二維自由入反射波浪頻域分離方法研究

楊 明

（中交第一航務工程勘察設計院有限公司，天津 300222）

引 言

在海工相關實驗中，采集的波浪信號通常是入反射波疊加的合成波，這會對試驗模型的水動力特性分析造成干擾。在工程實踐中，近岸波浪發生反射后合成波的能量將明顯增強，嚴重時可能破壞近岸結構物的穩定，同時不穩定的波浪場會影響港池內靠泊船只的作業效率，降低港口運營收益。所以，了解結構物反透射性能，掌握入反射波浪分離方法具有廣泛的工程價值和理論意義。

當波浪行進至引起波浪產生的交變擾動力作用范圍之外時，水體僅在重力和慣性力作用下繼續傳播的波動稱為自由波[1]。入反射波的頻域分離是指通過分析獲得各成分波頻譜密度的方法。相關研究始于1952年Healy[2]提出的單點法，該方法操作及原理簡便，但適用范圍和精度有局限。1972年Thomton[3]等提出了最早的頻域分離，但其僅適用于規則波。目前為止應用和影響范圍最廣的適用不規則波分離的方法，是1976年Goda[4]提出的兩點法和1980年Mansard[5]提出的三點法，與前者相比，后者基于二乘法最小平方和原理，應用時具有更寬的分析頻域，減小了非線性項對計算精度的影響，同時對奇異解提出更嚴格限制。Isaacson于1991年建立了算法更為簡便的三點法，不用計算相位差只需通過測點處的波高數據即可進行分離計算，但該方法對障礙物反射系數及測點布置間距的要求過于嚴格且計算精度有限，適用范圍較小。1992年Zelt基于兩點法和最小二乘法進一步優化互補，提出了布置多個測點的陣列法，既解決了兩點法奇異解問題，同時通過對誤差權重進行多重分配提高了計算精度。

這些早期成果為后來的波浪分離理論發展奠定了基礎，后人分別提出了波浪斜向入射、變地形條件[6-8]、考慮水流影響[9]、波浪發生衰減[10]、非平穩波浪場[11]等基于不同應用條件的自由波分離方法。本文就典型方法的應用步驟和適用范圍進行了梳理總結。

1 平坦地形

1.1 Goda兩點法

兩點法是指，在波浪行進方向上布置兩個測點同步記錄波形，利用 Fourier級數分析方法進行分離計算，可計算出總體反射系數及入反射波中不同頻率間隔的成分波的幅值。

1）規則波分離計算原理

圖1為浪高儀布置模型，基于線性波理論[12]，合成波中入、反射成分波的波浪時間序列：

式中：

ai、ar表示入、反射波幅值；

波數k=2π/L，角頻率ω=2π/T，k和ω滿足線性色散關系方程ω2=gktanh2πkd；

εi、εr表示入、反射波初相。

x2=x1+Δx，測點采集序列作Fourier級數展開：

其中，A1、A2、B1、B2為Fourier系數。將上述兩式聯立結合測點記錄的波形數據可得ai、ar：

圖1 兩點法反射模型

2）不規則波分離計算原理

分離不規則波時，將其視為若干個頻率間隔為Δf的規則波的線性組合。則各個成分波入反射波的波幅可表示為：

式中：km=2π/Lm，表示第m倍頻成分波的波數；Lm=gT2m/2πtanh（2πd/Lm），為第m倍頻成分波波長。

根據能量觀點，合成波中總體反射率KR可表示為：

3）奇異性討論

由式（3）、式（4）易知，當ΔxL=n2時，波幅表達式發散。對應情況：當浪高儀布置間距為1/2波長的整數倍時，兩處將記錄到的波形線相同只是相位差 π/2。Goda[4]給出的建議是：測點間距ΔxL分布在0.05～0.45范圍里最理想。分離計算結果中有效成分波頻率分布范圍如圖2所示。

兩點法的3個假定條件：①波浪傳播傳播過程中不考慮橫向波導致的波能損失；②將不規則波視為規則波的疊加；③各分頻波的相速度相互獨立。

圖2 兩點法分離波譜的有效范圍

1.2 最小二乘法

Mansard等[5]建立了最小二乘法，布置不等距的三個浪高儀同步采集波形數據，分離頻譜的有效寬度更廣，計算過程中考慮了非線性項以及測波儀器中噪聲誤差的影響，分離結果精度更高。

