小談生活中有趣的數學概率現象

呂源

摘 要：我們生活中經常會遇到涉及概率運算的問題和現象，從小學起我們就開始有體系的接觸學習概率知識，能夠根據一定的條件計算某一事件發生的概率。本文介紹了概率這門學科的起源以及發展歷程，并比較詳細地論述了這門學科中的一些基本概念，如小概率事件、墨菲定律等，然后通過一些生活中關于概率的現象幫助大家更準確地理解概率的概念和應用。

關鍵詞：概率 貝葉斯公式 全概率公式

一、概率學科起源與發展

關于概率的應用與研究很早就有，但真正正式關于隨機現象的概率論的研究出現在15世紀之后，當時保險業已經蓬勃發展但很不成熟，保險公司要承擔很大的不確定性風險，渴望有精確的計算方法指導保險風險計算，這新方法的渴望卻因為15世紀末大規模賭博現象的出現而得到解決。法國數學家帕斯卡和費馬系統分析了賭徒朋友提出的“分賭注”問題，并在討論中形成了概率論中的一個重要概念—數學期望。荷蘭數學家惠更斯在聽聞他們的討論過程后整理出版了一本書《賭博中的計算》。之后伯努利發表了《猜度術》，棣莫弗最早使用正態曲線，拉格朗日提出了誤差理論，到了1812年拉普拉斯總結之前概率論的眾多論述發表了《概率的解析理論》，將古典概率論和數學強有力的結合在一起，并做了很多數學證明，并在書中討論了概率在保險業、天文學、度量衡甚至法律等方面的應用，自此概率論開始廣泛使用在生活中各個方面。

二、概率統計中的一些常用概念

（1）小概率事件

小概率事件一般就是指發生概率很小的事件，在具體的事件中小概率有不同的標準，一般根據事件的重要程度多采用0.01和0.05兩個閾值，這兩個值也被成為小概率標準。小概率事件和不可能事件是有很大區別的，小概率事件雖然發生的可能性很小，但依舊存在發生的概率，下面通過一個簡單的計算分析下兩者的不同。假設事件甲發生的可能性很小，為小概率事件，可能性為P甲，很小接近于零，但只要這個事件重復進行下去就總會有可能發生。因為這件事上一次不發生的概率為P=（1-P甲），前n次都不發生的概率為（1-P甲）n，當事件重復進行下去，即n→∞，則前n次發生事件甲的概率則為1-（1-P甲）n→1，事件甲必然會發生。

（2）墨菲定律

墨菲定理是由美國人愛德華·墨菲提出的，它其實是一種心理效應，如果有一種選擇方式將導致事件結果變壞，那么無論這種方式被采納的可能性有多小，則必定有人會做出這種選擇。墨菲定理主要論述有：所有的事都會比你預計的時間長；還有你擔心可能會出錯的事情它總會出錯；一旦你擔心某件不好的事情發生，那么它就更加可能發生；任何事都沒有其表面看起來那么容易解決。墨菲定律雖然是一個心理學定律，但它給我們能夠給我們一個警醒，對于全世界而言，任何事件的發生似乎都是必然的。但對于每個個體來說，很多看上去幾乎不可能發生的事件，突然有一天這件事就在他身上發生了，對于他這個小概率事件就成了必然事件。所以我們做事情時對于事情可能變壞的再小的可能性也不能掉以輕心，要全力準備，杜絕發生。

（3）貝葉斯公式

貝葉斯公式，也叫逆概率公式、貝葉斯定理，是貝葉斯在論文《機遇理論中一個問題的解》中提出的算法，。在引出貝葉斯公式前先介紹幾個高中時有接觸過的概念，1）邊緣概率，指某事件發生的概率，與其他事件無關；2）聯合概率，聯合概率指的是兩個事件共同發生的概率，P（A，B） ；3）條件概率：又稱后驗概率，是指事件A在已知事件B已發生的條件下發生的概率，記作P（A|B）。

貝葉斯公式就是基于上述概念推導出來的，公式為；P（A|B）=P（B|A）*P（A）/P（B）。含義就是在事件B發生之前，判斷A發生的概率為P（A），稱為"先驗概率"；在事件B事件發生之后再對事件A發生概率的評估為 P（A|B），稱為"后驗概率"。"可能性函數"P（B|A）/P（B）是一個調整因子，為了使預估概率更加接近真實概率。

（4）全概率公式

全概率公式首先建立一個完備事件組的思想，其實全概率就是已知第一階段求第二階段，比如第一階段分A B C三種，然后A B C中均有D發生的概率，最后讓你求D的概率P（D）=P（A）*P（D/A）+P（B）*P（D/B）+P（C）*P（D/C）。全概率公式是用來計算普通概率的，其與貝葉斯公式的不同之處在于公式計算的對象不同，貝葉斯公式是用來計算簡單條件下發生的復雜事件，而全概率公式用來計算復雜事件的概率。

三、生活中有趣的概率現象

（1）神奇的概率問題

關于概率的有趣的問題有很多，很多問題用概率知識計算出的結果會讓人非常驚訝。比如一個有名的生日悖論，23個人中至少有兩個人的生日相同的概率要大于50%。聽起來不敢相信，但經過簡單計算后就可得到結果，第二人與第一人生日不同的概率364/365，第三人與前兩個生日都不同的概率是363/365....利用乘法原理， 23人生日均不相同的概率約等于0.4927，則至少兩人生日相同的概率就大于50 %.

（2）經濟生活中的有趣現象

概率計算在經濟生活特別是企業管理中有著廣泛的應用，很多經濟學現象背后也蘊含著概率的知識。在企業進行決策時往往會面對不同的影響因素，要在復雜情況下做出最正確的決策其實就是計算不同決策可能帶來不同結果的概率，只用靈活運用概率知識才能達到減小成本，獲得最大收益的目的。

（3）彩票中的有趣現象

每個人都幻想過一夜暴富，很多人由此沉迷于買彩票，幻想著通過彩票能走上人生巔峰，但其實彩票問題只要簡單的計算就可以認清彩票中獎幾乎是一個不可能事件。比如常見的“6+1”型的雙色球彩票，中一等獎，也就是所有數字都命中的幾率只有十億分之564，連三等獎概率也只有為十億分之91417，可見寄希望于彩票中獎是非常可笑的。

結 語

綜上所述，生活中很多神奇或者很難理解的問題經過概率的知識分析后就能夠簡單易懂，而很多看起來很簡單的現象卻遠比我們想象中的要復雜深刻。這就要求我們增加我們概率學知識儲備，豐富相關知識，多動腦，多思考，更靈活地使用概率學知識幫助我們更清晰地認識這個世界，做出更加明智的決斷。

參考文獻

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[2] 王志剛.概率論在日常生活中的若干應用[J].蘇州市職業大學學報，2014，25：53-55.