“一名一角”在三角函數經典題型中的應用

■河南省沈丘縣第一高級中學 孫鵬飛

縱觀近5年的高考試題,對三角函數的考查主要圍繞三角函數的圖像及其變換,三角函數的圖像與性質。考題多以中檔難度出現,有時也會以解答題形式進行考查,不僅要求考生熟練掌握三角函數的圖像與性質,還要求考生注意三角恒等變換,切割化弦,名稱不同化同名,角不同化同角,降冪等,最終化成y=Asin(ω x+φ)+k,y=Acos(ω x+φ)+k,y=At a n(ω x+φ)+k型,簡稱“一名一角”。利用整體代換、數形結合、化歸轉化等數學思想方法,在解題時明方向、巧轉化、化繁為簡,達到事半功倍的效果。

一、三角函數的周期

例1 函數的最小正周期是( )。

解法一：因為,所以。故選B。

解法二：因為故選B。

方法技巧：函數y=Asin(w x+φ)+k或y=Acos(w x+φ)+k的最小正周期是,函數y=At a n(w x+φ)+k的周期是

二、三角函數的奇偶性

例2 已知函數f(x)=sin(x+θ)+是偶函數,則θ的值是( )。

解析：由輔助角公式,把化成

若函數f(x)為偶函數,則kπ,k∈Z,即,k∈Z,結合θ∈,令k=0,所以。故選B。

歸納感悟：(1)在三角函數中,判定奇偶性的前提是定義域關于原點對稱,奇函數一般可化為y=Asinw x或y=Atanw x的形式,而偶函數一般可化為y=Acosw x+b的形式。

(2)已知函數的奇偶性求參數時,充分利用三角函數的性質化歸到y=sinx,y=cos

x,y=t a nx簡單函數模型上去。對于y=Asin(w x+φ),若為奇函數,則φ=kπ,k∈Z;若為偶函數,則。對于,若為奇函數,則φ=;若為偶函數,則φ=kπ,k∈Z。對于y=At a n(w x+φ),若為奇函數,則

三、三角函數的單調性

例3 已知函數

(1)求f(x)的定義域與最小正周期;

(2)討論f(x)在區間上的單調性。

分析：將函數f(x)化簡為f(x)=Asin(w x+φ)+k,“一名一角”的形式后,利用整體換元思想及正弦函數的單調性求函數f(x)的單調區間,結合T,得函數f(x)在區間上的單調性。

解：(1)函數f(x)的定義域為

所以f(x)的最小正周期為

歸納感悟：(1)求函數的單調區間應遵循簡化原則,將函數解析式化成“一名一角”,并注意復合函數的單調性規律“同增異減”。

(2)求形如y=Asin(w x+φ)+k或y=Acos(w x+φ)+k的單調區間,要視w x+φ為一個整體,通過解不等式求解,如果w＜0,借助誘導公式將w化為正數。

(3)已知三角函數的單調區間求參數時,先求出函數的單調區間,然后利用集合間的關系求解。

例4 若函數f(x)=cosx-sin

x在函數[-a,a]上是減函數,則a的最大值是( )。

分析：先確定三角函數的單調減區間,再根據集合的包含關系確定函數的最大值。

解：因為

歸納感悟：函數y=Asin(ω x+φ)+B(A＞0,ω＞0)的性質：

四、三角函數的圖像與性質的綜合應用

例5 已知函數

(1)求f(x)的最大值和最小值。

(2)若不等式-2＜f(x)-m＜2,在x∈上恒成立,求實數m的取值范圍。

解析：(1)

歸納感悟：本題求解的關鍵在于將三角函數f(x)進行正確的“化一”,即“一名一角”,以及轉化之后角的范圍的確定,因此求解時要準確運用三角公式,并借助三角函數的圖像與性質去確定函數f(x)的最值。

例6 已知函數

(1)求函數f(x)的單調遞增區間。

(2)關于x的方程f(x)-m=2在x∈上有兩個不同的解,求實數m的取值范圍。

解析：(1)

(2)由f(x)-m=2,得f(x)=m+2。當時

圖1

歸納感悟：在解決三角函數的圖像與性質的綜合應用問題時,需先將y=f(x)化為“一名一角”的形式,再借助簡單三角函數的圖像與性質解決相關問題。如三角函數的零點、方程、不等式等問題。

總之,整體代換、化歸與轉換、數形結合、函數與方程、分類討論等思想在解決三角函數問題中能夠起到意想不到的效果。