數(shù)學(xué)教學(xué)的邊界在哪里？

■錢德春

一線教師經(jīng)常會有一些教學(xué)困惑：某個內(nèi)容講不講？某個結(jié)論能不能在解題中直接運用？學(xué)生這樣解答扣不扣分？數(shù)學(xué)教學(xué)的過程與結(jié)果的分寸如何把握？解題中回歸本質(zhì)與模型套用的關(guān)系如何處理？凡此種種，皆指向一個核心問題：數(shù)學(xué)教學(xué)的邊界在哪里？

一、確定數(shù)學(xué)教學(xué)邊界的價值

對于數(shù)學(xué)教學(xué)的“邊界”問題，一線數(shù)學(xué)教師、課程與教材專家、教研與命題人員的關(guān)注點不盡相同。受現(xiàn)行評價體制的影響，不少一線數(shù)學(xué)教師關(guān)注學(xué)生的應(yīng)試能力、考試的分?jǐn)?shù)。反映到教學(xué)中，充滿功利色彩的“越界”和“缺位”現(xiàn)象比比皆是。課程與教材專家關(guān)注的是如何制定課程、教材與教學(xué)的邊界；教研與命題人員需要研究這個“邊界”，充當(dāng)連接課程、教材與教師、教學(xué)的橋梁角色。一方面，通過課程研究與解讀、教材分析與培訓(xùn)、教學(xué)診斷與指導(dǎo)、試題命制與評價，影響教師的教學(xué)行為和學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，力求體現(xiàn)教材意圖，落實課程目標(biāo)；另一方面，發(fā)現(xiàn)、收集并反饋教學(xué)問題、困惑和教師建議，為課程設(shè)計、教材修訂提供參考。

因此，有必要確定數(shù)學(xué)教學(xué)的邊界，在課程、教材與教學(xué)三者間找到契合點。數(shù)學(xué)教學(xué)的邊界是教學(xué)的“底線”，有了這個邊界，教師的教學(xué)、學(xué)生的學(xué)習(xí)、教學(xué)的評價就會有明確的標(biāo)準(zhǔn)、有可操作的載體、有可實施的內(nèi)容、有具體的要求，數(shù)學(xué)教學(xué)活動才能在邊界內(nèi)自由地、靈動地、創(chuàng)造性地開展。

二、數(shù)學(xué)的發(fā)展無邊界，教學(xué)有邊界

1.數(shù)學(xué)的發(fā)展沒有邊界。

數(shù)學(xué)知識呈螺旋式上升、波浪式前進(jìn)的趨勢。如“1+1=2”，這是幼兒園小朋友也不會懷疑的結(jié)論，那么“1+1為什么等于2”，看似了然的問題如何解釋呢？學(xué)生能說清楚嗎？教學(xué)時可以先承認(rèn)其正確性，至于原理不妨先放一放，到了《數(shù)論》的學(xué)習(xí)與研究時再給予理論的解釋；隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)各分支更加細(xì)化，但又相互交叉融合。比如三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)是兩個不同的分支，但數(shù)學(xué)分析的出現(xiàn)，又讓二者在冪級數(shù)上得到了統(tǒng)一；復(fù)數(shù)、向量、三角函數(shù)等知識經(jīng)常在同一問題的解決上相遇。作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該用高觀點理解數(shù)學(xué)內(nèi)部知識間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢，對數(shù)學(xué)知識“從哪里來，會向哪里去、怎么去”了然于心，對教學(xué)內(nèi)容有前瞻性、本質(zhì)的認(rèn)識。

2.數(shù)學(xué)的教學(xué)有邊界。

國家課程標(biāo)準(zhǔn)提出了課程理念，制定了課程目標(biāo)，確定了課程內(nèi)容，給出了課程實施方案，明確了教學(xué)評價要求，教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體化，這些應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教學(xué)的邊界?！斑吔缫馕吨环N自由，邊界內(nèi)的任何研究都是自由的、合規(guī)范的。同時，邊界也意味著一種制約，邊界的規(guī)范就是邊界的束縛，邊界內(nèi)的自由也就意味著邊界外的不自由。”一方面，對課程標(biāo)準(zhǔn)、教材內(nèi)容、學(xué)生認(rèn)知的“邊界”有敬畏之心，一切數(shù)學(xué)教學(xué)活動都必須在這些“邊界”內(nèi)開展，不可越雷池半步；另一方面，要在“邊界”內(nèi)大膽探索與實踐，自由地開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動。

