基于分數布朗運動和隨機利率下兩值期權定價

鄧婷婷，韋才敏

（汕頭大學數學系，廣東 汕頭 515063）

0 引言

金融衍生品定價問題一直是數理金融的核心內容之一.期權作為股票的衍生產品，很多學者對其定價問題進行了深入的研究.自從1973年著名的B-S期權定價模型及其定價公式提出后，有關期權定價理論及應用得到了迅速的發展.由于經典的B-S模型是在理想的假設條件下得到的，因此并不符合實際的金融市場.由于分數布朗運動具有自相似性和長程依賴性等特性，在金融市場模型中用分數布朗運動取代標準布朗運動早已經被眾多學者認可.這與人們對金融市場的直觀感覺一致，使得其成為了描述標的資產價格過程的一個有力工具.關于分數布朗運動的最早研究成果可追溯到Kohnogorov，并命名為Wiener螺線[1].Mandelbrot和Van Ness[2]首次提出了分數布朗運動.Decreusefond等人[3]闡述了分數布朗運動相關理論與應用.Carmona等人[4]給出了分數布朗運動的隨機積分.Elliot和Hoke[5]研究了在Hurst指數在H∈（0.5,1）情況下的分數布朗運動，通過Wick積分的方法得到了Girsanov定理和分數It?公式.Necula[6]分析了在分數布朗運動環境下的期權定價.

利率是影響金融市場變化的最基本的因子.市場利率在短期情況下，一般可被認為是穩定的，可看作是常數.但在長期情況下，由于經濟發展狀況、股市的起伏以及國家政策等因素都會引起市場利率的波動，因而，利率是一個隨時不斷變化的量.很多研究者開始對經典的B-S定價模型進行改進，使其更符合實際情況.Kim[7]研究了隨機利率下的期權定價問題，得到了其定價公式，并在此基礎上進行了相關的實證分析.Zhang等[8]人研究了基于隨機利率投資策略的看漲期權定價.康文娟和李翠香[10]研究了標的資產服從幾何布朗運動，利率服從Vasicek模型，用多維Girsanov定理和測度變換推導出相關性數字期權的定價公式.張娟和金志明[11]在隨機利率的基礎上運用鞅方法推導出歐式期權價值過程所滿足的微分方程.李康樂[12]通過市場歷史數據對MHL，Vas，CIR和BrS四種隨機利率下的期權定價模型進行了統計分析，得到了隨機利率對期權定價影響的實證分析結果.許聰聰[13]主要致力于期權定價問題的研究，運用鞅論、隨機分析等現代數學工具研究隨機利率模型下的期權定價問題，并得到了相應定價公式.

此外，與標準的交易所交易的期權相比，仍存在著以滿足市場特殊要求的新型期權產品，有時它們被附加在所發行的債券中以增加對市場的吸引力.兩值期權是一種具有不連續收益的新型期權，只有標的資產的價格超過執行價格才會有收益.目前關于兩值期權的研究有：郭華英[14]探究了標的資產服從標準布朗運動和假定利率服從Hull-White隨機利率的兩值期權的定價問題.滿圓圓[15]研究了在標的資產服從幾何布朗運動下，運用Girsanov定理進行測度變換，再利用Bayes法則消除隨機項，得到兩值期權的定價公式.王海葉[16]推導了在無風險利率、股價波動率變化的市場模型中兩值期權的定價公式.孫天宇和劉新平[17]利用對沖的思想和偏微分方法，研究了股票價格滿足幾何布朗運動情況下有交易成本和支付紅利的兩值期權定價問題.

本文在上述研究的基礎上，將標準布朗運動的Vasicek隨機利率模型下的兩值期權問題推廣到Hurst指數為H∈（0.5,1）的分數布朗運動Vasicek隨機利率模型下的兩值期權定價問題.利用偏微分方程的相關知識求解此模型，從而推導出兩值期權的定價公式，期望能得到更貼近市場真實值的結果.

