基于HJI理論的無軸承異步電機懸浮系統滑模魯棒控制

孫宇新， 唐敬偉， 朱熀秋， 施 凱

(江蘇大學 電氣信息工程學院，江蘇 鎮江 212013)

無軸承異步電機通過在異步電機的定子槽中添加一套懸浮繞組，從而利用兩套不同極對數的轉矩繞組和懸浮繞組磁相互作用來改變電機氣隙合成磁場的分布，進而在轉子上產生可控徑向力，實現轉子的穩定懸浮和旋轉，具有結構緊湊簡單，無摩擦，弱磁容易，高速和超高速運行等優點，是特種傳動應用領域最具有發展潛力的方案之一[1-2]。但是，由于懸浮繞組的加入，使得無軸承異步電機具有極其復雜的電磁關系，是一個多變量、非線性、強耦合的系統。對于無軸承異步電機而言，如果不能實現懸浮系統徑向懸浮力之間非線性動態解耦控制，則不能保證電機轉子穩定懸浮和可控旋轉，進而無法發揮出無軸承異步電機優秀的性能。因此，實現對無軸承異步電機懸浮系統徑向懸浮力之間動態解耦控制顯得尤為重要，具有有重要的現實意義[3]。

自無軸承異步電機被提出以后，國內外學者對無軸承異步電機懸浮系統徑向懸浮力之間動態解耦這一問題進行了研究并取得較多研究成果。文獻[4]研究了基于氣隙磁場定向矢量控制策略，實現了靜態解耦但沒有實現動態解耦，沒有實現真正意義上的解耦控制。文獻[5]采用了基于轉子磁場定向矢量控制控制策略，實現了電磁轉矩和懸浮力的解耦控制。但是采用PID(Proportion Intergration Differentiation) 控制策略，系統動態性能較差。文獻[6-7]將逆系統方法應用到無軸承異步電機解耦控制當中，但是此方法嚴重依賴于電機的精確模型，而無軸承異步電機模型多建立于理想情況之下。因此，該方法很難在實際中應用。文獻[8-9]采用神經逆系統實現了電機解耦控制，但是所構造的系統結構復雜，學習收斂速度較慢。文獻[10]研究了自適應逆控制方法，該方法不需要辨別氣隙磁鏈，取得了較好的效果。

滑?？刂剖且环N特殊有效的非線性控制策略，具有響應快，抗擾動能力強、易于實現等優點，被廣泛應用于對各種領域[11-14]。本文根據無軸承異步電機懸浮系統控制基本理論[15]以及滑?？刂评碚揫16]，提出一種基于HJI(Hamiltom-Jacobi-Isaacs)理論無軸承異步電機懸浮系統滑模魯棒控制方法，該方法在建立懸浮系統模型時，考慮了傳統懸浮系統模型的不確定性以及外界擾動，同時通過設計合適的滑模控制律滿足HJI不等式魯棒條件來確?？刂葡到y的穩定性，實現無軸承異步電機懸浮系統解耦控制并使系統具有更強的穩定性和抗擾動能力。仿真和試驗結果證明了該方法的有效性，系統具有良好動靜態性能和魯棒性。

1 無軸承異步電機基本機理

1.1 無軸承異步電機懸浮基本機理

引入懸浮繞組后，電機原有旋轉磁場平衡被打破了，使得電機氣隙中一個區域里的磁場增強，其對稱區域的磁場減弱，進而產生的麥克斯韋力合力指向磁場增強的方向。向轉矩控制繞組通入電流I1產生磁鏈ψ1和向懸浮控制繞組中通入電流I2產生磁鏈ψ2，如圖1所示。在忽略負載情況下，由于在氣隙上側ψ1和ψ2同向，合成磁密會增加；在氣隙下側ψ1和ψ2反向，則合成磁密會減少，從而磁拉力的分布發生改變，產生沿y正方向的徑向懸浮力Fy。如果在懸浮控制繞組中通入反向電流，則可產生沿y負方向的徑向懸浮力。同理，沿x軸方向的徑向懸浮力Fx可以通過在懸浮控制繞組中通入與I2垂直的電流獲得。

圖1 徑向懸浮力產生原理Fig.1 Generation principle of radial suspension force

1.2 無軸承異步電機懸浮力數學模型

無軸承異步電機有轉矩繞組(極對數P1，電角頻率ω1)和懸浮繞組(極對數P2，電角頻率ω2)兩套繞組。研究發現，當兩套繞組滿足P2=P1± 1，ω1=ω2時，徑向懸浮力可以通過懸浮轉子徑向位移的負反饋來實現控制，從而實現轉子穩定懸浮。

無軸承異步電機的徑向懸浮力表達式為

(1)