數(shù)學(xué)教學(xué)邊界的確定要遵循“五結(jié)合”原則，即數(shù)學(xué)知識的階段性與發(fā)展性有機(jī)結(jié)合，數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與合理性有機(jī)結(jié)合，數(shù)學(xué)方法的程序性與靈活性有機(jī)結(jié)合，數(shù)學(xué)思維的靜態(tài)性與動態(tài)性有機(jī)結(jié)合，數(shù)學(xué)活動的過程性與結(jié)果性有機(jī)結(jié)合。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)的邊界在哪里？

數(shù)學(xué)教學(xué)的“邊界”是多角度、多維度的，本文僅從“知識內(nèi)容”“數(shù)學(xué)思維”“學(xué)生認(rèn)知”等3個方面進(jìn)行闡述。

1.嚴(yán)格遵守“知識內(nèi)容”邊界。

數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)結(jié)論猶如浩瀚的海洋。如果不加限制地延伸，就可能拓展出超出學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)和承受能力的知識內(nèi)容。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)必須嚴(yán)格遵守“知識內(nèi)容”的邊界。

在一次教研活動中有位老師提問：“已知直線 l1∶y=k1x+b1與 l2∶y=k2x+b2，則 l1⊥ l2k1·k2=-1。這個命題在中考中能否直接用？”

筆者直言：初中階段肯定不能直接用。

該校校長（筆者的好友、教初中數(shù)學(xué)）和筆者針鋒相對：“我認(rèn)為可以直接用，即使學(xué)生用了大學(xué)的知識，只要用得正確，都不能算錯，況且我們還鼓勵學(xué)生自學(xué)呢。”校長的振振有詞似乎很有道理。我反問：“如果允許初中學(xué)生用這個結(jié)論，那么教學(xué)會出現(xiàn)什么狀況呢？”現(xiàn)場頓時沉默了。

筆者知道，校長明知這個結(jié)論在初中數(shù)學(xué)解題中直接用是“越界”行為，只是有意用這樣一個極端的例子表明態(tài)度而已。類似的問題筆者幾乎每天都能碰到。由此筆者又想到了在另一個場合，一位老師與筆者的對話：“物高之比等于影長之比需要證相似嗎？”

筆者：“你的問題我很難回答，如果證明一定不錯?！?/p>

老師：“不證明可以嗎？證明有點繁瑣，還要重畫圖。”

筆者：“還是以教材要求為準(zhǔn)吧。”

老師們的意圖很明顯：如果一些結(jié)論可以直接用，那么在考試中，學(xué)生就可以走“捷徑”，既節(jié)約了時間，也省去好多事。

真的會“省事”嗎？我們不妨設(shè)想：如果類似結(jié)論允許直接用，會對教學(xué)產(chǎn)生什么影響？課堂上教師必然會補充大量的結(jié)論讓學(xué)生機(jī)械記憶，教師、學(xué)生只關(guān)注結(jié)論是什么，不會思考、探究結(jié)論的由來，如果學(xué)生失去了經(jīng)歷結(jié)論探究過程的體驗，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)則毫無樂趣可言，學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)勢必加重，數(shù)學(xué)思維與探究能力勢必削弱。

這不禁讓筆者思考：數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是什么？是記住一大堆結(jié)論，然后套用結(jié)論解題嗎？顯然不是！數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是促進(jìn)學(xué)生的生命成長和全面發(fā)展。具體地說，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是“一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”，“既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用”。如果教學(xué)一味讓學(xué)生死記硬背大量數(shù)學(xué)結(jié)論，考試時讓學(xué)生套用現(xiàn)成結(jié)論，那學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還有什么快樂可言，還談什么學(xué)生思維發(fā)展，更不用說理性思維、創(chuàng)新能力和核心素養(yǎng)了。

客觀地說，當(dāng)今的教育最不缺的是理念、思想和模式。新課程理念、教育目標(biāo)和正確的教學(xué)方式教師都心知肚明，現(xiàn)在迫切需要解決的問題是如何讓正確的教學(xué)價值取向在數(shù)學(xué)教師心底扎根。除了在命題上強調(diào)問題的開放性、探究性、過程性和發(fā)展性，通過教學(xué)評價引導(dǎo)教學(xué)外，一定要旗幟鮮明地確定好數(shù)學(xué)教學(xué)的“知識內(nèi)容”的邊界：教學(xué)活動一定要在課程標(biāo)準(zhǔn)要求內(nèi)、在現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材內(nèi)容中開展。凡教材中明確的定義、黑體字印刷的公理、定理、法則和公式才可以直接運用，一些所謂的模型、技巧必須回到教材知識內(nèi)容上來。

