移動質量法結合分形維數的旋轉梁損傷檢測

韓偉，毛崎波，田文昊

(南昌航空大學 飛行器工程學院，南昌 330063)

0 引 言

在航空工程中，有很多梁結構處于旋轉運動狀態，例如螺旋槳、渦輪葉片等。這些結構長期在復雜惡劣的自然環境中處于高強度、高負荷運行狀態，容易出現裂紋損傷，因此，對這些結構進行健康監測十分必要。基于振動的損傷檢測技術具有無損、實時、高效等優點[1]，已得到國內外學者的廣泛關注。常見的檢測方法大都圍繞模態振型或者固有頻率而展開[2-3]?；谀B振型的方法(例如曲率模態法、柔度曲率法等)雖然能夠有效地定位損傷，但是其損傷指標的獲取需依靠模態振型，必須進行大量試驗，費時費力。

當結構發生損傷時，其固有頻率會發生變化，因此利用損傷前后固有頻率的變化可以進行損傷識別。相比模態振型，固有頻率在試驗中更容易獲得，而且精度較高。然而基于固有頻率的損傷檢測方法存在一定的局限性：(1) 易受環境噪聲影響，抗噪能力較弱；(2) 難以識別損傷位置和損傷程度。為了解決上述問題，Zhang Y等[4-5]、Zhong Shuncong等[6]提出了一種通過移動質量塊得到系統的固有頻率曲線的方法，用以檢測圓筒管道結構的損傷情況，且通過實驗表明移動質量法能夠有效地識別出損傷位置，所需傳感器少，布置靈活方便，實用性較強；2016年，Wang L等[7]利用移動質量法對幾種鐵路軌道的損傷情況進行了研究；Chen Y等[8]也提出了基于固有頻率曲線和小波分析相結合的方法來檢測梁結構的損傷情況。但是關于旋轉梁結構的損傷識別研究仍相對較少，李錄平等[9]提出了風機葉片裂紋損傷定位方法，通過比較擺振方向上的前兩階振型的振型變化量對損傷進行定位。

上述關于移動質量法的研究均是通過與小波分析相結合的方式，由于旋轉梁結構的損傷通常發生在局部位置，而分形維數在幾何上能表征一個物體的局部不規則性，本文采用移動質量法結合分形維數理論進行旋轉梁結構的損傷檢測，研究裂紋位置、損傷程度、附加質量塊大小以及轉速對損傷檢測的影響，最后討論多裂紋情況的損傷檢測。

1 質量塊-裂紋梁模型

以變截面旋轉梁為基礎建立質量塊-裂紋梁模型，如圖1所示。梁的長度為L，梁的密度和彈性模量分別為ρ、E，轉軸半徑為r，轉速為Ω，梁截面為矩形，其高度h(x)和寬度b(x)沿x軸方向減小，可以表示為

(1)

(2)

式中：h0和b0分別為梁固定端截面的高度和寬度；ch和cb分別為高度和寬度的漸變系數。

圖1 質量塊-裂紋梁系統

梁上含有h個開口裂紋和一個可移動質量塊，第i個裂紋距梁固定端的距離為xi，深度為hi；質量塊質量為m，距梁固定端的距離為xm。由文獻[10]可知，裂紋可用無質量扭轉彈簧模擬，如圖2所示。

圖2 離散模型

基于歐拉-伯努利梁理論，第i段完整梁的橫向自由振動微分方程[11]為

(3)

式中：x∈[xi-1,xi]；A(x)和I(x)分別為橫截面積和慣性矩。

A(x) =b(x)h(x)

(4)

(5)

T(x)為旋轉梁所受離心力，可表示為

(6)

根據振動分析理論可知，梁的橫向位移函數可分離為空間函數和時間函數，即方程(3)的解具有如下形式：

w(x,t)=φ(x)eiωt

(7)

將式(7)代入式(3)進行變量分離并將變量無量綱化，可得：

(8)

根據Frobenius理論[12]，第i段完整梁的自由振動位移為

Φi(X)=N1iF1(X)+N2iF2(X)+N3iF3(X)+

N4iF4(X)

(9)

裂紋梁邊界條件為

(10)

(11)

