基于分數階理論的車輛ABS控制研究

甘樺福，劉秋楊

?

基于分數階理論的車輛ABS控制研究

甘樺福，劉秋楊

（重慶交通大學機電與車輛工程學院，重慶 400074）

針對車輛制動過程中出現制動失穩問題及對控制安全、穩定性的要求，結合車輛動力學模型，提出一種基于分數階比例積分微分理論的車輛制動防抱死分數階PID主動控制方法，并利用Oustaloup濾波器和遺傳優化算法對分數階PID控制器進行有理化和參數整定處理，得到優化后的分數階PID控制器，最后采用MATLAB/Simulink對車輛制動防抱死分數階PID控制器進行了離線仿真分析。通過仿真分析表明，當車輛以20m/s的速度在路面上制動時，路面參數一定，采用遺傳算法優化的分數階PID控制相對于模糊自適應控制、傳統整數階PID控制，在制動時間上下降了2.1%和3.1%，制動距離縮短了3.86%和5.82%，其具有較低的超調量、較快的響應和較小的穩態誤差。

制動防抱死系統；分數階PID；遺傳算法；參數整定

前言

車輛穩定的制動性能是汽車駕駛的重要保證[1]。防抱死制動系統（Antilock Brake System，ABS）可有效調節制動器制動力，以適應輪胎接地所能提供的附著力，在緊急制動過程中防止車輪抱死，從而提高車輛制動穩定性并為車輛駕駛提供了良好的安全性，也是研究人員和汽車廠家研究的關鍵。

隨著現代控制理論的推進，國內外學者都有大量研究，提出了許多控制策略，目前，車輛滑移率控制方法主要包括邏輯門限制控制、模糊控制、PID控制和滑模變結構控制，其中PID控制提出較早，算法簡單，性能良好，是經典的控制策略。劉志遠等人[2]設計了一種邏輯門限控制方法，為制動系統提供制動力矩大小的調節；趙國柱等人[3]提出了一種模糊邏輯策略，結合了低速再生防抱死策略；孫大許等[4]基于滑移率對制動力矩變化的靈敏度優化調整PID 參數；Pan M 等[5]提出一種滑模－PWM算法，為制動系統取得了良好的防抱死性能。而大多數控制理論是從整數階積分理論推導出來的，而對于處理實際問題來說，分數階微積分能更好地描述制動系統特性，能更好的控制線性或非線性系統模型，對ABS控制研究具有開拓性意義。

本文以跟隨車輛制動時的最佳滑移率為目標，設計滿足在一定車速下，道路參數確定，提出基于分數階微積分理論的制動防抱死系統分數階PID的控制策略，通過Oustaloup濾波器和遺傳優化算法對分數階PID控制器進行有理化和參數整定處理，最后采用Simulink仿真對汽車制動防抱死分數階PID控制策略進行了離線仿真分析，結果表明分數階PID控制器具有良好控制效果，降低了車輛的制動距離和時間，且在控制的超調量，穩定性能上都有提升，提高了車輛的安全能力，提升了車輛的穩定性。

1 被控車輛動力學建模

1.1 單輪車輛動力學建模

由于本文只考慮車輛的縱向運動問題，從而可以對復雜的車輛系統模型進行相對應的簡化，采用單輪車輛模型系統進行分析，忽略空氣阻力和車輪滾動阻力的影響[6]，模型和受力分析如圖1所示：

v-車輪速度；M-車輛垂直載荷；Fp-車軸對車輛的推力；N-地面對車輪的支撐力；F-縱向摩擦力；Tb制動器的制動力矩；R-輪胎半徑

根據牛頓力學原理建立各個剛體的運動學方程，可得車輛動力學方程：

車輛運動方程：

車輪運動方程：

車輛縱向摩擦力：

式中，為1/4車輛的質量，單位Kg；為車輛行駛速度，單位m/s；為縱向摩擦力，單位N；為車輪的轉動慣量，單位Kg.m2；為車輪角速度，單位rad/s；為車輪行駛半徑，單位m；T為制動器制動力矩，單位N.m；為縱向附著系數，為地面對車輪的支持力，單位N。

