關于模糊粗糙集的廣義擴張原理的注記?

夏秀云 常安成 劉一龍 田 浩

（1.湖南信息學院公共課部 長沙 410005）（2.湖南信息學院電信學院 長沙 410005）

1 引言

Fuzzy集的概念是由美國計算機與控制論專家L.A.Zadeh提出的［1～5］，主要是研究有關模糊問題以及不確定性問題的理論方法，該理論主要強調集合邊界的不分明性。而粗糙集理論是由波蘭數學家Z.Pawlak于1982年提出的，它的概念主要是指人們通過分類去認識那些不能用分類精確表示的對象集［6］。模糊集和粗糙集在處理不確定和模糊問題時具有一定的相似性，因此把他們結合起來研究，得到了模糊粗糙集［7］。模糊粗糙集模型的應用非常廣泛，近年來學者們進行了多方面研究。比如：趙濤等［12］學者利用包含度的定義，討論了區間二型模糊粗糙集；薛占熬等［13］學者研究了基于優勢關系的程度粗糙直覺模糊集模型；陳俞等［14］學者從隨機抽樣出發，研究了模糊粗糙集的約簡；隨后，易濤等［15］學者基于模糊粗糙集測度研究了分層建模及應急演練控制應用；接著，徐飛等［16］學者從模糊矩陣的角度出發，探討了模糊理論的三個基本原理之一的表現原理。陳釘均等［17］學者通過函數思想討論了模糊粗糙集的擴張原理，然后推廣到復合映射的擴張原理。基于以上研究基礎，本文借助模糊二元關系進行建立模糊粗糙集的廣義擴張原理，研究其相關性質和定理，為進一步的研究起到鋪墊作用。

2 預備知識

定義1［8］給定知識庫 K=(U'H)，其中U 為論域，H是U上的等價關系，則對于任意X?U，記：

稱-H X為X的下近似，HˉX為X的上近似。

定義 2［9～10］ 設 K=(U'S)是近似空間，其中 U為論域，S為U上的等價關系簇，A為U上的一個模糊集合，則對于?x∈U和論域U上的一個等價關系H∈ind(K)，記定義A關于H的上、下近似分別為Hˉ(A)'-H(A)，它們均為論域U上的模糊子集，其隸屬函數分別對應為

下近似的隸屬函數：

上近似的隸屬函數：

其中，[x]H為x在H下的等價類。

定義 3［10～11］ 設映射 f:X→Y ，則由得到相對應映射，分別記為 f與 f-1：

若 f-1(y)=?，約定??=0。從而 f(A)為Y上的F模糊集，且稱

稱 Aα為Fuzzy集A的α-截集，或者稱為A的α-水平集，而稱

為 A的強α-截集，或稱為 A的強α-水平集或者α-開截集；α稱為閾值或者置信水平。

3 主要成果

定義5（廣義擴張定理）設R∈F(X×Y)是一個二元模糊關系，由R導出R-1：FR(X)→FR(Y)及R-1：FR(Y)→FR(X)'定義如下：對于任意A∈FR'B∈FR，則

設 f:X→Y是一映射，如下定義的二元關系Rf∈X×Y稱為由 f確定的二元模糊關系，其中Rf(x'y)=1，y=f(x)；Rf(x'y)=0，y≠f(x)。

同理，由 f:X→Y可定義 f-1:FR(Y)→FR(X)，而B∈FR，則對于?x∈X，有

注：FR(X)表示X上的全體模糊粗糙函數的集合。

定理1 設 f:X→Y是一映射，R∈F(X×Y)，A∈FR(X)'B∈FR(Y)，則

證明：只證1）和4）。2）和3）類似可證。

1）對于任意 y∈Y，

該定理說明了基于模糊粗糙集的廣義擴張原理是模糊粗糙集的擴張原理的一種推廣形式。

定理 2 設 R∈F(X×Y)，Ai∈FR(X)(i∈I)'Bj∈ FR(Y)(j∈ J)，則

定理4設R∈F(X×Y)，A∈FR(X)'B∈FR(Y)'且對于任意 y∈Y，存在x∈X使R(x'y)=1，則

定理5 設R∈F(X×Y)，A∈FR(X)'B∈FR(Y)'且對于任意x∈X，存在 y∈Y使R(x'y)=1，則

2）與1）同理可證。

3）對 于 任 意 x∈X ，設 y0∈Y 使 得R(x'y0)=1，則

2）類似1），略。

3）對于任意 y∈Y，

4）類似3），略。

類似于定理6，給出推論1。

推論1 設R∈F(X×Y)，B∈FR(Y)，則

4 結語

擴張原理是模糊理論的三個基本原理之一，其在模糊數學和經典數學的聯系上起到了重要作用。基于此，本文是對經典擴張原理的再探索，提出模糊粗糙集的廣義擴張原理，研究其相關性質和定理，為進一步的研究起到鋪墊作用。