1 預備知識

兩值期權（binary option）是由合同條款變化而產生的新型期權，具有不連續收益的特點，其收益與期權為實值狀態時的盈利程度無關[18].即期權在到期日處于實值狀態時，其收益為事先約定的固定數額；若處于虛值狀態時，其收益為零.以兩值看漲期權為例，它分為兩種類型：

（1）現金或無值看漲期權（cash-or-nothing call）（簡寫為CONC）：在到期日股票價格低于敲定價格時，則期權價格為零；而當股票價格超過敲定價格時，則期權賣方將支付1元給期權買方.

（2）資產或無值看漲期權（asset-or-nothing call）（簡寫為AONC）：在到期日股票價格低于敲定價格時，則期權價格為零；而當股票價格超過敲定價格時，則期權賣方將按規定支付股價給期權買方.

引理1 在分數Vasicek隨機利率模型下，假設 V＝V（St，rt，t）是一個關于 St，rt和t的三元函數，無風險利率rt滿足以下隨機微分方程

其中a，b，σr都是正常數，a表示利率的調節速度，b表示長期利率，σr表示即期利率的波動率.

風險資產股價遵循幾何分數布朗運動

其中St表示 t時刻的股票價格，σ 表示股價波動率，是帶有Hurst指數H（0＜H＜1）相關系數為ρ的分數布朗運動，并且滿足

從而得到

證 根據Taylor展式得

由于

將上式及（1），（2）帶入（4），得

定義1.1[9]假設（Ω，F，P）是一個完備的概率空間，Hurst指數為H（0＜H＜1）的分數布朗運動 B（Ht）＝{B（Ht），t≥0}是一個連續的高斯過程，且滿足：

（1）B（H0）＝E（B（Ht））＝0；

當 H＞0.5 時，B（Ht）具有長期相關性，即 r（n）＝E（B（H1））（BH（n＋1）－BH（n））＞0，并且.Hu和φksendal在H＞0.5時通過Wick積和分數白噪聲理論證明了It?型分數B-S市場無套利且完備的.

2 零息票債券定價

由于利率本身是不可交換的資產，所以在風險管理和衍生產品定價等研究中，用一種較為常見的金融工具—零息票債券作為利率的載體，因此想要對Vasicek隨機利率下的分數布朗運動進行期權定價，首先給出零息票債券定價公式.

零息票債券是一種不支付利息的債券，通常在到期日按面值支付給債券持有者.以P（t，T）表示在t時刻零息票債券的價值.不失一般性，假設零息票債券是一張在到期日T時換取1元現金的債券，即P（T；T）＝1.由于在隨機利率的假設下，零息票債券是時間和利率的函數，即P＝P（rt，t，T）.下面將利用風險對沖原理來計算t時刻零息票債券的價格 P（rt，t；T）.

2.1 零息票債券所滿足的偏微分方程

引理2[19]在分數Vasicek隨機利率模型下，到期日為T的零息票債券在t時刻的價格滿足的偏微分方程為

2.2 零息票債券的定價公式

根據零息票債券所滿足的偏微分方程（即引理2），可以得到零息票債券的定價公式.定理1在分數Vasicek隨機利率模型下，到期日為T的零息票債券在t∈[0,T]時刻的價格為

其中

證明：根據利率的隨機性和零息票債券是無風險的特點（dP＝rtPtdt），t時刻零息票債券的價值可以表示為

由（5）可得，零息票債券在t時刻的價格具有如下形式的解

且滿足 A（T，T）＝0，B（T，T）＝0.

對（6）兩邊分別對t求一階偏導，對r求一階、二階偏導可得

代入（5）并化簡可得

有

從而定理得證.

3 分數布朗運動和Vasicek隨機利率下的兩值期權定價

3.1 基本假設

借助B-S模型的基本假設，給出如下假設：

1）市場上的資產是完全可分的，可進行連續交易，允許對資產進行賣空；

2）市場是完備的，所有未定權益可復制；

3）市場上的投資者可按無風險利率任意的借入和借出；

4）股票在期權生存期內不支付紅利；

5）市場上不存在套利機會，且不存在稅收和交易成本；

6）Δ－對沖原理構造投資組合的期望回報率等于無風險利率.