1.2 滑移率的計算建模

為體現車輛在制動過程中滑動與滾動之間的比例關系，一般通過車輛滑移率來進行分析，對車輪的滑移率定義為：

式中：v為汽車行駛（平均）的瞬時速度；v為車輪的瞬時線速度；為車輪旋轉的角速度；為車輪滾動半徑。

1.3 輪胎模型

輪胎模型是輪胎各個分力與運動參數的函數關系式，本文采用廣泛使用的線性模型，其模型的數學方程式為：

式中：為附著系數，λ為理想滑移率，μ為峰值附著系數，μ為100%所得的附著系數。

1.4 制動系統模型

制動系統包括兩部分：一部分是液壓傳動系統；另一部分是制動器。對于實時模擬計算，可以建立經驗式的一階或二階模型系統。由于有相應的傳遞延遲，可以通過簡化系統，定義其傳遞函數為：

式中：為系統的增益，且K=100；為系統時間常數，T=0.01。

為仿真方便分析，通常把制動力矩T看作是制動壓力的線性函數：

式中：T為車輪的制動力矩；為制動器制動效能因素（通過實驗可以得到）；為液壓傳動系統輸出壓力。

2 基于分數階理論的車輛ABS控制器設計

2.1 分數階微積分理論

分數階微積分概念幾乎與微積分同時出現，是經典整數階微積分的擴展和延伸，主要以分數階微積分算子為研究，其微積分階次是任意階的，同時也拓展了整數階微積分的描述能力，讓其更加準確的描述實際系統的特性和行為，更具有“記憶”特性，提高了系統的設計和控制能力[7]。分數階微積分基本操作算子，其定義如下式所示：

式中：和是算子的上限和下限，為微積分階級次數，是的實部。

對于的定義在理論發展過程中出現了多種，主要包含Riemann-Liouville（簡稱G-L）定義和Caputo[11]定義，其中在控制領域中采用較多的是Caputo定義，其定義表達式如下：

式中：-1<<，；為函數。

為使上述定義更簡單，對其進行拉普拉斯變換，更有利于分數階微積分初值求解，根據分數階理論對式(9)進行拉普拉斯變換為：

其中。在零初始狀態下，及(0)=0時，上式可以簡寫成：

2.2 車輛ABS分數階PID控制器設計

設計分數階PID控制器，分數階PID控制器也可稱為PIλDμ控制器，由I.Podlubny教授首先提出[8]，與常規PID不同的是其引入了微分、積分階次λ和μ，從而多了兩個可調參數，能夠更靈活的控制受控對象，從而得到更好的控制效果，更適用于對制動性能的分析，對整體的系統穩定性有較強的抗干擾能力。

經拉普拉斯變換，車輛ABS分數階PIλDμ控制器其傳遞函數為：

式中s-λ、sμ為分數階積分算子和微分算子。

其在時域中的控制信號u(t)可以表示為：

為讓車輛實際滑移率實時跟蹤理想的制動滑移率，防止車輛在制動時抱死，使汽車行駛更加穩定，在實際應用中，分數階微積分計算常無法直接實現。分數階PIλDμ控制器在控制領域實現的核心是微積分算子的有理化，本節采用間接近似法，用Oustaloup濾波器對分數階微積分算子進行整數階近似處理，本文擬用的是Oustaloup濾波器的方法，選定擬合頻段（w，w），則分數階算子可由連續的濾波器傳遞函數表示為：

式中，連續濾波器的增益，零點w`，極點w可由式(14)得出：

濾波器階次的取值決定逼近程度的精度，值越大逼近程度越高，精度越高，對于其計算也將越復雜。通過濾波器的信號可以實現對階的微積分計算，從而實現分數階PID控制器。

車輛制動防抱死分數階PID控制器是以車輛實時滑移率變化與最佳滑移率偏差為輸入，通過把分數階控制理論與傳統PID控制結合形成的。車輛制動防抱死分數階PID控制器的框圖如圖2所示。