由文獻[10]可知，在第i條裂紋處連續性條件為

(12)

式中：Xi為裂紋相對位置，Xi=xi/L；θi為梁的第i條裂紋引起的無量綱柔度[13]。

θi=5.346h0·J(si)

(13)

(14)

式中：si為相對裂紋深度，si=hi/h0。

由于式(13)中的無量綱柔度θi為J(si)和固定端截面高度h0的函數，必須給定梁的固定端截面高度h0才能得到無量綱柔度θi。

質量塊處連續性條件為

(15)

聯合邊界條件、裂紋處連續性條件、質量塊處連續性條件可以得到由4(n+2)個方程組成的齊次線型方程組：

K(λ)N=0

(16)

式中：

N=[N11N21N31N41…N1,n+2N2,n+2N3,n+2N4,n+2]T。

因為方程(16)存在非零解，故得到頻率方程：

|K(λ)|=0

(17)

由式(17)可解出無量綱固有頻率λ。

2 數值模擬

當質量塊在梁上移動時，結構的固有頻率會發生改變。當質量塊移動到裂紋位置附近時，由于局部質量增加，引起局部剛度下降，裂紋附近的固有頻率降低。質量塊會放大裂紋損傷對固有頻率的影響。因此，利用移動質量法所得的固有頻率曲線包含結構損傷信息。

2.1 分形維數理論

分形理論是現代數學的一個分支，它反映了復雜形體占有空間的有效性[14]。目前，分形維數理論[14-17]在幾何、地理、生物等領域均有廣泛的應用。Higuchi通過修改Burlage和Klein的算法，提出了一種用于計算時間序列分形維數的算法[18]。具體計算步驟如下：

(18)

每一個重構序列的曲線長度為

可用重構序列長度的平均值近似表示初始序列長度：

(19)

對于不同的k值，可求出k與L(k)的關系：

L(k)～k-FD

(20)

對式(20)兩邊取對數，可得：

(21)

式中：C為常數；FD為該時間序列的分形維數。

在時間序列曲線上開設定尺度窗口，計算窗口內曲線段的FD，均勻拖動窗口，可得到關于FD的曲線，稱為HFD曲線。

2.2 損傷檢測

選取質量塊-裂紋梁系統(如圖1所示)為研究對象，假定無量綱轉軸半徑R=0，固定端截面高度h0=0.02 m，高度漸變系數ch=0.3，寬度漸變系數cb=0.1。應用移動質量法結合Higuchi分形理論進行損傷檢測，并分別討論裂紋位置、損傷程度、質量塊大小以及轉速對損傷檢測的影響。

2.2.1 損傷位置識別

假設裂紋梁的無量綱轉速U=3，無量綱質量α=0.3，相對裂紋深度s=0.3，裂紋相對位置分別在Xc=0.2～0.8處，畫出Xc分別為0.2、0.4、0.6、0.8這四種損傷工況下的第一階無量綱固有頻率曲線，如圖3(a)所示，可以看出：隨著裂紋位置向自由端移動，固有頻率逐漸增大，然而卻無法直接判斷裂紋位置。

根據Higuchi分形理論計算固有頻率曲線的HFD曲線，如圖3(b)所示。

(a) 第一階固有頻率曲線

(b) 不同裂紋位置的HFD曲線

從圖3(b)可以看出：在各裂紋處HFD曲線均有明顯峰值出現，曲線峰值隨著裂紋位置向自由端移動而呈現出先增大后減小的趨勢，表明Higuchi分形方法能夠準確地識別出損傷位置。

2.2.2 分形方法對損傷程度的敏感性

假設裂紋梁轉速U=3，無量綱質量α=0.3，裂紋相對位置在Xc=0.3處，相對裂紋深度s依次為0.1、0.2、0.3、0.4，計算第一階無量綱固有頻率曲線，如圖4(a)所示，可以看出：隨著裂紋深度的增加，其固有頻率呈減小趨勢。

運用Higuchi分形方法計算固有頻率曲線的HFD曲線，其結果如圖4(b)所示，可以看出：隨著裂紋深度的增加，HFD曲線峰值逐漸升高，可見Higuchi分形方法對裂紋損傷程度具有很好的敏感性。