式中：Fx，Fy為x，y方向的徑向懸浮力；km=πp1p2Lm2/12rlμ0N1N2為電機結構常數；l為有效鐵芯長度；μ0為真空磁導率；r為轉子外徑；Lm2為懸浮繞組的定轉子間互感；N1，N2為轉矩繞組和懸浮繞組的串聯匝數；i2sd，i2sq為d，q軸向的磁懸浮力控制電流分量；p1，p2為轉矩繞組和懸浮繞組極對數；Ψ1d,Ψ1q分別為轉矩繞組氣隙磁鏈在d,q軸上的磁鏈分量。

當轉子處于偏心位置時，會導致無軸承電機氣隙不均勻，從而造成氣隙磁場不平衡產生偏心磁拉力，其表達式可寫為以下形式

Fsx=ksx,Fsy=ksy

(2)

傳統無軸承異步電機懸浮力建模時常忽略系統的不確定性以及外界擾動，多建立于理想情況之下[17]。本文建模時考慮到模型的不確定性以及外界干擾，根據動力學原理，將無軸承異步電機懸浮系統的運動方程表示為

(3)

式中：m為轉子質量；Fsx，Fsy分別為轉子偏心在x，y方向產生的固有麥克斯韋力。

無軸承異步電機懸浮系統常采用氣隙磁場定向控制，有

ψ1d=ψ1,ψ1q=0

(4)

將式(4)代入式(1)中，則可表示為

(5)

2 轉矩繞組氣隙磁鏈辨識

由式(5)可知，無軸承異步電機懸浮力控制只與轉矩繞組氣隙磁鏈有關。根據無軸承異步電機數學模型，在靜止等效α，β坐標系下，轉矩繞組定子磁鏈可以表示為[18]

(6)

式中：ψ1sα,ψ1sβ為轉矩系統定子磁鏈α，β軸分量；U1sα,U1sβ分別為定子電壓在α,β軸方向分量；i1sα,i1sβ分別為定子電流在α,β軸方向分量；Rs1為轉矩繞組的定子電阻。

轉矩繞組氣隙磁鏈在α,β坐標系中可表示為

(7)

式中：L1s為轉矩繞組的定子漏感。

由式(7)可知，可通過采樣電路采樣電流電壓信號在線辨識出轉矩繞組氣隙磁鏈值，從而實現無軸承異步電機徑向懸浮力的控制。

3 滑模魯棒控制系統

3.1 HJI不等式定理

在適當的正則性和帶模有界條件假設下，完全可以通過一個擴展的HJI微分不等式是否存在正解來確定非線性不確定系統的魯棒可穩定性[19]。

考慮如下模型

(8)

式中：d為外界擾動；z為系統的評判指標。

定義對于信號d，其L2指標為

(9)

為了評判系統的抗擾動能力，定義如下性能指標

(10)

式中：J為系統L2的增益，表示系統抗擾動魯棒性能，且J越小表示系統的魯棒性越強。

根據式(8)，HJI理論可描述為：對任意給定一個正數γ，如果存在一個正定且可微的函數L(x)≥ 0，并且[20]

(11)

則J<γ。

3.2 滑模魯棒控制器設計

為了提高系統的穩定性，將HJI不等式應用于滑模魯棒控制中，通過設計合適的滑?？刂坡?，使式(11)條件滿足，則J<γ，魯棒條件成立，最終實現無軸承異步電機懸浮力解耦控制。

式(3)改寫為向量形式，可表示為

(12)

假設理想位移指令為zd，則跟蹤誤差e=z-zd,結合式(12)和式(2)設計控制律為

(13)

將式(13)代入式(12)中，則可得

(14)

定義滑模函數并作為評價信號ζ，即

(15)

式中:c>0。

得

(16)

利用HJI不等式理論,可將式(16)改寫為

(17)

其中，

(18)

則，設計控制律為

(19)

定義Lyapunov函數為

(20)

則可得

(21)

定義

(22)

由式(21)和式(22)可得

(23)

由于

(24)

即H≤0,有

(25)

則根據HJI理論，可得J<γ，所設計的系統是穩定的。

3.3 無軸承異步電機控制系統設計

為了實現系統良好的動靜態性能，本文提出了一種基于HJI不等式的無軸承異步電機懸浮力滑模魯棒控制系統。同時，無軸承異步電機懸浮力控制只與轉矩氣隙磁鏈有關，則電機轉矩繞組部分類似于一個普通的異步電機，對于轉矩繞組部分的控制采用傳統異步電機轉速閉環矢量控制系統進行仿真研究[21]，無軸承異步電機控制系統，如圖2所示，M=1/kmψ1。

4 系統仿真與試驗

以一臺無軸承異步電動機試驗樣機為研究對象。首先，在Matlab /Simulink中，建立本文所提控制系統仿真模型(見圖2)。系統關鍵參數，如表1所示?；ｔ敯艨刂破髦笑?0.05。

