基于磷烯的三端彈道結

洪金斌， 翟 峰

(浙江師范大學 物理與電子信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

納米加工技術的發展使得器件的特征尺寸能夠小于電荷載流子的平均自由程，讓電荷載流子在器件內作彈道輸運.由于電子輸運的彈道特征，三端彈道結能顯現出非線性的電學性質.對左右對稱的Y型三端彈道結的理論研究表明，當對2個對稱端施加推拉式(push-pull fashion)的輸入電壓時，輸出電壓正比于輸入電壓的平方[1].當其中一個對稱端接地時，輸出電壓在負輸入電壓下線性遞增,并于正輸入電壓下趨于飽和[2].實驗組在GaAs/AlGaAs異質結、GaInAs/InP異質結等制成的T型三端彈道結上施加2種方式的輸入電壓時，即使在室溫下，也能觀測到與Y型三端彈道結理論相吻合的結果[3-5].當T型三端彈道結的尺寸增大到幾μm時(遠大于材料中電子的平均自由程)，或者將材料從III-V族半導體異質結變為硅，推拉式電壓輸入得到的輸出電壓仍然能表現出向下彎曲的彈道電學特性[6-8].具備非線性電學性質的三端彈道結已被幾個實驗組制成整流器、混頻器、開關和邏輯門器件[9-13].

石墨烯雖然具有非凡的電學性能[14]，但卻不適合成為像場效應晶體管這類需要有限電子帶隙的高性能器件的制造材料.在其他材料的選擇上，過渡金屬硫化物(如二硫化鉬[15])受限于不高的載流子遷移率，硅烯只能在金屬表面合成[16].黑磷烯不受上面情況的限制，具有更大的應用潛力.黑磷烯是一種層狀材料，層與層之間由弱范德瓦爾斯力耦合在一起，磷原子的sp3軌道雜化形成層內原子間的化學鍵.單層磷烯由磷原子褶皺狀排列組合形成，類似于石墨烯的蜂窩結構.這樣的原子結構使得其對電子傳輸和光學特性都具有高度的各向異性[17-19].單層黑磷烯在armchair(扶手椅形)方向與zigzag(鋸齒形)方向上電荷載流子的有效質量和遷移率存在明顯的差異，在armchair方向上，電子的遷移率為1 100～1 400 cm25V-15s-1，遠高于zigzag方向的800 cm25V-15s-1[20].從塊體黑磷到單層磷烯，隨著磷烯層數的減少，直接帶隙[21]從0.3 eV變化至1.5 eV，帶隙的大小還能通過外加電場、摻雜濃度及應變大小的改變進行調控[22-23]，能隙范圍正好橋接與無能隙的石墨烯和過渡金屬硫化物的能隙之間.研究以磷烯為材料制成的三端彈道結的電學性質，不僅能拓寬磷烯材料的應用領域[24]，還能為納米器件的發展提供動力.

1 模型和公式

圖1 T型磷烯三端彈道結示意圖

圖2 磷烯材料的俯視圖和三維視圖

T型磷烯三端彈道結如圖1所示，其中斜線區域表示外接的導線，Vl,Vr,Vm與μl,μr,μm是3個端的電壓與化學勢，l，r，m分別表示三端彈道結的左端、右端和中間端.圖2(a),(b)是圖1截取的一部分磷烯的俯視圖和三維視圖，空心球和實心球分別代表上下層的磷原子，x軸沿著armchair方向，y軸沿著zigzag方向.為了研究磷烯三端彈道結中電荷輸運的非線性特性，筆者采用單層磷烯的四帶緊束縛模型哈密頓[25-27],即

(1)

因黑磷烯能帶的各向異性，本文可構造2種T型三端彈道結：一種是右端邊緣為armchair；另一種是右端邊緣為zigzag.3個端突出部分的長度都是5 nm，寬度都是20 nm.根據T型的對稱性，左右兩端的邊緣形狀相同，而與中間端邊緣形狀不相同.結合Landauer-Büttiker輸運理論，得到各個端凈電流及熱流與3個端化學勢之間的函數關系[28-30]：

(2)

(3)

(4)

式(2)～式(4)中：i，j，k同樣指代左、右、中3個端中的任一端;Ii，Qi分別是i端的凈輸出電流和熱流;Tij(E) 是能量為E的入射電子從j端各個入射通道散射到i端的概率之和 (后文稱之為總透射概率)，其值可超過1;化學勢μi=EF-eVi,EF是系統在零偏壓下的電化學勢(費米能)；e是電荷元的電量；h是普朗克常數；kB是玻爾茲曼常數；T是溫度.筆者用kwant軟件[31]計算三端體系的散射矩陣得到Tij.沿用多數三端彈道結的研究思路，只考慮輸出信號為電壓、且輸出端凈電流為零的情形.根據Landauer-Büttiker公式，輸出端凈電流為零的條件決定了輸出端的化學勢對輸入端化學勢的非線性函數依賴關系，再通過換算可得到輸出端電壓與輸入端電壓之間的關系.