HFD曲線峰值與裂紋深度的關系如圖4(c)所示，可以看出：HFD曲線峰值隨裂紋深度的增加而呈現單調遞增趨勢，表明Higuchi分形方法能夠定性地反映損傷程度。

(a) 第一階固有頻率曲線

(b) 不同損傷程度的HFD曲線

(c) HFD曲線峰值與裂紋深度的關系

2.2.3 質量塊大小對損傷檢測的影響

設定裂紋梁轉速U=3，裂紋相對位置在Xc=0.3處，相對裂紋深度s=0.3，無量綱質量α依次為0.1、0.2、0.3、0.4，計算第一階固有頻率曲線，如圖5(a)所示，可以看出：第一階固有頻率從Xm=0.2附近開始隨著無量綱質量的增加而呈現減小趨勢，且變化率逐漸增大。

運用Higuchi分形方法計算固有頻率曲線的HFD曲線，如圖5(b)所示，可以看出：隨著無量綱質量α增大，HFD曲線在裂紋處的峰值也逐漸增大。

HFD曲線峰值與質量塊大小的關系如圖5(c)所示，可以看出：HFD曲線峰值隨α單調遞增，且當0.1≤α≤0.5時，曲線變化率增大；當α>0.5時，曲線變化率減小。因此，α取0.4～0.6為宜。

(a) 第一階固有頻率曲線

(b) 不同質量塊大小時的HFD曲線

(c) HFD曲線峰值與質量塊大小的關系

2.2.4 轉速對損傷檢測的影響

假設裂紋相對位置在Xc=0.3處，相對裂紋深度s=0.3，無量綱質量α=0.3，無量綱轉速U依次為1、2、3、4，計算第一階固有頻率曲線，如圖6(a)所示，可以看出：隨著轉速的提升，第一階固有頻率隨之增大，各轉速所對應的固有頻率隨著質量塊的右移而呈現減小趨勢，且從Xm=0.4開始，固有頻率曲線變化率逐漸增大。

計算固有頻率曲線的HFD曲線，如圖6(b)所示，可以看出：隨著轉速升高，HFD曲線峰值也隨之增大。

HFD曲線峰值與轉速的關系如圖6(c)所示，可以看出：當轉速從0遞增至8時，HFD曲線峰值單調遞增；當轉速從8遞增至13時，曲線峰值單調遞減。因此，當轉速為8時損傷檢測效果最佳。

(a) 第一階固有頻率曲線

(b) 不同轉速時的HFD曲線

(c) HFD曲線峰值與轉速的關系

2.2.5 雙裂紋損傷檢測

為了進一步檢驗本文方法對多裂紋損傷梁的有效性，以雙裂紋損傷工況為例進行研究。假設裂紋1位于X1=0.2處，裂紋2位于X2=0.7處，相對裂紋深度s從0.1漸變至0.6。運用Higuchi分形方法進行數值模擬計算，結果如圖7所示。(為了更清楚地看出相對裂紋深度s=0.1、s=0.2的損傷檢測結果，給出局部放大圖，如圖7(b)、圖7(c)所示。)

從圖7(a)可以看出：隨著裂紋深度的增加，HFD曲線的峰值逐漸增大，表明在雙裂紋損傷工況下，Higuchi分形方法對損傷程度仍然具有敏感性。

(a) 不同損傷程度時的HFD曲線

(b) s=0.1

(c) s=0.2

3 結 論

(1) 本文提出的將移動質量法與分形維數理論相結合來進行損傷檢測的方法，能夠準確地識別出損傷位置，并且對裂紋損傷程度具有很好的敏感性，能夠定性地反映出損傷程度。

(2)HFD曲線峰值隨無量綱質量α單調遞增，且當0.1≤α≤0.5時，曲線變化率增大；當α>0.5時，曲線變化率減小，因此，α取0.4～0.6為宜；當轉速從0遞增至8時，HFD曲線峰值單調遞增，當轉速從8遞增至13時，曲線峰值單調遞減，因此當轉速為8時損傷檢測效果最佳。

(3) 對于多裂紋損傷工況，本文方法同樣適用，對損傷程度仍然具有敏感性。