2.正確理解“數(shù)學(xué)概念”邊界。

將“數(shù)學(xué)概念”與“知識內(nèi)容”“學(xué)生認(rèn)知”并列，從邏輯上看不太合理，但“數(shù)學(xué)概念”教學(xué)“越界”現(xiàn)象比較突出，因此作為特別的內(nèi)容專門闡述。

教材中的每一個數(shù)學(xué)概念在相應(yīng)學(xué)段是明確的、規(guī)范的，有清晰的外延和內(nèi)涵。但數(shù)學(xué)概念又是動態(tài)的，會隨著數(shù)學(xué)自身的發(fā)展、隨著學(xué)生認(rèn)知進(jìn)步而加深，因此數(shù)學(xué)概念有時需要結(jié)合具體情境加以理解和運用。

【問題呈現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm。有一動點P從B點出發(fā)，沿射線BC方向移動，速度是2 cm/s，在P點出發(fā)2 s后，另一個動點Q從A點出發(fā)，沿射線AC方向移動，速度是1 cm/s。若設(shè)P出發(fā)后時間為t s。（1）用含t的代數(shù)式分別表示線段AQ、PC的長度，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍。（問題（2）、（3）略）

圖1

有幾位教師糾結(jié)于該題中的第（1）問“t的取值范圍”是“t＞0”還是“t≥0”或“t≥2”。這里BP=2t cm（t≥0），AQ=（t-2）cm，他們認(rèn)為：若t=0，則BP=0，則“不存在線段CP”；若0≤t≤2，則AQ=0，也“不存在線段AQ”。

式中第一個指數(shù)項與距離向成像有關(guān)，第二個指數(shù)項主要與方位向成像有關(guān).傳統(tǒng)的ISAR二維成像首先進(jìn)行距離向處理，再進(jìn)行方位向成像處理，即可得到最終的二維成像結(jié)果.這種方法雖然簡單，但是由于距離向的高分辨導(dǎo)致的越距離單元走動往往不能忽略，將會影響方位向的成像精度[5]，且距離向處理后，方位向的聯(lián)合稀疏信息也將被破壞，無法進(jìn)行方位向聯(lián)合高分辨重構(gòu)[10].為充分利用回波信號的二維結(jié)構(gòu)稀疏信息，本節(jié)首先對CFS ISAR回波信號的結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行分析.

【問題剖析】這是對“線段的長度”概念脫離實際情境的片面理解。點P、Q的運動是從初始位置出發(fā)的連續(xù)過程，所以t的取值是從0開始的連續(xù)狀態(tài)，因而BP、AQ的長度也是從0開始的，其中t=0和t=2分別表示點P、Q的初始狀態(tài)。因此，第（1）問答案應(yīng)該是：當(dāng)0≤t≤2時，BP=2t cm，AQ=0；當(dāng)t＞2時，BP=2t cm，AQ=（t-2）cm。即t可以為0，也可以為2。

在研究數(shù)學(xué)概念時，既要把握好概念理解的邊界，掌握其外延與內(nèi)涵，又不能離開具體的問題情境孤立地理解。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生辯證地、聯(lián)系地思考問題。如圓的切線可以看成由圓的割線繞一個交點旋轉(zhuǎn)到另一個交點與這個交點重合的特殊位置，即直線與圓的兩交點間線段的長變?yōu)?，割線的極限位置就是圓的切線。又比如，絕對值表示數(shù)軸上一個點到原點的距離，但絕對值是可以為0的。再如：從嚴(yán)格的定義上說，平行四邊形與梯形都是“一組對邊平行”的四邊形，平行四邊形是“另一組對邊也平行”的四邊形，而梯形則是“另一組對邊不平行”的四邊形，二者之間的概念是不相容的；但從圖形變化的角度看，當(dāng)梯形的另一組對邊運動至平行狀態(tài)時就得到平行四邊形。從這個意義上說，平行四邊形完全可以看作是特殊的梯形。這就是對數(shù)學(xué)概念一種動態(tài)的、連續(xù)性、辯證的理解。