2 結果和討論

2.1 透射概率

輸出電壓信號對輸入電壓信號的依賴形式由系統的透射譜決定.磷烯三端彈道結的透射譜如圖3所示.圖3中,Trl,Trm分別代表左端到右端和中間端到右端的透射曲線，虛線是對應的冪函數擬合曲線，“A”表示右端邊緣為armchair的體系，“Z”表示右端邊緣為zigzag的體系.左端導線的導帶底設置為能量的零點.在磷烯材料中，armchair方向電子的傳輸通道數更多，電子沿著armchair方向傳輸通過的概率比沿著zigzag方向大，所以Trl(A)曲線的總透射概率顯著高過Trl(Z)曲線的總透射概率；三端彈道結的對稱性讓中間端到左右兩端的透射曲線差異極其微小.本文選取的研究體系尺寸遠小于電子的平均自由程，彈道性讓電子能夠繼續保持入射的方向，再加上zigzag方向通道數少，使得armchair輸入端到zigzag輸出端的透射概率被壓制得極低.隨著入射能的不斷增大，電子透射不再只依賴于端之間的通道數，能很輕易地從兩個平行端彈射出去，讓zigzag到zigzag的總透射概率顯著增大，甚至超過zigzag到armchair的透射概率.入射能較低的時候，各端的通道數比體系形狀更能影響電子的傳輸能力.0～1.2 eV，透射曲線與入射能的冪函數能很好地擬合，Trl(A),Trm(A),Trl(Z),Trm(Z)分別對應24.80E0.52,6.43E0.59,8.00E0.81,7.80E0.53.其中，E是以eV為單位的入射能數值.這些冪函數的指數比較接近，而Trl(Z)曲線由于通道數限制下平行端之間的透射能力更突出，擬合后冪函數的指數更大.

2.2 推拉式電壓輸入時的輸出電壓特性

為了考察輸出信號對輸入信號的非線性依賴，筆者首先考慮對2個輸入端施加推拉式的相反電壓，使2個輸入端的偏壓ΔV=2|V|，兩端的化學勢能之差Δμ=2e|V|.由于該體系形狀結構的特殊性，只需考慮2種情形：1)輸入端為左右兩端，Vr=V,Vl=-V；2)輸入端為左中兩端，Vm=V,Vl=-V.當左右兩端施加推拉式電壓時，輸出電壓隨Vr變化的曲線如圖4所示.無論是改變費米能位置，還是改變外界溫度，輸出端電壓曲線都是呈向下彎曲的走勢，數值上趨向于負電壓端.由于這種T型三端彈道結透射通道的對稱性，所以，輸出電壓曲線是關于Vr=0對稱.在中間端凈電流Im=0，Tlm=Trm的條件下，根據式 (2),將函數f(E,T) 作泰勒展開，可得[1]

圖4 不同溫度、費米能下三端彈道結的中間端輸出電壓 Vm與右端輸入電壓 Vr 之間的關系

(5)

由于Vl=-Vr，所以，冪次為奇數的項對Vm沒有貢獻，從而二次項系數(單位:V-1)為

(6)

圖4的插圖是低偏壓下三端彈道結在費米能EF為0.10 eV和0.01 eV時的輸出電壓曲線及-3.22Vr2，-10.60Vr2這2條擬合曲線，所取溫度T=300 K.當Vr<0時，中間端凈電流可以等效為右端到中間端和中間端到左端的合電流.當T=0 K時，從右端流向中間端的電子能量范圍為[μr-Δμ1,μr]，其中，Δμ1=-eVr+eVm.從中間端流向左端的電子能量范圍為[μm-Δμ2,μm]，其中，Δμ2=-eVr-eVm.由于右端到中間端的入射能比較高，透射能力更強，所以,只有當Δμ1<Δμ2時才能保證合電流為零.升高費米能，右端與中間端電子入射能增大，總透射概率隨入射能的變化率減小，Δμ1增大才能平衡流入流出的電流，因此，Vm隨之增大.對于二維體系，升高溫度會導致化學勢的降低，輸出電壓隨之升高.當T=30 K時，導帶中能量與費米能級相差26 meV的電子參與輸運，電子數少，導致對應的輸出曲線出現微小振蕩.在費米能較低時，溫度對輸出電壓曲線有顯著影響.

圖5給出了輸入端為左中兩端時，輸出電壓Vr隨中間端輸入電壓Vm的變化曲線.其中:圖5(a)右端邊緣為armchair;圖5(b)右端邊緣為zigzag.中間端與左端這樣的非對稱端輸入導致輸出電壓曲線不再關于Vm=0對稱.彈道輸運的特性，同樣讓輸出電壓曲線向下彎曲.在右端凈電流Ir=0的條件下，可得

(7)

其中輸出電壓表達式中各項的系數分別為：

(8)

(9)

對于右端邊緣為armchair的體系，當Vm大于0時，左右端的透射概率遠遠高于中間端到兩端的透射概率，右端的化學勢更加向左端化學勢靠近才能平衡右端的2個分電流.二次項系數γ<0，一次項系數中,Trm-Trl<0，β<0，右端輸出電壓隨中間端的輸入電壓單調遞減變化，使得輸出電壓小于零.在Vm大于0的情形，溫度對輸出電壓幾乎沒有影響.隨著中間端化學勢的不斷升高，中間端參與輸運的電子增多，補償了此時較小的透射概率，使得右端的化學勢向中間端的化學勢靠攏.因此，輸出端的電壓增大到正值后又開始降低.

