核心素養(yǎng)視角下用問題引領數(shù)學實驗活動課——以數(shù)學活動“正方形紙片的折疊”為例

江蘇省徐州市第三十一中學 胡子揚

一、實驗目的

設計以問題——“用正方形紙片折出含有30°角的直角三角形”為背景的折紙實驗。經(jīng)歷“操作——觀察——思考——交流——推理——操作”的過程，探究正方形紙片在翻折前后對應邊、角的數(shù)量和位置關系，探究圖形性質，感悟“用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界、用數(shù)學的語言表達世界”，借助實驗助推數(shù)學思維生長。

二、實驗準備

10cm×10cm 的正方形紙片3 個。

三、實驗內容與步驟

第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD 折疊，使點A 和點B，點D 和點C 重合，將正方形紙片展開后，得折痕MN，如圖2。

問題1：折痕MN 和正方形ABCD 的各邊有何特殊的數(shù)量、位置關系？

問題2：你能在圖1 中用尺規(guī)作出折痕MN 嗎？

圖1

圖2

圖3

圖4

設計意圖：從簡單的折紙動作入手，由折紙現(xiàn)象聯(lián)系軸對稱的數(shù)學性質，得折痕MN 垂直平分邊AB、CD ，折痕MN 平行AD、BC；鍛煉用尺規(guī)作線段垂直平分線的基本數(shù)學技能。

第二步：如圖3，在邊AD 上取一點E，將正方形ABCD 沿BE 折疊，使點A 落在MN 上的點A'處，將正方形紙片展開后，設BE 與折痕MN 相交于點F。

問題3：試用尺規(guī)在圖2 中作出點A'和點E。

國家要盡快制定一些相關的法律法規(guī)，為低碳經(jīng)濟的發(fā)展構建一個積極、完善、客觀的外部環(huán)境，替低碳營銷模式提供良好的氛圍?，F(xiàn)今，世界各國都在相繼制定、出臺與低碳經(jīng)濟相關的法律、法規(guī)。例如美國制定的《低碳經(jīng)濟法案》、英國出臺的《可再生能源義務》、丹麥的綠色能源的發(fā)展模式和意大利的“白色證書”“綠色證書”、能源計劃等等。我國也應該著手這方面立法的研究。在制定相關的法律法規(guī)時，添加應對氣候變化的相關條款，在規(guī)劃、批報項目和戰(zhàn)略環(huán)評的規(guī)則中增加氣候影響評價的規(guī)定，逐漸建立健全應對氣候變化的體系。

問題4：在圖3 中，連接AA'，你認為△ABA'是何三角形？你還能找到圖中與之類似的三角形嗎？

問題5：圖3 中哪些角的度數(shù)為30°？

設計意圖：培養(yǎng)學生“用數(shù)學”的意識：用數(shù)學的眼光觀察折紙操作，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)象背后的數(shù)學本質。

①聯(lián)系軸對稱的性質，折痕MN 上的點A'有A'B=AB 的特征，故用圓規(guī)以點B 為圓心，BA 為半徑截取即得。同時關注用尺規(guī)作角的角平分線的基本數(shù)學技能。

②關注一、二兩步操作產(chǎn)生的折痕，即對稱軸，由對稱軸上的點到線段兩端的距離相等，得AB=A'B=AA'，從而△ABA'是等邊三角形，類似的，可以發(fā)現(xiàn)△AEF 也是等邊三角形。

③對比折疊前后的線段和角，落實到邊角的數(shù)量關系上，不難發(fā)現(xiàn)∠CBA'，∠EBA'，∠ABE，∠BA'N，∠AA'N 等均為30°的角。

第三步：將圖3 中的正方形再次折疊，使BC 和BA'所在的直線重合；EA 和EB 所在的直線重合，展開后得折痕分別為BG、EH。

問題6：試用尺規(guī)在圖3 中作出折痕BG、EH。

問題7：問題2 和問題6 中折痕的畫法有何異同之處？能把你的經(jīng)驗和方法與同學分享嗎？

問題8：觀察圖4，折疊后點C 和點A'重合嗎？為什么？

設計意圖：同為折疊產(chǎn)生的折痕作圖，但對應點重合產(chǎn)生的折痕與對應邊重合產(chǎn)生的折痕落實在作圖上是有所區(qū)別的，引導學生進一步思考自己的作圖操作，并及時總結。同時關注點、線、角的重合前后的對比，落實到線段和角的大小關系和位置關系上，不難證明折疊后點C 和點A'是重合的。

第四步：在第三步折疊的基礎上，將紙片再次沿BE、BA'和A'折疊，使其都與△A'BE 重合，則△A'BE 即為所求。

問題9：試說明△A'BE 是含有30°角的直角三角形。

問題10：觀察折疊后的紙片，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

設計意圖：引導學生由前面的操作過程聯(lián)系數(shù)學思考、數(shù)學推理，用數(shù)學的符號語言規(guī)范表達自己的證明過程，將操作的過程、思維可視化；進一步觀察、交流、操作，我們可以發(fā)現(xiàn)△A'BE 在折疊后的紙片上的內心和斜邊上的中線等結論。開放的問題讓相異的學生能從不同的角度觀察數(shù)學現(xiàn)象，聯(lián)系數(shù)學知識，拓展數(shù)學思維，提升數(shù)學素養(yǎng)。

四、實驗指南

本實驗是為初中高年級學生設計的一節(jié)數(shù)學綜合活動課.通過折疊正方形紙片，不僅再次從軸對稱的角度對正方形的圖形性質進行認識，而且在操作過程中逐步經(jīng)歷運算推理，發(fā)展空間想象能力及邏輯推理能力。

在折紙操作的過程中回歸數(shù)學本真，對于生活中的簡單紙質現(xiàn)象，能用數(shù)學的眼光審視其中蘊含的數(shù)學原理；用數(shù)學的思維思考在折紙過程中產(chǎn)生的數(shù)量和位置關系等數(shù)學問題；能用數(shù)學的語言描述折紙的現(xiàn)象和數(shù)學思想方法。