數(shù)學(xué)教學(xué)既要尊重數(shù)學(xué)概念的規(guī)范性、階段性特點，又要動態(tài)地、發(fā)展地理解數(shù)學(xué)概念的邊界，不能讓數(shù)學(xué)概念束縛學(xué)生的思維。

3.準(zhǔn)確把握“學(xué)生認(rèn)知”邊界。

上海師范大學(xué)王榮生教授認(rèn)為：“教什么遠(yuǎn)比怎么教更重要?！睌?shù)學(xué)教什么、起點在哪里、經(jīng)過哪里、終點在哪里，這是教學(xué)設(shè)計和實施必須思考的問題。數(shù)學(xué)教師要及時準(zhǔn)確地把握學(xué)生的“認(rèn)知”邊界，才能精準(zhǔn)施策，開展有效教學(xué)，避免出現(xiàn)偏離學(xué)生“數(shù)學(xué)認(rèn)知”邊界的現(xiàn)象。然而，現(xiàn)實的數(shù)學(xué)課堂中，對“學(xué)生認(rèn)知”理解的“缺位”或“越界”現(xiàn)象屢見不鮮。

【問題呈現(xiàn)】問題1.教者通過幾個現(xiàn)實情境，引入了“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的概念；

問題2.“-1”的符號“-”怎么讀？

有學(xué)生讀作“負(fù)號”，有學(xué)生讀作“減號”，教師解釋：在運算時“-”是運算符號，讀作“減號”；像“-1”中的“-”號是性質(zhì)符號，讀作“負(fù)號”……

正數(shù)集合｛ …｝；負(fù)數(shù)集合｛ …｝；非負(fù)數(shù)集合｛ …｝。

教者繼而增加一個填空：“非負(fù)整數(shù)集合｛ …｝”，結(jié)果有學(xué)生在所給定的數(shù)中，除了“-9”外的所有數(shù)都填入了非負(fù)整數(shù)集合。

【問題剖析】問題1實際上說明教師沒有準(zhǔn)確把握學(xué)情。那么，學(xué)生對“負(fù)數(shù)”的認(rèn)知起點是什么呢？以人教版數(shù)學(xué)教材小學(xué)六年級下冊《負(fù)數(shù)》內(nèi)容為例，教材通過“氣溫的零上溫度和零下溫度”“儲蓄本上支出與存入”“走路的向西與向東”等現(xiàn)實情境引入了“正數(shù)”與“負(fù)數(shù)”的描述性概念、表示方法，學(xué)生知道了相反意義的量，并學(xué)會了數(shù)的簡單分類、大小比較和在直線（數(shù)軸）上表示。說明小學(xué)階段對“負(fù)數(shù)”已經(jīng)有了一定的認(rèn)知，因此這節(jié)課中對負(fù)數(shù)引入方式反映了教者對“學(xué)生認(rèn)知”理解的缺位。教學(xué)中，應(yīng)該利用學(xué)生已有認(rèn)知，從數(shù)學(xué)內(nèi)部問題出發(fā)展開教學(xué)活動。如：給出數(shù)+7，-9，，-4.5，-20%，+8848，-6000，0，-，讓學(xué)生說出這些是什么數(shù)，并賦予這些數(shù)實際意義……這是準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知邊界，通過學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)問題激活已有認(rèn)知，使教學(xué)不斷深入的應(yīng)有之舉。

問題2的“-1”中“-”號的讀法，就學(xué)生現(xiàn)有的理解與認(rèn)知而言，讀作“負(fù)號”或“減號”都可以預(yù)見。但本節(jié)課中教師對讀作“負(fù)號”的解釋則顯得空洞、無力，什么是“性質(zhì)符號”、什么是“運算符號”，學(xué)生并沒有真正理解。教者必須認(rèn)識到讓學(xué)生弄清二者區(qū)別的重要性，“-”號不僅是為了表示“負(fù)數(shù)”之用，也為后面參加有理數(shù)的“運算”之用。其實，教者只要給一個算式“-3+（+2）-（-5）”讓學(xué)生讀題，學(xué)生很快便能正確地讀出“負(fù)3加正2減負(fù)5”，對所謂的“性質(zhì)符號”與“運算符號”的意義不言自悟，無須教師太多的提醒和解釋。