對于右端邊緣為zigzag的體系，由于在低偏壓下中間端向兩端的透射能力強于左右兩端之間的透射能力，Trm-Trl>0，β>0，二次項系數γ<0,所以在中間端處于低壓端的時候出現輸出電壓的單調遞增區.非負的輸出電壓出現在Vm>0的那一邊.提高費米能同樣使得輸出電壓曲線更平緩.與右端邊緣為armchair的體系相比，這種體系的輸出電壓隨溫度變化較為明顯，線性區范圍較窄(|β|<|γ|)，輸出電壓極大值的絕對值更小.

(a)A體系 (b)Z體系

2.3 熱流特性

當體系左右兩端為輸入端時，由于結構的對稱性，2個輸入端的熱流曲線關于Vr=0對稱，輸出端熱流曲線也關于Vr=0對稱 [見圖6(a)].由于沒有凈電流，輸出端熱流很微弱.Vr>0時，輸入端是armchair邊緣的體系左右端之間的透射能力遠遠超過中間端到左右兩端的透射能力，也遠大于輸入端是zigzag邊緣的體系中各端之間的透射能力.因此，在高費米能下，輸入端是armchair邊緣體系的左右兩端熱流大于輸入端是zigzag邊緣體系的熱流.

當體系的2個輸入端不對稱(左中兩端為輸入端)時，中間與左邊兩個輸入端之間的熱流由于入射能的范圍更大，對這2個輸入端總熱流貢獻最大，使得2個輸入端高熱流還是出現在低化學勢那一端[見圖6(b)].比較右端邊緣為armchair的體系與右端邊緣為zigzag的體系，雖然左右兩端之間透射能力在2種體系中相差很大，導致二者左輸入端的熱流差異顯著，但右端化學勢的偏置使得二者中間輸入端的熱流差別很小.輸入端較大的熱流會讓三端彈道結局部發熱，所以需要適當地控制摻雜濃度，削弱熱量分布不均勻對器件功效的影響.

2.4 固定一個輸入端電壓時的輸出電壓特性

最后，筆者改變輸入電壓施加的方式，討論磷烯三端結的二極管和三極管特性.此時取左端電壓為控制信號，中間端電壓與右端電壓一個為輸入信號，另一個為輸出信號,計算結果如圖7所示.在T=300 K，EF=0.10 eV時，對左端施加不同的控制電壓，當輸出端沒有凈電流時，輸出端電壓在達到飽和電壓Vmax之前隨輸入電壓單調遞增.Vmax可以通過Vl進行調控.在Vl增大到大于零以后，增長率也趨于飽和值kmax.右端為輸入端時，A,Z 2種體系的輸出電壓隨輸入電壓變化趨勢完全相同.當中間端為輸入端時，右輸出端邊緣為zigzag的三端彈道結輸出電壓曲線更為密集，kmax更大，輸出電壓曲線趨勢跟普通三極管的輸出曲線很像.三端彈道結一方面能將左端正的脈動直流電壓矯正為恒定電壓并從中間端輸出;另一方面還能充當限壓器，即通過調節Vl的大小，將輸出電壓限制在不同的電壓下.Vl=0或Vl=-0.10 V時，右輸出端邊緣分別為zigzag與armchair的三端彈道結在Vr<0時有反向輸出電壓，而在Vr>0時幾乎沒有輸出電壓.這符合二極管單向導通和三極管開關功能的特征.

(a)對稱端輸入 (b)非對稱端輸入

圖7 在T=300 K，EF=0.10 eV，左端電壓Vl為額定電壓時，輸出電壓隨輸入電壓的變化關系

3 結 論

本文模擬了以高遷移率的磷烯為材料的T型三端彈道結在不同溫度、費米能下的輸運特性.材料的各向異性與三端彈道結的彈道特性結合，讓輸出特性更加豐富.在常溫條件下，對稱輸入端施加推拉式電壓時的輸出特性能夠勝任整流器；在非對稱輸入端施加推拉式電壓時，右端armchair邊緣的三端彈道結適用于‘或’邏輯門，而右端zigzag邊緣的三端彈道結能夠適用于‘與’邏輯門.本文還討論了三端彈道結在推拉式電壓下的熱流特性.通過控制一個輸入端的電壓，可讓體系發揮電壓二極管和三極管的作用.一種器件就能實現如此多的功能，是納米電子器件發展所期望達到的目標.