3.2 兩值期權所滿足的偏微分方程

引理3 在分數 Vasicek 隨機利率模型下，t∈[0，T]時刻兩值期權 Vt＝V（St，rt，t）所滿足的偏微分方程為

證明：首先利用Δ－對沖原理構造投資組合，該投資組合由1份期權，Δ1t份股票和Δ2t份零息票債券構成，則在t時刻該投資組合的價值為

在[t，t＋dt]時間內，投資組合價值的變化為

由于投資組合在[t，t＋dt]時間內是無風險的，將（3）式以及零息票債券的微分代入上式，整理得

為了消除（7）式中的隨機項，令

將上式代入（7）式，并注意到（5）式，得

由于投資組合是無風險的，則根據無套利原理得

聯立（8）和（9）式可得

在到期日t＝T時，有

從而引理3得證.

3.2.1 現金或無值期權的定價公式

根據引理3，對現金或無值看漲期權（CONC）進行定價.

定理2 假設即期利率rt滿足（1）式，股票價格St滿足（2）式，則執行價格為K到期日為T的現金或無值看漲期權（CONC）在t∈[0，T]時刻的價值是

其中

證明：由于這是一個涉及到兩個變量的變系數拋物方程的邊值問題，直接求解較困難，因此需要通過代換引進新的價格體系.通過引入新的組合自變量和新的未知函數，使得新的未知函數適合的是低一維的定解問題.

對定解問題（9），（10）式引入新的組合自變量（即作自變量代換）以及新的未知函數（即作未知函數代換）

經過初等計算，得

將它們代入（10）式，并在兩邊同除 P（rt，t，T），得到

將變量代換式（13）以及零息票債券價格 P（rt，t，T）適合方程（5）式代入上式，得到函數在區域{y∈R＋，t∈[0，T]}上適合方程

在邊界t＝T上適合的定解條件

令 ξ＝lny，得

則（13）變形為

將上式代入（16），得

將其代入（17），得

其中邊界條件是μ（η，0）＝H（*eη－K）

由熱傳導方程經典解求得方程的解具有如下形式解：

經過變量代換，有

其中

即定理得證.

推論1 假設即期利率rt滿足（1）式，股票價格St滿足（2）式，則執行價格為K，到期日為T的現金或無值看跌期權（CONP）在t∈[0，T]時刻的價值是

3.2.2 資產或無值期權的定價公式

定理3 假設即期利率rt滿足（1）式，股票價格St滿足（2）式，則執行價格為K，到期日為T的資產或無值看漲期權（AONC）在t∈[0，T]時刻的價值是

證明：由兩值期權所滿足的偏微分方程（即引理3）可以得到資產或無值看漲期權定價模型如下

由于資產或無值看漲期權偏微分方程組與現金或無值看漲期權的偏微分方程組的區別在于邊界條件不同，故可采用相同的研究思路，變量代換后得

在邊界t＝T上適合的定解條件

因而有

其中邊界條件是μ（η，0）＝eηH（*eη－K）.

方程的解由熱傳導方程經典解釋論，具有如下形式解：

經過變量代換，得

即定理得證.

推論2 假設即期利率rt滿足（1）式，股票價格St滿足（2）式，則執行價格為K，到期日為T的資產或無值看跌期權（AONP）在t∈[0，T]時刻的價值是

4 結語

本文研究了分數布朗運動和Vasicek隨機利率下的兩值期權定價問題.由于利率是不斷變化的且具有長記憶性，因此考慮隨機利率情況下的長記憶型模型更加符合金融市場的實際情況.所得結果豐富了兩值期權定價理論，同時為決策者的投資決策提供了相應的參考依據，具有一定的現實意義.對于兩值期權定價，還有很多問題值得進一步研究.例如，次分數隨機利率、混合分數隨機利率下的兩值期權等.