，隨后其聯合R.S.Bucy將該方法擴展到連續時間系統中，并最終構成完備的卡爾曼濾波估計體系[2]。其核心思想就是通過獲取系統狀態的最小均方差，來估計包含噪聲系統中的真實值。從本質上講，卡爾曼濾波是一種基于狀態空間法的濾波算法，在狀態空間中引入了狀態變量來實現對真實值的計算[3]。在實際的應用過程中，可以采用選取恰當的狀態變量來體現系統的特征、特點和狀況的變化。

卡爾曼濾波的模型包括狀態空間模型和觀測模型。狀態空間模型是反映狀態變化規律的模型，通過狀態方程來描述相鄰時刻的狀態轉移變化規律；觀測模型反映了實際觀測量與狀態變量之間的關系[4-5]。因此，卡爾曼濾波問題就是聯合觀測值及狀態估計值來得到系統狀態的最優化估計。其理論推導如下：

假設，測量值為z（n）～N（μz，σ2z），估計值為x（n）～N（μx，σ2x），二者均服從高斯正態分布。 首先計算測量值和估計值的卷積，即：

經過計算，求出μ和σ2分別為

則式（2）、式（3）簡化為

正態分布的均值μ即為期望的輸出結果，正態分布的方差σ2即為最小均方誤差。如果是矢量，則最小均方誤差矩陣就變成多維正態分布的協方差矩陣。由式（4）也很容易分析出卡爾曼增益K的含義即為估計量的方差占總方差的比重。

1.2 卡爾曼濾波算法

根據卡爾曼濾波原理，其濾波的過程就是通過系統輸入輸出的觀測數據，利用線性系統的狀態方程對系統狀態進行最優估計，從而去除噪聲還原真實數據。在實際計算中，通常將物理系統描述成符合線性系統要求的系統模型，將運行過程看作是一個狀態轉換過程，并假設系統狀態可以用n維空間的一個向量來表示。實際物理系統可描述為[6]

式中：X（k）為在 k時刻的系統狀態；U（k）為在 k 時刻外界對該系統的控制量；A和B為系統參數，對于多模型系統而言，它們以矩陣的形式進行描述；Z（k）為在k時刻傳感器的測量值；H為測量系統的數，對于多測量系統而言，它以矩陣的形式進行描述；W（k），V（k）分別為系統噪聲和測量過程中產生的噪聲。

卡爾曼濾波算法主要分為時間更新與測量更新兩大部分。即給定某一時刻的初始值，然后在觀測空間和狀態空間之間不停的迭代，求取k時刻的估計值X和均方誤差矩陣P。該算法主要由5個核心公式表示，分別代表卡爾曼濾波算法的5個主要步驟[7-8]：

步驟1預測當前時刻的狀態。

式中：X（k∣k-1）為利用上一時刻的系統狀態對當前時刻系統狀態的預測結果；X（k-1∣k-1）為上一時刻系統的最優估計值；U（k）為當前時刻系統狀態的控制量。

步驟2更新現在狀態的協方差，用P表示。

式中：P（k∣k-1）為X（k∣k-1）所對應的協方差；P（k-1∣k-1）為X（k-1∣k-1）所對應的協方差；矩陣AT為矩陣A的轉置矩陣；Q為系統的噪聲。

步驟3計算卡爾曼增益。

步驟4進行更新校驗，求出當前時刻最優狀態值。

步驟5更新當前時刻的協方差。

式（8）～式（12）為卡爾曼濾波的5個核心公式，每次 P（k∣k）和 kg（k）都需要系統前一時刻的狀態值來進行更新，這使得該算法在實際應用中更為方便。

雖然，卡爾曼濾波算法能夠很好地應用于各種場合，但由于應用對象及所處環境的不同，在實際應用時需要選擇適合的參數才能有效地發揮其最佳性能。

2 道路動態采集信號的特征分析

為了對采集的動態信號進行有效的濾波降噪，需要對其進行必要的時、頻分析。通過時域分析可以獲知噪聲信號特征規律，而頻域分析則主要關注有效信號的頻率與幅值的特征。

2.1 時域分析

噪聲信號隨時間變化而變化，因此為了更好地找出噪聲信號的特征，在此利用了無荷載通過時的數據信號進行分析。首先，假設在無荷載經過時，動態信號為某一固定值，即真實值；而噪聲信號為Q（t）。 因此，實際傳感器采集的數據為xi=+Q（t），如圖1所示。