圖3為采用本文所提控制策略仿真結果波形圖。電機啟動給定轉速為3 000 r/min，在0.3 s，轉速由3 000 r/min突加至6 000 r/min。同時，轉子x軸和y軸方向徑向位移初始期望值都設置為0，在0.2 s，x軸方向徑向位移值調整為0.2 mm，在0.4 s，y軸方向徑向位移值調整為-0.2 mm。

由圖3(a)可知。電機啟動后，經過約0.05 s的調節時間，轉速到達給定轉速3 000 r/min后保持穩定，且超調量很小；當轉速在0.3 s突加至6 000 r/min時，經過約0.05 s的調節時間，轉子轉速達到指定轉速6 000 r/min，且超調量小，轉速保持穩定。同時結合圖3(b)和圖3(c)分析，當轉速在0.3 s突加至6 000 r/min時，x軸方向徑向位移和y軸方向徑向位移基本不受影響，仿真結果表明實現了轉速和懸浮力之間的解耦。

由圖3(b)和圖3(c)可知，電機啟動后，轉子快速到達指定中心位置，并且保持穩定。在0.2 s，x軸方向徑向位移值調整為0.2 mm時，轉子能迅速響應，到達指定位置保持穩定，且超調量小。且此時電機轉速和y軸方向徑向位移基本不受影響。在0.4 s，y軸方向徑向位移值調整為-0.2 mm時。轉子也快速到達指定位置保持穩定。且此時電機轉速和x軸方向徑向位移也基本不受影響。仿真結果表明x軸方向徑向位移發生改變時，y軸方向徑向位移基本不受影響；y軸方向徑向位移發生改變時，x軸方向徑向位移也基本不受影響，實現了x軸方向徑向位移和y軸方向徑向位移之間解耦控制。

(a) 轉速響應

(b) x軸方向上徑向位移

(c) y軸方向上徑向位移圖3 仿真結果Fig.3 Simulation results

圖4為采用常規PID控制策略仿真結果波形圖。同樣，轉子x軸和y軸方向徑向位移初始期望值都設置為0，在0.2 s，x軸方向徑向位移值調整為0.2 mm，在0.4 s，y軸方向徑向位移值調整為-0.2 mm。

由圖4(a)和圖4(b)可知，電機啟動后，轉子也能到達指定位置，但調節時間和超調量比較大，最大超調量為0.2 mm，最長調節時間為0.6 s。同時，對比圖3(b)、圖3(c)和圖4(a)、圖4(b)可知，采用本文所提的控制策略，轉子徑向位移控制效果更好，調節時間更短，超調量更小。

(a) x軸方向上徑向位移

(b) y軸方向上徑向位移圖4 仿真結果Fig.4 Simulation results

為了進一步驗證本文所提控制策略，利用無軸承異步電機試驗控制平臺進行試驗驗證。電機啟動后，轉子到達中心位置穩定后，轉速給定由1 200 r/min上升為2 000 r/min時轉子徑向位移試驗波形圖，試驗結果表明當轉速變化時，轉子徑向位移基本不變，實現了轉子轉速與徑向位移之間的解耦，電機轉子能穩定懸浮，如圖5所示。同時轉子的徑向位移同時誤差小于±25 μm，充分證明所提方法的有效性。同時對比波形和試驗波形可知，試驗波形脈動較大，并且調節轉速時，位移波形頻率發生變化。分析該現象的原因，一方面是由于仿真建模時無軸承電機模型理想化，并且加工出來的電機轉子質量分布不均勻，其它更深層次的原因則需要繼續探究。

圖6為電機轉速到達800 r/min，在y軸徑向位移方向突加擾動時轉子徑向位移試驗波形圖。由圖6可知，當y軸徑向位移方向突加擾動后，轉子能在較短的時間回到穩定狀態，表明系統具有很強的魯棒性。此時，x軸方向徑向位移基本不變。試驗表明，所提控制方法實現了懸浮系統x軸方向徑向位移和y方向徑向位移之間動態解耦控制，同時系統具有很強的魯棒性。

圖5 y軸方向徑向位移變化時轉子徑向位移試驗波形Fig.5 The experimental waveform of radial displacement of rotor when displacement changes in y axis

圖6 y軸方向突加擾動時轉子徑向位移試驗波形Fig. 6 The experimental waveform of radial displacement of rotor when sudden disturbance in y axis

5 結 論

針對無軸承異步電機懸浮系統解耦控制的需要以及傳統懸浮力解耦控制中存在的缺陷，本文提出了基于HJI理論的無軸承異步電機懸浮系統滑模魯棒控制系統。利用基于HJI理論的滑模魯棒控制器代替傳統PID控制器，與傳統PID控制策略相比，該方法有效的調高了系統的控制性能，有效地降低了調節時間和超調量，并且系統具有很好的魯棒性。仿真和試驗結果表明該控制方法實現了無軸承異步電機懸浮力動態解耦控制，且系統具有較好的靜態和動態性能，實現了無軸承異步電機轉子的穩定懸浮。