1）分離原理

分離模型見圖3，測點1（測點數p=3）處入反射合成波浪的時間序列表示：

式中：φm表示反射作用導致的相位變化；e1（t）對應為誤差項。其他測點的表達式同理。

圖3 最小二乘法分離模型布置

將各點波面方程表達式作 Fourier變換可得到（X11=0）：

令：

整理上面兩式，得：

2）奇異性討論

最小二乘法奇異解的存在條件較兩點法更為嚴格，對應等價為x12=nLm2，x13=mx12n。該方法應用時三個浪高儀的布置間距應滿足以下條件[5]：x12=Lp2，Lp6≤x13≤Lp3，x13≠Lp5，x13≠3Lp10，Lp為譜峰頻率分頻波的波長。

圖4 自由波頻域分離流程

2 變地形情況

Chang和 Hsu[8]借助線性波淺水變形理論，分析由地形變化導致的波浪要素改變量，將兩點法拓展到適用于變地形條件。

2.1 分離原理

數據采集與兩點法相似，如圖5所示，基于線性波理論，空間任意位置處的波浪時間序列可為：

圖5 變地形條件下反射模型布置

基于線性波理論，淺水變形系數ks表示地形變化對波高的影響：

tanβ指傾斜度，水平條件，dk/dx=0，波浪行進時波數恒定，相位改變取決于測點間距；淺水條件，sinh2kh→2kh，dk/dx趨向-ktanβ/2h，變地形影響波數變化大；深水條件kh→0，dk/dx=0可理解為式（13）的分母無窮大，表明此條件下地形變化幾乎不影響波數改變；整理前式，則xb和xf位置處波高可記為：

其中：

式（15b）指代測點間距帶來的空間相位改變，式（15c）指代水深變化導致波數變化引起的相位改變。代換上式易得波浪反射系數為：

2.2 誤差分析

2.3 奇異性討論

2.4 不同水深不規則自由波的計算步驟

對于不規則波，可視為若干規則波（頻率不同）線性疊加，利用FFT將測得波高轉換為波能密度譜S（f），S（f）與波幅存在a（f）=[4S（f）df]1/2的轉換關系。從所觀測到波譜中轉換出不同分頻波幅值后依照式（16）可得出不同分頻波的反射系數。

3 考慮水流

在工程實踐中波流通常是共存的。Suh[9]借助Dopplor色散方程，建立了適用于考慮水流條件時入反射波的分離方法。計算分析模型同圖 1，沿波浪前進方向布置測點p≥2，每個測點xp記錄波浪時間序列可表示為：

在波流共存場中，入反射波浪的ki、kr變化而ω不改變。假設水流是穩定均勻流，方向垂直于波峰線，與入射波方向相同定義流速U為正，同理相反為負。則此時借助色散關系可得出：

結合三角變換及前文最小二乘法思想可導出：

波浪在靜水區和水流存在區過渡時，受流速變化的影響波高、波長以及相對角頻率rω變化而表視角頻率aω恒定。所以該分離思想導出的波高值與靜水條件對應的波高值存在如下轉換關系（利用波作用量守恒方程易導出）：

4 結 語

本文總結了二維自由波頻域分離方法，通過對其適用范圍和計算方法進行梳理總結，得出以下結論：

1）頻域方法的分離模型均源于兩點法思想，基于線性波理論，考慮不同波浪環境下波浪運動參數（如波幅、波數等）受環境變化的影響，其中，波浪在水流中傳播時通過Doppler色散關系計算波數，變地形條件下基于線性波理論中的波浪變淺系數計算不同水深處波幅值。

2）頻域分離方法的奇異解存在條件、誤差來源等特點一致，對于規則波，通過合理確定探針間距即可避免奇異解，對于不規則波，通過增加測點數可以提高計算精度。

3）上述方法是基于Fourier級數分析，將采集到的波浪時間序列進行時域內全局變換，此類方法的分離結果僅具備頻率分辨率，所以頻域方法適用規則波及平穩不規則波的分離。

4）若Fourier點數為N，時域內頻率分辨率是不變的，不規則波被視為N/2+1個頻率為n/T的規則波的疊加。考慮柵格效應，頻率值非基頻整數倍的分頻波將被漏掉。因此N值取的越大，計算中取樣的分頻波與不規則波的實際組成波頻率重合的部分越多，計算精度越高，但此舉導致增加了計算機時，所以具體應用時，需考慮實際情況合理選取點數N值。