圖1 無載荷下的動態數據信號Fig.1 Dynamic data signal under zero-load

據此，可以判斷噪聲信號是一個典型隨機信號，其真實值可以通過大量數據的平均值獲得，即=Σxi；則噪聲信號 Q（t）=-xi。 在對信號進行分析時，選取了100個采樣段進行統計分析，其中5 s為1個采樣段，采樣頻率為2000Hz，即10000個采樣點。根據統計分析結果可以看出，噪聲信號服從N（0，0.001）的正態分布。噪聲信號的數據統計如圖2所示。

圖2 噪聲信號數據統計Fig.2 Data statistics of noise signal

2.2 頻域分析

相對于時域分析，頻域分析則主要用于獲知采集信號的頻譜特征。其方法是將時域信號變換為頻域信號，把復雜的時間歷程波形，經過傅里葉變換分解為若干單一的諧波分量來研究，以獲得信號的頻率結構以及各諧波和相位信息。通過FFT對采集的動態信號進行分析，獲知采集信號的頻譜組成及相應的能量分布，從而得到荷載信號的主要頻率。如圖3a為采集的原始信號，圖3b為采集信號的頻譜分析結果。由圖可見，采集信號主要能量的頻率為0～50 Hz，屬于低頻范圍。

圖3 采集信號頻域分析的結果Fig.3 Results of frequency domain analysis of collected signals

在充分獲知道路動態信號的時頻域特征后，將通過與傳統的時頻域濾波算法進行對比，進一步說明卡爾曼濾波算法在實際道路動態數據濾波處理應用中的有效性。

3 與傳統濾波算法的對比分析

3.1 均值濾波

均值濾波是一種常用的時域濾波算法，其廣泛應用于各種數據采集領域。均值濾波算法的優點在于計算簡單、易于實現及具有明確的物理意義，通常適用于對數據質量要求不高、數據處理設備性能有限以及要求數據處理數據較短等的工況。

圖4 均值濾波結果Fig.4 Mean filtering results

表1 平均值濾波結果Tab.1 Mean filtering results

另外，根據濾波后峰值處的時間顯示，可以發現當N值的越大時峰值滯后越嚴重。并且這種時間滯后的缺陷是均值濾波算法不可避免的。

3.2 低通濾波

低通濾波算法是頻域濾波中較為常用的濾波算法，其原理主要是根據信號與噪聲的頻譜能量差異將高頻噪聲去除。在引選取通帶響應曲線最為平滑的巴特沃斯濾波算法進行對比分析：

式中：n為濾波器階數；ωc為截止頻率。根據2.2節中頻域分析信號的主要頻率為100 Hz，采用截止頻率為150 Hz的一階低通濾波器進行濾波，結果如圖5所示。濾波后，信號的信噪比為60 dB，峰值為1.4397 mV/V，峰值時間為700 ms。對比均值濾波可見，低通濾波的主要優點在于峰值無滯后，這對于后期的應力應變響應分析十分重要。

圖5 低通濾波結果Fig.5 Low pass filtering results

3.3 卡爾曼濾波

根據1.2節所介紹，采用的科爾曼濾波器中對象模型為

式中：X（k∣k-1）為k時刻的預測值。當變化量小于某一閾值時認為信號未產生變化；當其大于閾值時則以k-1時刻的值加上k-2時刻的變化量作為預測值。卡爾曼濾波結果如圖6所示。濾波后，信號的信噪比77 dB，峰值為1.4396 mV/V，峰值時間為700 ms。

圖6 卡爾曼濾波結果Fig.6 Kalman filtering results

由此可見，卡爾曼濾波綜合了前2種濾波算法的優點，不但具有較好的噪聲抑制作用，同時對于峰值保持及峰值點跟隨的效果也十分出色。其良好的綜合性能能夠有效地去除道路動態數據的噪聲還原真實信號，為后續數據分析的正確性提供可靠保障。

4 結語

道路動態響應數據的信號較小且相對噪聲較大，致使在對其進行后續分析前需要采取適當的濾波處理。通過對比3種濾波算法的效果（相對于原始信號，均值濾波、低通濾波、爾曼濾波后信號的信噪比分別提高了16，3，20 dB，峰值滯后時間分別為8，0，0 ms），說明了卡爾曼濾波在處理道路動態響應數據時要優于傳統的均值和低通濾波算法。其原因在于卡爾曼濾波算法在進行濾波計算時引入了預估模型，而其濾波結果是根據測量值和預測值共同決定的，并且相關系數可根據迭代不斷更新確保了算法的準確性。為提高濾波性能，后續將進一步優化預估模型，并通過海量數據分析得到適用性更廣的預估模型，以使卡爾曼濾波算法能夠發揮其最大優勢。