圖2 PIλDμ控制結構圖

2.3 基于遺傳算法的分數階PID參數優化

為使控制器設計更為合理，則需對KP、Ki、Kd、λ、μ進行優化，傳統的試湊法選出的參數難以達到理想的狀態，可以通過遺傳算法對參數進行優化，遺傳算法（Genetic Algorithm）因其具有直接對結構對象進行操作，不存在求導和函數連續性的限定特點，且具有內在的隱并行性和更好的全局尋優能力，備受學者關注，遺傳算法包括產生群體、計算適應度值、再生、交叉、變異等操作。

計算機可以精確的模擬遺傳操作并保持群體中的多樣性和基因間的交流，從中選取優勝的個體保留并繼續遺傳操作，在此之中交叉操作是對進化起到核心作用，也是取得更優的個體，從而達到快速的收斂到最優解的鄰域內，不斷逼近最優解，當種群在進化過程中陷入局部最優而無法跳出時，變異則能打破局面讓種群跳出進入下一個最優值的搜索中去，從而達到最優值[14]。

適應度函數的選擇一般有多種，選擇較多的有時間絕對偏差積分（ITAE）性能指標，本文為了保證系統的動態特性，參見常用的誤差絕對時間積分的性能指標和系統的調節時間確定系統的評價函數，同時為了防止控制量過多，又加入了輸入的平方項，最終確定的性能函數為：

式中：ω1、ω2和ω3為權重值；e(t)為系統誤差；u（t）為控制輸入；ts為系統調節時間。

遺傳算法優化分數階PID參數就是求使適應度值取最小值的參數，使系統獲得滿意的動態特性，其優化過程如圖3所示。

圖3 遺傳優化算法過程框圖

通過遺傳算法對車輛ABS分數階PID參數進行整定，遺傳算法優化分數階PID參數設置為：采用二進制編碼，初始種群大小設為100，迭代次數設為50，,編碼長度為50，交叉率為0.75，變異率為0.05。

采用MATLAB遺傳算法工具箱進行分析求解，其中最優個體適應度曲線如圖4所示，個體適應度值代表種群個體對本文所設計優化目標適應度的好壞，可以看出隨著迭代次數增加適應度值減小迅速，在15代后趨于較小的穩定值。此時個體的全局最優位置即為分數階PID參數的優化解，為能快速得到相應的優化結果，對需要優化的五個參數進行一定限制，分別對K為[0,600]，K為[0,100]，K為[0,100]，為[-1,0]，為[0,1]，最終得到的優化的整定參數為，K=543.002，K=61.848，K=70.311，=-0.163，=0.829。

圖4 適應度值對應變化曲線

3 仿真分析

在MATLAB/Simulink環境下對分數階PID控制的車輛ABS進行離線仿真，且對所設計的模糊自適應制器[9]和傳統PID控制器的ABS系統分別仿真并進行對比，仿真的路面為干混凝土路面，其中λT=0.2，μH=0.9，μ=0.75，車輛及優化主要參數如表1所示。

表1 車輛及優化主要參數

模糊自適應PID控制器設置中以誤差和誤差變化率作為輸入，對不同時刻自動調節其余PID三個參數（Kp、Ki和Kd）之間的關系，從而對輸出的三個參數進行在線修改，對被控對象提升了較好的動態與靜態的性能（其中模糊規則參考文獻9）。

在同等條件下，對傳統整數階PID控制器中的三個參數進行相應的調試，最終得到預期的效果時確定傳統整數階PID控制器的參數：

K=500，K=0.01，K=15

分別對采用三種不同控制方法的ABS制動過程進行仿真試驗，試驗道路參數已給出，在干混凝土路面上，以初速度為20m/s開始制動，直至制動結束，其主要制動性能指標如圖5～圖7所示，分別表示正常整數階PID、模糊自適應PID和分數階PID所對應的車輛車速和輪速對比、制動距離對比、滑移率響應曲線的對比仿真圖。