問題3中，教者的意圖很明顯，“非負(fù)整數(shù)”是指“不是負(fù)數(shù)的整數(shù)”，即整數(shù)范圍內(nèi)的“0和正整數(shù)”，這也是許多人的習(xí)慣理解。然而，學(xué)生為什么得出了“不是負(fù)整數(shù)的數(shù)”——“在所給的數(shù)中除負(fù)整數(shù)以外的所有數(shù)”的錯誤判斷呢？細(xì)細(xì)分析，發(fā)生這種現(xiàn)象并不奇怪：由于學(xué)生是在填“非負(fù)數(shù)集合”的練習(xí)后填“非負(fù)整數(shù)集合”，而“非負(fù)數(shù)”是指“不是負(fù)數(shù)的數(shù)”（這里的數(shù)是學(xué)生目前認(rèn)知的數(shù)，即有理數(shù)），受此影響，學(xué)生必然得出“非負(fù)整數(shù)”是指“不是負(fù)數(shù)的整數(shù)”的結(jié)論，這實際上是“非負(fù)數(shù)”問題的負(fù)遷移作用。

那么，“非負(fù)整數(shù)”到底指什么呢？有必要追根溯源。翻開義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和中學(xué)數(shù)學(xué)教材，包括中高考試卷，均未發(fā)現(xiàn)“非負(fù)整數(shù)”這樣的名稱和概念。2010年出版的《數(shù)學(xué)大辭典》中這樣寫道：“整數(shù)可以分成正整數(shù)、零與負(fù)整數(shù)。正整數(shù)亦稱自然數(shù)。”現(xiàn)行教材把0看作自然數(shù)，《現(xiàn)代漢語詞典》對“自然數(shù)”的解釋是“零和大于零的整數(shù)”。因此，教者所說的“非負(fù)整數(shù)”——“0和正整數(shù)”實際上就是自然數(shù)。筆者將這個問題放到數(shù)學(xué)QQ群讓老師們討論。一位老師貼出“百度”的內(nèi)容：“自然數(shù)是指表示個體的數(shù)，即由0開始，0，1，2，3，4，……一個接一個，組成一個無窮的集體，即指非負(fù)整數(shù)?！薄白匀粩?shù)集是全體非負(fù)整數(shù)組成的集合?！辈⑻岢隽俗约旱挠^點：“整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)這些詞都是對數(shù)的范圍做的限定，然后前面加上非負(fù)，也是在這個范圍中把負(fù)的去掉即可，沒有必要給出定義?！惫P者認(rèn)為：百度的內(nèi)容只能供參考，不可作為佐證。經(jīng)過多邊查證，終于在《數(shù)學(xué)辭海（第一卷）》發(fā)現(xiàn)了“非負(fù)整數(shù)”的解釋：“非負(fù)整數(shù)即‘自然數(shù)’?！比欢?，從學(xué)生的認(rèn)知上說，將“非負(fù)整數(shù)”理解為“不是負(fù)整數(shù)的數(shù)”也沒有什么不妥，他們默認(rèn)的全集是他們所接觸過的有理數(shù)集，而教者之所以理解為“不是負(fù)數(shù)的整數(shù)”是源于自己默認(rèn)的全集是整數(shù)。教者應(yīng)該思考：課程標(biāo)準(zhǔn)、教材為什么不明確給出“非負(fù)整數(shù)”的定義？很明顯，“非負(fù)整數(shù)”概念完全超出了學(xué)生的“認(rèn)知”邊界，也超出了課程標(biāo)準(zhǔn)及教材的“內(nèi)容”邊界，可見這是教者“慣性思維”的結(jié)果，反映了教學(xué)的隨意性。

維果茨基認(rèn)為，學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨立活動時所能達(dá)到的解決問題的水平；另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過教學(xué)所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)?！白罱l(fā)展區(qū)”其實就是學(xué)生的“認(rèn)知”邊界。教師全面了解與準(zhǔn)確把握學(xué)生的“數(shù)學(xué)認(rèn)知”邊界是教學(xué)設(shè)計和課堂教學(xué)的前提。教師的作用就是在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，幫助學(xué)生搭建腳手架，讓學(xué)生通過探究、思考達(dá)到可能的數(shù)學(xué)發(fā)展水平?！澳_手架”有時就是一個關(guān)鍵的點撥，有時只是一個簡單的暗示。