計(jì)算、歸類、抽象
——質(zhì)數(shù)和合數(shù)的教學(xué)

吳 露

（江西省景德鎮(zhèn)市浮梁縣福港學(xué)校，江西 景德鎮(zhèn) 333000）

質(zhì)數(shù)和合數(shù)師由數(shù)的整除所產(chǎn)生的。它的實(shí)質(zhì)是某一個(gè)自然數(shù)能背哪些數(shù)整除的問題。所以必須通過整除的計(jì)算。觀察一組數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)，加以分類，然后抽象出質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念，學(xué)生才能領(lǐng)會(huì)它們的實(shí)質(zhì)，并獲得判別質(zhì)數(shù)、合數(shù)的依據(jù)和方法，不會(huì)盲目猜測。

我在教學(xué)時(shí)縣復(fù)習(xí)倍數(shù)和約數(shù)的概念，讓學(xué)生寫出10和12的全部約數(shù)，使學(xué)生注意到不同的數(shù)，它們的約數(shù)是有多有少的，點(diǎn)明今天我們專門來研究自然數(shù)約數(shù)多少的問題，然后要求寫出下列數(shù)的約數(shù)，并進(jìn)行分類，指出哪是質(zhì)數(shù)，哪是合數(shù)。

1 2 7 13 8 9 18

然后進(jìn)行觀察，約數(shù)最少的有幾個(gè)？其次是幾個(gè)約數(shù)？這數(shù)是不是在所有自然數(shù)中算是約數(shù)最多的？使學(xué)生領(lǐng)會(huì)到最大的自然數(shù)是找不到的，因此一個(gè)自然數(shù)約數(shù)最多的有無數(shù)個(gè)。這樣不便分類，假如以兩個(gè)約數(shù)作為分類的分界線，可以分成幾類？學(xué)生會(huì)說：“可以分成約數(shù)是2個(gè)、少于2個(gè)和多于2個(gè)的三類。”我就要求學(xué)生在分類中分別寫上：1個(gè)、2個(gè)、2個(gè)以上。然后再觀察；有兩個(gè)約數(shù)的，這些約數(shù)有什么共同點(diǎn)？（約數(shù)都是一和這個(gè)數(shù)本身）再想：為什么有些數(shù)的約數(shù)會(huì)多于2個(gè)？（因?yàn)槌?和它本身外，還有其它約數(shù)）在此基礎(chǔ)上抽象出“質(zhì)數(shù)”和“合數(shù)”的概念，然后又問：“那么只有一個(gè)約數(shù)的數(shù)屬于什么呢？”學(xué)生異口同聲回答：“它不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。”這樣的數(shù)在自然數(shù)中共有幾個(gè)呢？學(xué)生想了片刻，說：“只有1。因?yàn)榇笥?的數(shù)至少有1和它本身兩個(gè)約數(shù)。”“那么我們?cè)鯓优袛嘁粋€(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)呢？”（看除了1和它本身外還有沒有其它約數(shù)）。隨即把下面六個(gè)數(shù)：2 17 21 29 35 44讓學(xué)生判斷，學(xué)生的判斷準(zhǔn)確無誤。上述六個(gè)數(shù)剛好3個(gè)是質(zhì)數(shù)，3個(gè)是合數(shù)，為了讓學(xué)生不致產(chǎn)生質(zhì)數(shù)和合數(shù)一樣多的錯(cuò)覺，與奇、偶數(shù)個(gè)數(shù)相等混同，我要求學(xué)生想一想自己的座號(hào)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)（全班共45人），然后請(qǐng)質(zhì)數(shù)座號(hào)的站起來，叫大家看看有幾個(gè)（14個(gè)），讓坐下后叫合數(shù)座號(hào)的站起來（共31人）。讓坐下后叫不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)的站起來，大家清楚地看到只有一個(gè)。我問：“這說明什么？”“合數(shù)多于質(zhì)數(shù)，不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)的是唯一的。”這給學(xué)生留下了十分深刻的印象。

接著我告訴學(xué)生當(dāng)一個(gè)數(shù)大了，要判斷它是不是質(zhì)數(shù)很麻煩，我們可以把在一定范圍內(nèi)的數(shù)中所有的質(zhì)數(shù)列成表，查看質(zhì)數(shù)表就方便多了，然后讓學(xué)生把100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表讀一遍，數(shù)一數(shù)個(gè)數(shù)，看一看特點(diǎn)，讓學(xué)生明白：除了2以外，其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。

然后告訴學(xué)生，可以用篩選法制作質(zhì)數(shù)表，隨即讓學(xué)生做：在2到50的數(shù)中，留下質(zhì)數(shù)2、3、5、7，劃去2、3、5、7的倍數(shù)，把留下的數(shù)與前面的質(zhì)數(shù)表核對(duì)，證明全是質(zhì)數(shù)由此讓學(xué)生思考：為什么只需劃去10以內(nèi)質(zhì)數(shù)的倍數(shù)，而不需劃去11、13、17的倍數(shù)，就能劃去所有的質(zhì)數(shù)呢？經(jīng)過討論后學(xué)生就明白了，10以外質(zhì)數(shù)的2倍，也是2的倍數(shù)，故它們的3、4、5、6……倍，都包含在2、3、5、7的倍數(shù)中了，所以只需劃去10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)的倍數(shù)，就可以把所有的合數(shù)劃去了。

最后讓學(xué)生做一組補(bǔ)充習(xí)題：寫出哪幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的合數(shù)15、21和30？把算式寫出來，為下一堂課教學(xué)“分解質(zhì)因數(shù)”作好鋪墊。并且還要求學(xué)生課外思考：有沒有質(zhì)數(shù)相乘的積也是質(zhì)數(shù)的情況？為什么？以了解質(zhì)數(shù)和合數(shù)之間的關(guān)系，從而使學(xué)生達(dá)到對(duì)概念的理解和準(zhǔn)確判斷的思維能力以及計(jì)算能力的效果。