圖5 車速與輪速變化圖

圖6 制動距離圖

圖7 滑移率變化響應圖

由圖5所示車速與輪速變化圖可以看出，設計的優化過的分數階PID控制可以使車輛速度和輪速很平穩的同步降低至0，與其他兩種方法相比更為穩定，波動較小，從圖6所示制動終止距離來看優化過的分數階PID控制距離最短為33.15m，模糊自適應PID控制器的制動距離為34.43m，而整數階PID控制器的制動距離為35.08m，在圖7可以看出采用優化過的分數階PID控制能更好的跟蹤最優滑移率，且超調量較小，跟蹤誤差較小，響應快速，從中充分體現了分數階PID控制的優越性能。

制動工況的仿真數據如表2所示：

表2 仿真結果數據表

4 結論

（1）建立了基于Simulink的制動防抱死車輛模型。以跟隨最佳滑移率為設計目標，設計了滿足制動安全性能。基于分數階微積分理論和遺傳優化算法設計了分數階PID車輛ABS控制器，最后采用Simulink進行仿真驗證。

（2）仿真證明了設計的分數階PID車輛ABS控制器的有效性，提高了車輛的行駛安全、穩定性；分數階PID控制相較于模糊自適應PID控制和整數階PID，制動時間下降了2.1%和3.1%，制動距離縮短了3.86%和5.82%，結果表明分數階PID控制器具有更好的控制效果。

[1] Peeie M H B, Ogino H, Oshinoya Y. Skid control of a small electric vehicle with two in-wheel motors: simulation model of ABS and regenerative brake control[J]. International Journal of Crashwor -thiness, 2016:1-11.

[2] 劉志遠,井后華,陳虹.一種汽車防抱死制動系統的非線性控制方法[J].哈爾濱工業大學學報,2012(5).

[3] 趙國柱,滕建輝,魏民祥.基于模糊控制的電動汽車低速再生ABS研究[J].中國機械工程, 2012, 23(1):117-122.

[4] 孫大許,蘭鳳崇,何幸福.雙電機四驅電動汽車自適應復合防抱死控制[J].吉林大學學報(工), 2016, 46(5):1405-1413.

[5] Zhang X, Xu Y, Pan M, et al. A vehicle ABS adaptive sliding-mode control algorithm based on the vehicle velocity estimation and tyre/road friction coefficient estimations[J]. Vehicle System Dyna -mics, 2014, 52(4):475-503.

[6] 吳玲,孫宇,孫永榮.基于Matlab/Simulink的汽車ABS系統的建模與仿真[J].自動化應用, 2014(5):75-77.

[7] 趙春娜,李英順,陸濤.分數階系統分析與設計[M].北京:國防工業出版社, 2011.

[8] Podlubny I. Fractional-order systems and PIλDμ controllers[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1999, 44(1):208-214.

[9] 席本強,何毅,丘文森.汽車ABS的模糊自適應PID控制[J].遼寧工程技術大學學報(自然科學版), 2014(11):1551-1555.

Research on Vehicle ABS Control Based on Fractional-order Theory

Gan Huafu, Liu Qiuyang

（School of Mechatronics and Vehicle Engineering, Chongqing JiaoTong University, Chongqing 400074）

Aiming at the problem of brake instability during vehicle braking and the requirements for safety and stability of control, combined with vehicle dynamics model, an active control method of vehicle anti-locking fractional-order PID based on fractional proportional integral differential theory is proposed, and the Oustaloup filter is utilized. And the genetic optimization algorithm is applied to the rationalization and parameter tuning of the fractional-order PID controller. Finally, the offline simulation analysis of the vehicle anti-locking fractional-order PID controller is carried out by MATLAB/Simulink. The simulation analysis shows that when the vehicle brakes on the road at 20m/s, the genetic algorithm optimizes the fractional-order PID control with respect to fuzzy adaptive control and traditional integer-order PID control, and the braking time decreases by 2.1%. With 3.1%, the braking distance is reduced by 3.86% and 5.82%, with lower overshoot, faster response and less steady-state error.

ABS system; fractional PID; Genetic algorithm optimization; Parameter tuning

A

1671-7988(2019)03-44-05

U463.4

A

1671-7988(2019)03-44-05

U463.4

甘樺福（1993-），男，廣西，碩士研究生，重慶交通大學機電與車輛工程學院，主要從事車輛系統動力學及控制研究。

10.16638/j.cnki.1671-7988.2019.03.012